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补充讲义(三)


中微补充讲义(3)
北京大学:平新乔 (2011.3.25.)

第四讲:期望效用与风险规避
第 4 节:两个悖论与“自我控制”问题
在前几节里,我们假定期望效用理论与它所依据的公理都是成立的。其实,关于人们在 不确定性和风险条件下的偏好与行为, 在理论界是一直有争议的。 尤其对于 “独立性公理” , 争议更多。 这里介绍两个悖论

, 一个是 “Allais Paradox ”(阿莱斯悖论), 另一个是 “ Ellsberg Paradox ” (埃尔斯贝格悖论)。阿莱斯悖论是直接针对“独立性公理”的,而埃尔斯贝格悖论 则完全否定期望效用理论在“不确定性”条件下的合理性。我们还要讨论“框架效应” (framework effect)和 “自我控制” (self-control)问题, 这都是为了说明,在面临未来的 不确定性时,人们的偏好可能不会前后一致,而是会发生偏好在时间上的不一致 (time-inconsistent) 。 我们分四个问题讲。 一.

“Allais Paradox ” (阿莱斯悖论)

阿莱斯(Maurice Allais) 是法国著名经济学家, 他在 1953 年提出一个悖论,其改写版 如下: 有四个单赌: 赌局 1 (g1): 有 0.33 的机会获得 27500 元;0.66 的机会获得 24000 元;0.01 的机会得零。 赌局 2 (g2): 必定获得 24000 元。 赌局 3 (g3): 有 0.33 的机会获得 27500 元; 0.67 的机会得零。 赌局 4 (g4): 有 0.34 的机会获得 24000 元; 0.66 的机会得零。 一个代表性的决策人在赌局 1 与 2 之间是选择赌局 2 的;而在赌局 3 与 4 之间是选择赌 局 3 的。即 U(g2) > U(g1) 且 U(g3) > U(g4) (4.2) (4.1)

阿莱斯认为,这是一个悖论。 而这个悖论说明, “独立性”公理是不成立的。
1

我们先来看第一点:为什么公式(4.1)与公式 (4.2)构成了一个悖论? 从公式 (4.1) 知, U(g2) = u(24000) > U(g1) = 0.33 u(27500) + 0.66 u(24000) + 0.01 u(0) 即 u(24000) > 0.33 u(27500) + 0.66 u(24000) + 0.01 u(0) 再将(4.2)式写成: 0.33u(27500) + 0.67u(0) > 0.34u(24000) + 0.66u(0) 但是,从(4.2)’ , 有: 0.33 u(27500) + 0.01u(0) > 0.34 u(24000) 再在公式(4.2)” 的两边都加上 0.66u(24000), 可得: 0.33u(27500) + 0.66 u(24000) + 0.01u(0) > u(24000) (4.3)”’ (4.2)” (4.2)’ (4.1)’

可是, 公式(4.3)”’ 与 公式(4.1)’ 是完全矛盾的!这就是一个悖论。 再谈第二点:为什么说“阿莱斯悖论”挑战了 “独立性”公理?这是由于,上面这个 悖论的根源是我们运用了“独立性”公理。 独立性公理是说,对于期望效用公式做移项变 动是不会改变偏好关系的。但是,我们在这里对公式(4.2)做了移项变动之后,却使得同 一个人的偏好关系(4.1)不成立了,即改变了这个人的偏好关系。 因此,阿莱斯悖论的意义在于挑战期望效用理论所依据的“独立性”公理。 第三点:那么,如何解释“阿莱斯悖论”背后的经济含义呢? 阿莱斯本人和后来很多 经济学家认为,产生这种偏好关系不一致(公式(4.1)与公式(4.2)之间的不一致)的原 因主要有二: 一是“确定性效应” 。在公式(4.1)里,人们之所以偏好于左边的 u(24000), 是因为它 是完全确定的,这会胜过右边的不确定的加权的效用和(尽管 u(27500) 还高过 u(24000)) ; 二是因为人们有“对于小概率事件高估”的倾向。在公式(4.1)的右边,u(0)发生的概 率只有 0.01,但越是小概率事件,人们往往越是会重视它,于是就要规避它,结果便不会选 择第一个赌局,而选第二个赌局。但是在赌局 3 与 4 之间比较时,既没有“确定性效应” , 又没有 “小概率事件” , 从而人们会选择收入高一些 (27500 元) 的赌局, 使得 U(g3) > U (g4)。

