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正弦型函数的图像与性质课件


函数y=Asin(?x+?)的图象和性质

物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电的 电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(?x+?) 的函数(其中A, ?, ? 都 是常数).

y 1

知识回顾:
? 3 ? 2 2? 3 5? 6 ?

/>
y ? sin x x ?[0,2? ]
2? x

A

O ? 6

7? 4? 3? 5? 11? 6 3 2 3 6

?1

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (

?
2

,1)

3? 最低点:( ,?1) 2 与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0)
在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

新课讲解:

解:1.列表

x
sin x

0 0

?
2

?
0 0 0

3? 2

2?

1
2

?1
?2

0 0 0

2 sin x
1 sin x 2

0 0

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
x
sin x 2 sin x
0 0 0 0

?
2

?
0 0 0

3? 2

2?
0 0 0

1
2

?1
? 2

1 sin x 2

1 2

?1 2

y
2 1 O ?1 ?2

y=2sinx

y=sinx
?
2? x

1 y= sinx 2

注 ? 周 期 相 同

一、函数y=Asinx(A>0)的图象
2 1

y=2sinx
2?

O
?1 ?A

?

y=

1 sin x 2

y=sin2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)。 y= 1 sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 2 1 的纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变)。

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而 得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最大值 为A,最小值为-A.
? 函数y=Asinx

例2

1x y ? sin y ? sin 2 x 作函数 及 2 的图象。

1.列表:

x
2x sin 2 x

0
0 0

?
4 ? 2

? 2

?
0

3? 4 3? 2

?
2?

1

?1

0

2. 描点连线:
1

y

?

y=sinx
?

O
-1

?

?
?

?

2?

x

y=sin2x

例2

1x y ? sin y ? sin 2 x 作函数 及 2 的图象。

1. 列 表:

x
1 x 2 1 sin x 2
?

0
0 0

?
? 2

2?

3?

4?

?
0

3? 2

2?

1

?1

0

2. 描点连线:
1 y

y=sinx
2?
?

1 y ? sin x 2
3? 4?
?

O
-1

?

?

x

?

二、函数y=sin?x(?>0)的图象
1 y
?

y=sinx

1 y ? sin x 2
3? 4?
x

O
-1

?

?

?

2?

?

?

y=sin2x
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的 横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变)。 2
2

?函数y=sin?x

(? >0且?≠1)的图象可以看作是把

y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或 伸长(当0<?<1时) 到原来的 ? 倍(纵坐标不变) 而得 到的。
1

例3、 作函数 y ? sin( x ? )
3

?

y? sin( x + 及
4? 3
11? 6 3? 2

?
4

)
7? 3



x
? x? 3
sin( x ?

?
3
0
)

?
3

5? 6 ? 2

?
0

2?
0

0

1

-1

描点连线:

y
1
?

y ? sin( x ?
?
3? 2 11? 6
2?

?
3

)

O
-1

? ? ? 3 2

5? 6

4? 3

?

7? 3

?

x

?

例3、 作函数 y ? sin( x ? )
3

?

y? sin( x + 及
3? 4
5? 4 3? 2

?
4

)
7? 4



x
? x+ 4
sin( x +

?

?
4

0
)

? 4 ?
2

?
0

2?
0

?
4

0

1

-1

描点连线:

y
1
?
5? 3? 4 2

?

? ?

? y ? sin( x + ) 4

4

O

?
4

? 2

3? 4

?

?

7? 4

? 2?

x

-1

?

? y ? sin( x + ) 4

三、函数y=sin(x+?)图象
y
1
?
?

y ? sin( x ?
3? 2 11? 6 2?

?
3

)

?O 4

? ? 3 2

5? 6

4? 3

7? 3

x

-1
?函数y=sin(x+?)

的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所

有的点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平移|?|个单位而得 到的。

? ? 例4、 作函数 y ? sin( 2 x ? ) 及 y ? sin( 2 x + ) 的图象。 3 4
x
2x ?

四、函数y=sin(?x+?)与y=sin?x图象的关系
? 6
5? 12

?
3

0
?
3 )

?

2? 3

2

?
0

11? 12 3? 2

7? 6

2?

sin( 2 x ?

0

1

-1
? y ? sin(2 x ? ) 3

0

描点连线:y
1

y=sin2x
? ? ? ?

O
?1

6 4

5? ? 12 2

? 2? 3

3? 4

11? 12 ?
?

7? 6
?

x

? ? 例4、 作函数 y ? sin( 2 x ? ) 及 y ? sin( 2 x + ) 的图象。 3 4
x
2x +

四、函数y=sin(?x+?)与y=sin?x图象的关系
?
?
4

?

8

? 8

0
?
4 )

?

3? 8

2

?
0

5? 8 3? 2

7? 8

2?

sin( 2 x +

0 y
1

1

-1

0

描点连线:

y=sin2x
?

?
y ? sin( 2 x +

? ?
? ?1
4 )

8

O ?

8

? 4

? 3? 8

? 2

5? 8
?

3? 4

7? 8
?

?
x

四、函数y=sin(?x+?)与y=sin?x图象的关系
y
1

y ? sin x
3? 4

y ? sin(2 x ? ) 3

?

?

?
8
?1

O

? ?
6 4

? 2
?
4 )

7? 8

?

7? 6

x

y ? sin( 2 x +

?函数y=sin

(?x +?)(? >0且?≠1)的图象可以看作是把

y=sin?x 的图象向左 (当? >0时)或向右(当?﹤0时)平移

? | ? | 个单位而得到的。

提示:由于我们研究的函数仅限于? >0的情况,所以只需 要判断?的正负即可判断平移方向

问题 : 怎样由y ? sin x的图象得到 y ? A sin(?x + ? )(其中A ? 0,

? ? 0)的图象?

答 : (1)先画出函数y ? sin x的图象;
(2)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 1

?

倍, (纵坐标不变 )

得到函数y ? sin ?x的图象;

? (3)再把正弦曲线向左 (右)平移 个单位长度 , 得到函数 ? y ? sin(?x + ? )的图象;
(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍, (横坐标不变 )

这时的曲线就是函数 y ? A sin(?x + ? )的图象.

例、画出函数 y ? 3 sin( 2 x +
解:

?
3

)的简图。

1 1、先把后者所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标

不变,得到 y ? sin 2 x 的图像。 2、再把所得的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍, 横坐标不变,而得到函数 y ? 3 sin 2 x 的图像。
? 3、再把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度,得 6 ? 到 y ? 3 sin( 2 x + ) 的图像。
3

y
3

y=3sin2x

2
1

?

y=sinx
? ?

? O?
6
-1 -2 -3

?
2

3? 2
?

2?

?

x

? y ? 3 sin( 2 x + ) 3

y=sin2x

y
3 2 1

?

?

?
3

? O?
6
-1

?
2

5? 6

? ?

3? 2
?

2? x

-2
-3

正弦函数y=Asin(?x+?)(A>0,?>0)的性质
一、定义域:实数集R; 二、值域:[-A,A],最大值A,最小值-A

三、周期: T ?

2?

?

世上没有什么天才 天才是勤奋的结果


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