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数列求和的八种重要方法与例题


数列求和 几种重要的求和思想方法: 1.倒序相加法. 2.错位相减法. 3 拆项 . 法: . 4.裂项相消法: 倒序相加法: 如果一个数列{an},与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和(都 相等,为定值),可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加,就得到 一个常数列的和,这一求和的方法称 为倒序相加法. 类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……

典例. 已知 n lg(xy) ? 2 2.倒序相加法 n-1 1 n-1 n S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy , (x > 0,y > 0) 求S . S =lgx +lg(x ·y)+...+lgy S =lgy +lg( y ·x)+ ...+lgx n n n n-1 n n n-1 n ?2S =lg(xy) +lg(xy) + ...+lg(xy) n = 2n(n +1) ? S = n(n +1) 2.错位相减 当{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减 典例3: 通项 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=? 错位相减法: 如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成,此时求和可采 用错位相减法. 既{anbn}型 等差 等比 典例4: 4、裂项相消 1 1 1 1+ + + ?+ =? 1×2 2×3 n(n + 1) 1 变式1:通项改为 n( n + 2) 1 1 1 = 2 n ( n+2 ) 2n 变式2:通项改为 2 4n - 1 1 1 1 1 = + ( ) 2 4 2n -1 2n + 1 2 分裂通项法: 把数列的通项拆成两项之差,即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差, 在求和时一些正负项相互抵消,于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和,这 一求和方法称为分裂通项法. (见到分式型的要往这种方法联想) 拆项分组求和: 典例5: 数列{an}的通项an=2n+2n-1, 求该数列的前n项和. 同类性质的数列归于一组,目的 是为便于运用常见数列的求和公式. 分组求和法: 把数列的每一项分成两项,或把数 列的项“集”在一块重新组合,或把整 个数列分成两部分,使其转化为等差或 等比数列,这一求和方法称为分组求和 法. {an+bn+cn} 等差 等比 错位相减 或裂项相消 并项求和 典型6: 2 2 2 2 2 1-2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =? 局部重组转化为常见数列 交错数列,并项求和 n 既{(-1) bn}型 练习10: 已知Sn 2)求Sn n =-1+3-5+7+…+(-1) (2n-1), 1)求S20,S21 S20=-1+3+(-5)+7+……+(-37)+39 =20 S21=-1+3+(-5)+7+(-9)+……+39+(-41) =-21 总的方向: 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式:求和看通项(怎样的类型) 若无通项,则须先求出通项 方法及题型: 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 深化数列中的数学思想方法: 热点题型1:递归数列与极限.? 1 an ? ? 2 1 设数列{an}的首项a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ?

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