二. “ Ellsberg Paradox ” (埃尔斯贝格悖论)
埃尔斯贝格(D. Ellsberg)在 1961 年发表的“Risk Ambiguity, and the Savage Axiom”

2

( “Quarterly Journal of Economics”, Vol. 75, 1961, pp.643-669.) 一文中提出一个悖论,这个悖 论是怀疑期望效用理论对不确定场景的适应性的。 这里,我们用 Tomasz Strzalecki (2011 年)的改写版,来介绍埃尔斯贝格悖论。 考虑以下决策问题:

一个决策人面对两个密封装有彩色球的壶,球的颜色分红、黑两种。每个壶各装 100 只球。第一个壶中的 100 只球的红、黑比例是未知的;而第二个壶里已知有 50 只红球,50 只黑球。决策人从某个壶里随机摸出一只球,他对摸得的球的颜色事前打赌,如果猜中,就 获 100 元;如未猜中,则获零。

实验结果表明: (1). 如果在第一个壶里抽球,决策人对于摸中红球打赌,还是摸中黑球打赌,是无 差异的。这说明,当缺乏证据显示红、黑两种球之间存在对称比例时,决策人认为,摸中红 球还是摸中黑球这两个或然事件之间是可以相互交换的。 (2). 如果在第二个壶里抽球,决策人对于摸中红球打赌,还是摸中黑球打赌,也是 无差异的。这表明,当红球与黑球的比例为 50:50 是公开信息时,决策人知道摸中红球与摸 中黑球的概率都是 1/2。 (3). 但是,如果要对“摸中红球”打赌,让决策人在第一个壶与第二个壶之间进行 选择,则大多数决策人会选第二个壶。这显示出,人们对于“意义不明确性”是规避的 (Ambiguity Aversion) 。

Ellsberg 用这个例子说明,如果要用期望效用理论对于人们在“意义不明确性” 条件 下的行为进行解释,就会与“Ambiguity Aversion” (即结果(3) )相矛盾,陷入悖论。 具 体的论证过程如下: 记“摸中球获 100 元”的状态效用为 u(100), 又记“未摸中球得零”的状态效用为 u(0)。 在第二个壶里,对于“摸中红球”打赌的期望效用(记为 V(红 2))是: V(红 2) = 0.5 u(100) + 0
×u(0)

(4.3)

相应地,在第二个壶里,对于“摸中黑球”打赌的期望效用(记为 V(黑 2))是: V(黑 2) = 0.5 u(100) + 0× u(0) (4.4)

3

从而, V(红 2) = V(黑 2) 又记 “在第一个壶里摸中红球”的概率为 q (0 < q < 0), “在第一个壶里摸中黑球”的 概率为 1-q。 则在第一个壶里,对于“摸中红球”打赌的期望效用(记为 V(红 1))是: V(红 1) = q×u(100) + (1-q)×u(0) 相应地,在第一个壶里,对于“摸中黑球”打赌的期望效用(记为 V(黑 1))是: V(黑 1) = (1-q)×u(100) + q×u(0) (4.6) (4.5)

但是,由于人们对“在第一个壶里摸中红球”与“在第一个壶里摸中黑球”这两个事件是 无差异的,从而, V(红 1) = V(黑 1) 即 q×u(100) + (1-q)×u(0) = (1-q)×u(100) + q×u(0) 这会推出: q=1-q 从而, q=0.5。 但是,这就意味着 V(红 1) = V(黑 1) = V(红 2) = V(黑 2) (*)

