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安徽省芜湖市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


芜湖一中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高一数学试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,共 36 分) 1.设向量 a 与 b 的夹角为 60 ? ,且 a ? 2 2, b ? 3 ,则 a ? b 等于( A. 3 B. 6 C. 3 2

?

?

?

?<

br />
? ?

) D.6

2.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? x, ?2 ? ,若 a // b ,则 a ? b 等于( A. ? ?3,1? B. ? 3, ?1? C. ? 2,1?

?

?

? ?

? ?

) D. ? ?2, ?1? )

3.已知点 A(1,3), B(4, ?1) ,则与向量 AB 的方向相反的单位向量是( A. ? ? ,

??? ?

? 3 4? ? ? 5 5?

B. ? ?

? 4 3? , ? ? 5 5?

C. ? , ?

?3 ?5

4? ? 5?


D. ?

? 4 3? ,? ? ?5 5?

? 4.在 ?ABC 中, A ? 60 , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 ? B 等于(

A. 45 或 135

?

?

B. 135

?

C. 45

?

D. 30

0

5.若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sin A ? 2 sin B cos C ,那么 ?ABC 是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

6.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75? ,30? ,此时气球的高是 60 m ,则河 流的宽度 BC 等于( ) A. 30( 3 ? 1)m C. 180( 2 ? 1)m 7.设数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a n ? 1 ? B. 120( 3 ? 1)m D. 240( 3 ? 1)m

1 (n ? 1) ,则 a3 ? ( a n ?1
C.

)

A.

8 5

B.

5 3

3 2

D.2 )

8.在数列 ?xn ? 中 x1 ? 8, x4 ? 2 ,且满足 xn?2 ? xn ? 2 xn?1 , n ? N ? .则 x10 ? ( A. ? 10 B. 10 C. ? 20 D. 20

1

9. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, 且 9S3 ? S6 , 则数列 ? Sn 是 ?an ? 的前 n 项和, A.

?1? ( ? 的前 5 项和为 ? an ?



85 32

B.

31 16

C.

15 8

D.

85 2

10.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ? 值是( A. 1 ) B. 2 C. 3

a?b 2 ? 0 ,则 的 c cos B ? sin B

D. 2

11. P 是 ?ABC 所在平面上一点,满足 PA ? PB ? PC ? 2 AB ,若 S ?ABC ? 12 ,则 ?PAB 的面积为 ( A. 4 ) B. 6 C. 8 D. 16

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

12. 数列 {an } 中,a1 ?

1 ? an 1 ? ,an ?1 ? (其中 n ? N ) , 则使得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 72成立的 n 的 2 1 ? an
C. 240 D. 242

最小值为 ( ) A. 236 B. 238 二、填空题(本大题共 4 小题,共 16 分)

13.在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3 , BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

??? ? ????



14.已知向量 a ? (1 ,3) , b ? (0,1) ,则当 t ?[? 3, 2] 时, | a ? tb | 的取值范围是___________. 15.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、 C 的对边,如果 a 、 b 、 c 成等差数列, B ? 60? ,

?

?

?

?

?ABC 的面积为

3 ,那么 b ? _________. 2
2 2S n (n ? 2) ,其中 Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则 S2016 ? ________. 2S n ? 1

16.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ?

三、解答题(本大题共 5 题,共 48 分) 17.(本题 8 分) 已知三个点 A(2,1), B(3,2), D(?1,4) . (Ⅰ)求证: AB ? AD ; (Ⅱ)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值.
? ?

18.(本题 8 分)
2

CD ? BC ,AC ? 5 3 , 如图, 在 ?ABC 中, 点 D 在边 AB 上,
CD ? 5 , BD ? 2 AD .
(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

19.(本题 10 分)在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 12, a3 ? a4 ? 108, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 ; (Ⅱ)记 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

20.(本题 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知向量 p ? (2 sin A, cos(A ? B)) ,
?

?

q ? (sin B,?1) 且 p? q ?

? ?

1 。 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ?

3 ,求 b ? a 的取值范围.

3 3 21.(本题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n2 ? n . 2 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
an ? an?1 ,若对于一切的正整数 n ,总有 Tn ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 2n B ? tbn 1 * ? (Ⅲ)设 Bn 为数列 ?bn ? 的前 n 项的和,其中 bn ? 2an ,若不等式 n 对任意的 n ? N 恒成立, Bn ?1 +tbn ?1 16

(Ⅱ)记 Tn ?

试求正实数 t 的取值范围.

3

芜湖一中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高一数学答案 一:选择题(本大题共 12 小题,共 36 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A 9 B 10 B 11 A 12 B

二:填空题(本大题共 4 小题,共 16 分) 13.

15 2

14. [1, 13] .

15. 2

16.

1 4031

三.解答题(本大题共 5 题,共 48 分) 17 解: (Ⅰ)证明:? A(2,1), B(3,2), D(?1,4) , 又∵ AB? AD ? 1 ? (?3) ? 1 ? 3 ? 0 ,
? ?
? ?

∴ AB ? (1,1), AD ? (?3,3)
?

?

?

∴ AB ? AD
? ?

?

