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2014年全国高中数学联赛贵州赛区初赛试题(word版)


2014 年全国高中数学联赛贵州赛区初赛试题 (6 月 28 日)

一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.在 △ ABC 中,已知 AB ? AC ? 2 AB ? CB ,若 cos A ?

4 ,则 tan B ? 5



2. 桌面上放着 3 个半径为 20

14 的球, 两两相切, 在它上方的空隙里放入一个球使其顶点 (最 高处)恰巧和 3 个球的顶点在同一个平面上,则该球的半径等于 .
n ?1 x i * ( n≥ 2 且 n?N ) ,则 ? f ( ) ? 1? x n i ?1

3.已知函数 f ( x) ? 2014 ? log 2014



4.某种电路开关闭合后,会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合,出现红灯和出

1 ,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率 2 1 2 3 是 ,出现绿灯的概率是 ;若前次出现绿灯,则下次出现红灯的概率是 ,出现绿灯 3 3 5 2 的概率是 .则开关第 3 次闭合后出现红灯的概率是 . 5
现绿灯的概率都是 5.已知 a, b, c ??0,1? ,则

a b c ? ? 的取值范围是 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1



6.已知 x ? (0,

?
2

) ,则函数 y ? 2sin3 x ? cos4 x 的最小值是



7.已知函数 f ( x) ? x2e x 与 g ( x) ? 2 xe x ? a 的图象有且只有三个交点,则实数 a 的取值范 围是 .

* 8.对任意 n ? N ,任意 a ??1, 2? ,都有 (1 ? ) ≤ ax ? 2 x ? e ? 3a 恒成立(注: e 为自
n 2

1 n

然对数的底数) ,则实数 x 的取值范围是



(注:难道第 7 题中的 e 不是这个意思?)

二.解答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1

? 1 ,且 an?1 ? 2an ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列

?

n (an ? 1) 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn2 ≤

?

2n(n ? 1)(4n ? 1) . 3

10. (本小题满分 20 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ?

1 a b 使得 f ( x) ? 0 ? ? b( x ? R , 且x ? 0) , 若实数 a 、 x2 x

有实根,求 a ? b 的最小值.
2 2

11. (本小题满分 20 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 F1 , F2 分别为其左、右焦点, 2 2 a b 其右焦点 F2 到点 E (?2, ?1) 的距离为 10 ,一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切,记 动圆圆心的轨迹为 G . ( 1 )在轨迹 G 上有两点 M 、 N ,椭圆 C 上有两点 P 、 Q ,满足 MF2 / / NF2 ,
已知椭圆 C :

PF2 / /QF2 ,且 MF2 ? PF2 ,求四边形 PMQN 面积的最小值 (2) 过点 F 问在直线 y ? x 上 1 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A ,B , 3k ? 36 是否存在点 D ,使得 AD ? BD ? 是与 k 无关的常数? 16k 2 ? 12


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