结果(*)说明,为了摸中红球,决策人对于选第一个壶还是选第二个壶是无差异的! 而这与实验结果(3)即规避意义不明确性(Ambiguity Aversion)是完全矛盾的。这就是 “Ellsberg Paradox”。 这个悖论的根源在于, 对于完全未知的赌局, 如果还想运用以客观概率加权的期望效用 函数(?ni=1piu(ai))来表达对于赌局的评估,即以“主观概率”来替代“客观概率” ,就可能 否定人们那种“规避意义不明确性(Ambiguity Aversion) ”的本性,导出荒诞的结论。 “Ellsberg Paradox” 说明,期望效用理论也许能解释“客观概率” (P(A) 已知)下的不 确定性时人们的选择与行为,但无法用期望效用理论解释“主观概率” (人们对于事件发生 概率完全无知, 只能凭主观猜。 ) 下的人们对于意义不明的赌局的选择。 正是由于这里有 “客 观概率”与“主观概率”的区分, 所以,在经济学界,大家通常把客观概率已知的赌局称 为“风险” , 而把客观概率不知的“Ambiguity” 称为“不确定性” 。

4

三.框架效应(framework effect 情境效应)
决策人在含风险的条件下进行决策时, 其偏好会发生逆转。 这种偏好关系的不一致性可 能与框架效应有关。 框架效应是由 D.Kahnemann 和 A. Tversky 在 1979 年指出来的。 它是指,当人们对于 两个单赌的偏好关系被放到某个复赌框架里去以后, 可能由于新的框架的作用而发生偏好关 系逆转。 我们给出一个例子。 请看图 4.5(a)和图 4.5(b):

0.8

10,000 元 (1.0) 6,000 元

0.72

10,000 元

0.9

6,000 元

0.2 (A)

0 (B)

0.28 (C) 图 4.5(a)

0

0.1 (D)

0

0.8 0.9 0.2 0.1 (E)

10,000 元 0 0 0.9 0.1 (F)

(1.0)

6,000 元

0 图 4.5(b)

在图 4.5(a)里,共有 A、B、C、D 四个赌局,决策人往往在 A 与 B 之间会选择 B(这 是由于“确定性效应”),而在 C 与 D 之间则往往会选择“C”(因为 C 与 D 都没有确定性 效应,人们会选期望收入高一些的赌局)。 如果决策人在 A 与 B 之间选了 B,则按“独立性”公理,则他(她)在 E 与 F 之间应当 选“F”。因为, 如果 B

A ,则

0.9 B + 0.1[0] 0.9 A + 0.1[0], ? F
但是, ,又 ,从而应当有 D

E
D ,矛盾!

C ,但我们已知 C

这里的“矛盾”是怎么产生的呢?是由于赌局 E 与 F 用了新的复赌框架之后, 将原来 B 中的“确定性效应”丢失了。这里,我们再次发现,“独立性公理”是有问题的:当两个单 赌的比较放入两个复赌进行比较时,由于“确定性效应”的丢失,就可能改变偏好关系。
5

四、“自我控制”问题
所谓“自我控制”问题,也是揭示出,经济学中关于偏好在时间上一致(time consistency)的假定是一个重大错误。人是具有双重人格的,“现在的我”会经常与“将 来的我”不一致。承诺不兑现,拖延,追求眼前利益,避恐今天的困苦,得过且过,做一天 和尚撞一天钟,??都说明“今天的自己”关于“未来的自己”的偏好、选择与安排常常会 不靠谱。 举例说, 我们这学期是 2011 年 2 月 21 日开的学, 如果在开学那天定 4 月 10 日期中考, 还是定 4 月 15 日期中考,可能大多数同学都会选 4 月 10 日考(早点考掉);但是到了 4 月 10 日,再让大家选择 4 月 10 日期中考,还是 4 月 15 日期中考,则绝大多数同学会选 4 月 15 日期中考(哦,我又多了 5 天复习时间!)。我们称人们在偏好关系上“出尔反尔”、 前后矛盾的现象为“偏重于现时的偏好”(present-biased preference):当人们在 t 0 时 面临未来两个时点 t1 与 t 2 不同赌局时, 如果 t1 比 t 2 离 t 0 更近, 则人们的自然倾向是对离 t 0 更 近的那个未来点 t1 的赌局赋予更大的权重。 我们分 4 点来讲解“自我控制”问题。

