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2015年全国高中数学联赛模拟试题16


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?
2

1 a ? ? b ? x ? R, x ? 0 ? ,若实数 a , b 使方程 f ? x ? ? 0 有实根,则 a 2 ? b 2 的 2 x x

最小值是 2.在正三棱台 ABC ? A1B1C1 中,上底面积 S△A1B1C1 ? 12 ,下底面积 S△ABC ? 27 .若底边 BC 到截面 AB1C1 的 距离等于三棱台的高,则 S△AB1C1 ? 3.从 1, 2,3,?,100 中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 .

cos x 2 cos y 2 , z ? ? i, 且 z1 ? 2 , 若 z2 ?x ? 则 z2 ? z1 的取值范围是 y i , ? 1 sin y 2 sin x 2 ? 2 2? 5. 函数 f ? x, y ? ? x 4 ? y 4 ? 2x 2 y ? 2xy 2 ? 3x 2 ? 3y 2 ? 2x ? 2y ? 2 的最小值为
4. 已知 x, y ? ? ?

?

?

,

??

n ? 3n ? 1? ? xn ? 0? ,则数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? xn?1 7.如图,设 P, Q 分别是两个同心圆(半径分别为 6, 4 )上的动点.当 P, Q 分别在圆上运动时,线段 PQ 的 中点 M 所形成的区域面积为 3 3 3 8.设 a1 , a2 ,?, a2010 ?? ?2,2? 且 a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 0 ,则 a1 的最大值为 ? a2 ? ? ? a2010
6.设 x1 ? 3, xn ? xn?1 ? 2 ? 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.
3 9.(本小题满分 16 分). 设复数 z 满足 z ? 1 ? 2 .证明: z ? 1 ? 1 .

10.(本小题满分 20 分)

给定整数 a ,设 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ,其中 b, c ? Z ,满足 f ?1? ? ?1, f
3 2

求出所有满足条件的函数 f ? x ? .

? f ?2 ?? ? 2

11.(本小题满分 20 分)

x2 y 2 给定椭圆 2 ? 2 ? 1及点 D ?10,0? . 13 5 (1)求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ,存在椭圆上的另两点 M1 , M 2 ,满足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是 △AM1M 2 的内切圆; (2)证明:对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点 N1 , N2 ,使得 ? D 是 △AN1 N2 的内切圆,并确定此
时直线 N1 N 2 的方程.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) △ABC 的内切圆 ? I 切边 BC 于点 D , 已知 △ABC 的内心为 I , △ABD, △ACD 的内心分别是 Jb , J c ,

△AJ b J c 的外心为 O . 求证: A, O, I 三点共线.

二、 (本小题满分 40 分) 设 a, b, c, d ? 0, 且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 2 a b c d

三、 (本小题满分 50 分)

已知正整数 n 满足 n ? 2014, ? n, 2014? ? 1 . 令 An ? k ? N 1 ? k ? n, ? n, k ? ? 1 , Bn ? k ? An k ? 1? An , Cn ? k ? An k ? 1? An ,

?

?

?

?

?

?

? k An ? 对任意 k ? An ,记 S k ? ? ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, A 表示集合 A 中元素的个数. ? n ?
证明: (1)
k?Bn

??S

k

(2) ? ? Sk ? Sn ? k ? ? An ? Sn?k ? ? ?? ? Sk ? Sn?k ? ;
k?Cn
k?Cn

Bn

? mod n ?

四、 (本小题满分 50 分) 某国建了一座时间机器,形似一条圆形地铁轨道,其上均匀设置了 2014 个站台(依次编号为 1,2,…, 2014)分别对应一个年份,起始站及终点站均为第一站(对应 2014 年) .为节约成本,机器每次运行一圈, 只在其中一半的站台停靠.出于技术原因,每次至多行驶三站必须停靠依次,且所停靠的任两个站台不能是 圆形轨道的对径点.试求不同停靠方式的种数.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 第一试参考解答 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?
2

1 a ? ? b ? x ? R, x ? 0 ? ,若实数 a , b 使方程 f ? x ? ? 0 有实根,则 a 2 ? b 2 的 x2 x

最小值是

2.在正三棱台 ABC ? A1B1C1 中,上底面积 S△A1B1C1 ? 12 ,下底面积 S△ABC ? 27 .若底边 BC 到截面 AB1C1 的 距离等于三棱台的高,则 S△AB1C1 ?