..............4 分

(Ⅱ)∵ AB ? AD ,若四边形 ABCD 为矩形,则 AB ? DC . 设 C 点的坐标为 ( x, y ) ,则有 (1,1) ? ( x ? 1, y ? 4) , ∴ 即

∴点 C 的坐标为 (0,5) ....................................................6 分 由于 AC ? (?2,4), BD ? (?4,2) ? AC? BD ? 16, AC ? BD ? 2 5
? ?

?

?

?

?

16 4 ? ? 0. 20 5 4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 ..........................8 分. 5
设对角线 AC 与 BD 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 18 解:(Ⅰ) 在 ?ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ? x ? 0 ? ,则 BD ? 2 x . 在 ?BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2 x , 所以 cos ?CDB ?

CD 5 .在 ?ACD 中,因为 AD ? x , CD ? 5 , AC ? 5 3 , ? BD 2 x

AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 由余弦定理得 cos ?ADC ? .因为 ?CDB ? ?ADC ? ? , ? 2 ? AD ? CD 2? x ?5
所以 cos ?ADC ? ? cos ?CDB , 即

x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 ? ? .解得 x ? 5 .所以 AD 的长为 5 .....................4 分 2? x ?5 2x BC 3 ,从而 ? BD 2
4

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 求 得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 . 所 以 c o s?CBD ?

sin ?CBD ?

1 1 1 1 75 3 ,所以 S?ABC ? ? AB ? BC ? sin ?CBA ? ? 15 ? 5 3 ? ? . .......... ..8 分 2 2 4 2 2

19 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q, (q ? 0) . 由已知得 ?

?a1 ? a1q ? 12
2 3 ?a1q ? a1q ? 108

,则解得 a1 ? 3 , q ? 3

所以数列 {an } 是以 3 为首项, 3 为公差的等差数列, 即 an ? 3 ? 3n ?1 ? 3n ........................................5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 3n 所以 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn

? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n...............?1? 3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ?? ? n ? 1? ? 3n ? n ? 3n?1...............? 2?
由 (1) ? (2) ,得

?2Sn ? 3 ? ?3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
1 2 3 n

n ?1

?

3?1 ? 3n ? 1? 3

? n ? 3n ?1

? Sn ?

3?1 ? 3n ? 4

n n 1 3 ? ? 3n ?1 ? ( ? ) ? 3n ?1 ? . ........................................10 分 2 2 4 4

20 解: (Ⅰ)由 p ? q ?

1 1 1 ,得 2sin Asin B ? cos( A ? B) ? ,即 2sin Asin B ? cos A cos B ? sin Asin B ? , 2 2 2

1 1 ? ∴ cos( A ? B) ? ? ,即 cos C ? ,∵ 0 ? C ? ? ,∴ C = ........................5 分 2 2 ?

(Ⅱ)∵ c ? 3 ,且 C =

3 a b ? ,∴ ,∴ a ? 2sin A, b ? 2sin B . ? ? ? sin A sin B ? sin 3

? ∴ b ? a ? 2sin B ? 2sin A ? 2sin( A ? ) ? 2sin A ? sin A ? 3 cos A ? 2sin A ? 3 cos A ? sin A ? ? ? 2cos( A ? ) , ?

∵?? A?

?? ? ? ?? , ∴ ? A+ ? , ? ? ? ?

∴?

3 ? 3 ? cos( A ? ) ? , 2 ? 2

∴ b ? a ? (? 3, 3) ...........................................................10 分 21 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, S n -1 =

3 3 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ,∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 3n , 2 2
5

又 n =1 时, a1 =S1 ? 3 满足上式, 所以 an ? 3n ................................................4 分

a ?a T 9n(n ? 1) (Ⅱ) Tn ? n n n ?1 = ? n ?1 ? n 2 2 Tn
当 n ? 1, 2 时, Tn?1 ? Tn , 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn?1 ? Tn ,

9(n ? 1)(n ? 2) n?2 2n ?1 , ? 9n(n ? 1) 2n 2n

∴ n ? 1 时, T1 ? 9 , n ? 2,3 时, T2 ? T3 ? ∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?

27 , n ? 4 时, Tn ? T3 , 2

27 . 2 27 ? m, 2

要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 ∴m ?

27 ..................................................................8 分 2
3n n

8(1 ? 8n ) 8 n ? (8 ?1) , (Ⅲ) bn ? 2 ? 8 ? Bn ? 1? 8 7
Bn ? tbn Bn ?1 ? tbn ?1

将 Bn 代入

8 ? ?8n ? 1? ? t ? 8n 1 1 7 ? ,化简得, ? (﹡) 16 16 ? 8 ? n +1 8 ? +t ? 8 ? 7 ?7 ?

∵ t ? 0 ,∴ ?

8 ? 8 ? n +1 8 16 ? ? 8n ? 1? ? 8n +1 +1? ? 3t ? 8n +1 , +t ? 8 ? ,所以(﹡)化为 ? ? ? 7 7 ?7 ?
,∴ t ?

整理得 t ?

n n +1 ? 8? ?16 ? ?8 ? 1? ? 8 +1?

21? 8

n +1

8? 15 ? ?1 ? n +1 ? 对一切的正整数 n 恒成立, 21 ? 8 ?

易知 1 ? ∴t ?

15 8? 15 ? 8 随 n 的增大而增大,且 ?1 ? n +1 ? ? , n +1 8 21 ? 8 ? 21

8 ................................................. ...................12 分 21

6


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