1 偏重于现实的偏好(present-biased preference)
记 ut 为决策人在时期 t 的瞬时效用。这位决策人的决策时际为 T
t

+ 1个离散点:

t , t + 1, , T 。记他(她)站在 t 点的角度所表达的跨期的偏好为 U (ut , ut +1,
这里,

, uT ) 。

U t 是对所有的 ut (t = t , t + 1, , T ) 都是连续的,且递增。
传统的经济学一般是假定决策人的偏好是时间上一致的(time-consistent),其 U
t

的形式为:

U (ut , ut +1 , , uT ) ? ?d t ut
t

T

t =t

(4.7)

6

这里,

d ?( 0,1] 为“折现因子”。注意,所谓偏好在时间上的一致

(time-consistent)是指,站在 t 点看未来任何两个相邻的时点

t 与 t + 1上的 ut 与

ut +1 ,把 ut +1 折现为 t

点上的效用

ut ,折现因子都是同一个值。

但“偏重于现在的偏好”的效用函数形式为:

U (ut , ut +1 , , uT ) = d ut + b
t
t

t = t +1

? d t ut

T

(4.8)

在上式中, 0

< b , d ? 1,即 b 与 d 都是 ( 0,1] 上的一个数。
b , d ) 偏好,如 b = 1,则(4.8)式与(4.7)就无差别。因此,“偏
< 1,

(4.8)式又叫 (

重于现时的偏好”与“时间上一致的偏好”((4.7)式)之间的区别就在于 b 。如 b

就说明决策人站在眼前 t 点, 看所有 t 以后的未来时点上的效用, 除了共同的折扣因子以外, 还有一个折扣率 b 。这说明决策人对眼下( t )的效用看的更重。 (4.8)式隐藏着一个可能,即决策人在 t 点的偏好与 t + 1点的偏好是会不一致的。 站在 t 点看 t 后所有的未来点, 这些未来的事件的权重都是一样的; 但一旦到 t + 1点, 则t +1 点就重要了,都重于 t + 1以后的所有的未来点。就好比我们,站在 2011 年 2 月 21 日看期 中考试是 4 月 10 日考还是 4 月 15 日考,只要不是 2 月 21 日考,4 月 10 日考还是 4 月 15 日考是差异不大的;但真的到了 4 月 10 日,则 4 月 10 日就是“现在”,而“现在”就要凸 现出其重要了,象期中考试这种痛苦的事能推迟当然是最好不过了。因此,公式(4.8)描 绘的恰恰是“得过且过”的偏好关系。对有这种偏好的人,就称其有“自我控制”问题。

2. 两类决策人:“老练”型与“幼稚”型
人对于未来的偏好会呈现于“偏重于现时”的倾向(如公式(4.8)),这是所有的 “偏重于现时的偏好”的人都具备的。但是,同是具有“偏重于现时的偏好”,决策人又分 为两类:一是叫“老练”(sophisticated)的决策人,另一类叫“幼稚”(naive)的决策 人。

7

幼稚型(naive)的人看不到自己的偏好在 t 与 t 以后的决策点之间会发生不一致的。 他们认为, 自己在将来对时间的偏好关系会与今天对同一时间的偏好完全相同; 他们认识不 到,一旦接近原先定下的执行(excuting)时点,则其对所要执行的事的嗜好会大大改变。 因此, 幼稚型(naive)总是反悔自己的承诺, 总是对自己要完成的作业一拖再拖, 总是“明 天再说”??因此,对这一类人,必须实现设“deadline”(比如作业必须周五交)。幼稚 型的人是不能很好地解决“自我控制”问题的。 “老练的”(sophisticated)决策人也有“自我控制”问题,他们的偏好关系也由 (4.8)式描述,他们也会出尔反尔,所不同的是,他们在“现在”会认识到自己在未来执 行点时会按公式(4.8)而发生偏好逆转,从而预先做好了安排。 因此,“老练”的与“幼稚”的决策人的区别,只在于是否认识到自己的偏好在未 来会发生变化,从而在最优“执行点”(excuting point)的选择上发生了差别。