3.从 1, 2,3,?,100 中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有



4. 已知 x, y ? ? ?

? ?

?
2

,

??

cos x 2 cos y 2 , z ? ? i, 且 z1 ? 2 , 若 z2 ?x ? y i ? 1 2? sin y 2 sin x 2

, 则 z2 ? z1 的取值范围是



5. 函数 f ? x, y ? ? x ? y ? 2x y ? 2xy ? 3x ? 3y ? 2x ? 2y ? 2 的最小值为
4 4 2 2 2 2

6.设 x1 ? 3, xn ? xn?1 ? 2 ?

n ? 3n ? 1? ? xn ? 0? ,则数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? xn?1

7.如图,设 P, Q 分别是两个同心圆(半径分别为 6, 4 )上的动点.当 P, Q 分别在圆上运动时,线段 PQ 的 中点 M 所形成的区域面积为

3 3 3 8.设 a1 , a2 ,?, a2010 ?? ?2,2? 且 a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 0 ,则 a1 的最大值为 ? a2 ? ? ? a2010

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.
3 9.设复数 z 满足 z ? 1 ? 2 .证明: z ? 1 ? 1 .

10.给定整数 a ,设 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ,其中 b, c ? Z ,满足 f ?1? ? ?1, f 求出所有满足条件的函数 f ? x ? .

? f ? 2? ? ? 2

x2 y 2 ? ? 1及点 D ?10,0? . 132 52 (1)求 r 的值使得对于椭圆的左顶点 A ,存在椭圆上的另两点 M1 , M 2 ,满足以 D 为圆心、 r 为半径的圆是
11.给定椭圆

△AM1M 2 的内切圆;
(2)证明:对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点 N1 , N2 ,使得 ? D 是 △AN1 N2 的内切圆,并确定此 时直线 N1 N 2 的方程.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 16 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) △ABC 的内切圆 ? I 切边 BC 于点 D , 已知 △ABC 的内心为 I , △ABD, △ACD 的内心分别是 Jb , J c ,

△AJ b J c 的外心为 O . 求证: A, O, I 三点共线. △ABD 的内切圆切 AD 于点 X , △ACD 的内切圆切 AD 于点 Y , 证明: 设 ? I 分别切边 CA, AB 于点 E , F ,
则 2 DX ? DA ? DB ? AB ? DA ? DB ? BF ? AF ? DA ? AF , 同理 2 DY ? DA ? AF ? 2 DX .从而 X , Y 重合,所以 Jb J c ? AD . 因为 △AJ b J c 的外心为 O , 所以 ?J b AO ?

1 ?DAC . 2 2 2 1 1 1 从而 ?BAO ? ?BAJ b ? ?J b AO ? ?BAD ? ?DAC ? ?BAC , 2 2 2 所以 A, O, I 三点共线. ? ? ?AJ c J b ? ?XAJ c ?
二、 (本小题满分 40 分) 设 a, b, c, d ? 0, 且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证:

? ? ?AOJ b

?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 2 a b c d

三、 (本小题满分 50 分)

已知正整数 n 满足 n ? 2014, ? n, 2014? ? 1 .

令 An ? k ? N 1 ? k ? n, ? n, k ? ? 1 , Bn ? k ? An k ? 1? An , Cn ? k ? An k ? 1? An ,

?

?

?

?

?

?

? k An ? 对任意 k ? An ,记 S k ? ? ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, A 表示集合 A 中元素的个数. ? n ?
证明: (1)
k?Bn

??S

k

(2) ? ? Sk ? Sn ? k ? ? An ? Sn?k ? ? ?? ? Sk ? Sn?k ? ;
k?Cn
k?Cn

Bn

? mod n ?

四、 (本小题满分 50 分) 某国建了一座时间机器,形似一条圆形地铁轨道,其上均匀设置了 2014 个站台(依次编号为 1,2,…, 2014)分别对应一个年份,起始站及终点站均为第一站(对应 2014 年) .为节约成本,机器每次运行一圈, 只在其中一半的站台停靠.出于技术原因,每次至多行驶三站必须停靠依次,且所停靠的任两个站台不能是 圆形轨道的对径点.试求不同停靠方式的种数.


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