3. 两类任务:现前成本型与眼前收益型
当事人对于自己要完成的工作任务,可分为“眼前成本”(immediate cost)型与 “眼前收益”(immediate reward)型两种。 有的工作属于“眼前成本”型,是指其成本如在眼前付出会较大,而如果适当拖延, 则付出成本的痛苦会小一些。 有的工作属于“眼前收益”型,这是指其带来收益如越早享受,则效用越高;如拖 延享用,则效用会降低。 在 (4.8) 式的基础上, 我们假定 d

= 1,即只考虑“偏重于现时的偏好”的“现在”

与“将来”之间的差别, 而不区分“将来”内部不同时点的折扣率。 这样做只是出于简化分 析。事实上,“自我控制”问题在 d

= 1时仍会发生:到将来某时点要执行事先定下的任务

时,又会由于那个时点是“现在”而发生新的拖延。 在d
t

= 1的假定下,我们记在 t 点评估的在 t ? t 点完成某项任务所带来的效用函数

为 U (t ) 。于是,写出完成上述两类任务所带来的效用函数。 (1)“眼前成本型”的任务 在 t 点看,当任务是“眼前成本型”时,其在 t

? t 点完成所带来的效用函数为:

8

ìb vt - ct , if t = t U t (t ) = í ?b vt - b ct , if t > t
从(4.9)式看,任务是在当期( t 出的成本在当期可能会大一些( b

(4.9)

= t )完成,还是以后完成,差异只在于为其付

? 1 ),而任务所带来的收益是一样的,都为 b vt 。

(2)“眼前收益型”的任务 在 t 点看,如果要完成的任务是“眼前收益型”的,则在 t 完成该任务带来的 t 点表 达的效用函数为:

ìvt - b ct , if t = t U (t ) = í ?b vt - b ct , if t > t (4.10)
t
(10) 式是说, 如这类任务当期完成, 则其收益为 v?; 如拖延完成,其收益会打折。 但是, 为完成该任务所付出的成本在“当期完成”与“未来完成”时都是一样的。 要注意的是, 如一个人的偏好是“时间上一致” (time-consistent)的,则?=1。 下 面 , 我 们 就 举 例 说 明 , 当 面 临 一 项 工 作 , 偏 好 在 时 间 上 一 致 ( 记 为 tc, 表 示 tine-consistent)的决策人、 “老练的” (记为 s, 表示 sophisticated)的决策人、和“幼稚的” (记 为 n, 表示 na? ve)的决策人,各会做出什么样的选择?

4. 举例
例 4.9.:假定你通常会在周六晚去北大百年讲堂看电影。这周六晚上映的电影很一般, 价值(已经扣去电影票价)为 3;下周六晚上映的电影较好,价值为 5;第三个周六晚上映 的是部好电影,价值为 8;第四个周六晚上映的是本年度最佳影片,价值为 13。但是, 你 必须从现在起在四周内完成一项研究报告, 而你平时没空, 只有在周末集中两天两夜才能完 成这个报告,所以,你必须在这周到未来四周内放弃看一场电影。假定完成研究报告给你带 来的未来回报在这四周内都是一样的,为 v0 , 又假定在完成这项“眼前成本型”的工作时, “s ”型和“n”型的人的?=0.5。 你可以选在第? 周(?=1,2,3,4)的周末完成报告,而成本 只有放弃看电影的损失,即成本为 C= ( 3, 5, 8, 13)。 请问,上面这三种决策人各会选择在第几周完成该写作任务?

解:由于这是“眼前成本型”的工作,我们要用公式(4.9) 。
9

对于“tc” (时间一致性)型的决策人来说,由于?=1,所以从公式(4.9)可知,对所 有的?, (?=1,2 ,3 ,4) ,当 t=1, 都有 Ut (? ) = v0 - c? 由于 v0 在这四周是不变的,所以只要找出 c? 最小的?,就是其完成工作的那一周。很显然, 由于 c1 =3 最小,这位决策人会选择在第 1 周周末完成报告。 对于“n” ( “幼稚的” )决策人来说,根据(4.9)式,如果选择第一周周末完成, ?=1, 则 c?
=

c1 = 3。 这时, 他(她)会看到,如第二周周末完成,则成本会是 ?c2=0.5(5)=2.5。

于是,他(她)会拖延到第二周去完成; 到了第二周(这时的“现在”是 t=2) ,这个人会发现,本周完成任务的成本是 5,而拖 延到第三周周末去完成的成本为 ?c3=0.5(8)=4,所以他(她)会选择拖延的第三周周末去 完成。 同理,到了第三周(那时的“现在”是 t=3) ,他(她)又会拖延到第四周。 最后,到了第四周,该“幼稚的”的决策人已经无路可退,只好放弃观看本年度最佳 影片,在周末完成写作任务。 因此, “n”型的决策人会在第 4 周完成任务。 我们讨论“s” (老练型)的决策人,他(她)会在哪一周完成任务? “s”型与“n”型的区别只在于, “s”型的人认识到,在“执行”(executing)时点到来 时,自己的偏好是会发生变化的。因此,在 t=1, 他(她)知道,现在的自己会将任务拖延 到第二周,第二周的自己又会将任务拖延到第三周,…,一直拖到第四周。但是,从现在 (t=1)的角度来看,拖延到第二周是在所有“拖延”的选择里最好的结果。为什么?如果 拖延到第二周,从现在的角度看,成本就是 0.5(5)= 2.5 < 3 (现在的成本 c1 = 3)。而如果 拖延到第三周,从现在的角度看,成本就是 0.5(8)= 4 > 3 (现在的成本 c1 = 3),您还不如 在 t=1 完成。如果拖延到第四周,从现在的角度看,成本就是 0.5(13)= 6.5, 那更不合 算。因此,这个“s”型的决策人会选择拖延到第 2 周的周末完成写作任务。

上例是关于“眼前成本型”的工作。我们看到“tc” (偏好在时间上一致)型的决策人 不会拖延; “s” (老练)型的决策人会拖延一些,但比起“n” (幼稚)型的决策人来说会少 拖延一些; “n” (幼稚)型的决策人最容易拖延,一直拖到不见棺材不掉泪的地步。 但是,如果遇到“眼前收益型” (如公式(4.10)所示)的工作,则可能发生“拖延序” 的变化:可能是 “tc” 型的决策人会最拖延(不急于追求眼前利益么) , “n”型的人少拖延,
10

而“s”型的人则不拖延(老练型的人会急于得到眼前利益) 。在“眼前收益型“的工作面 前,决策人选择急功近利去完成任务,仍然是眼前利益驱动的结果,仍然是“偏重于现时 的偏好”的表现。

参考文献:
1. Allais, M. 1953. “ Le Comportement de I’Homme Rationnel devant le Risque, Critique des Postulates et Axiomes de I’Ecole Americaine.” Economerica, Vol. 21. pp. 503-546. 2. Ellsberg, D (1961): “Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms”, Quarterly Journal of Economics, Vol. 75, 1961, pp.643-669. 3. Fudenberg Drew 和 David K. Levine (2006): “A Dual-Self Model of Impulse Control”, American Economic Review, Vol. 96, No.5 (Dec., 2006), pp. 1449-1476. 4. Kahnemann, D 和 A. Tversky (1979) : “Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk”, Econometrica, Vol. 47, 1979, pp.263-291. 5. Kreps, David M (1990): “A Course in Microeconomic Theory”, Chapter 3. Princeton University Press. 6. Kreps, David M : (2003): “ Microeconomics For Managers”。 中译本: “管理者微观经济学” 第 15、16 章。 中国人民大学出版社,2006 年版。 7. Pollak, Robert A. ( 1968) : “ Consistent Planning.” Review of Economic Studies, Vol. 35(2), pp. 201-208. 8. Strotz, Robert H. (1956): “ Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization.” Review of Economic Studies, Vol. 23(3), pp. 165-180. 9. Strzalecki, Tomasz (2011): “Axiomatic Foundations of Multiplier Preferences”. Econometrica, Vol. 79. (No.1), pp.47-73. 10. Ted O’Donoghue 和 Matthew Rabin (1999):“Doing it Now or Later”. American Economic Review, Vol. 89, No.1 (Mar., 1999), pp. 103-124.

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