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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第5章 第36讲 复数的概念与运算


z?2 ? 1.已知z是纯虚数, 是实数,那么z等于  2i  1? i
5 2.复数 的共轭复数是 1 ? 2i

1 ? 2i 

5 5?1 ? 2i ? 5?1 ? 2i ? 解析: = = 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? ?1 ? 2i ??1 ? 2i ?

2i 3.(2011 ? 南师附中模拟卷)已知复数z ? , 1? i 则该复数的虚部为 1
2i 2i?1 ? i ? 解析:因为z ? ? ? i ?1 ? i ? 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? ? 1 ? i.

的虚部为  ?2

4.若复数z1 ? 4 ? 29i,z2 ? 6 ? 9i,则复数 ? z1 ? z2 ? i

解析:z1 ? z2 ? i ? ? ?2 ? 20i ? i ? ?20 ? 2i,所以复 ? 数 ? z1 ? z2 ? i的虚部为 ? 2

5.(2011? 南京期末卷)若复数z1 ? a ? i,z2 ? 1 ? i, 且z1 ? z2为纯虚数,则实数a的值为 ?1
解析:因为z1 ? z2 ? ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1 ? ? a ? 1? i 为纯虚数,所以a ? 1 ? 0且a ? 1 ? 0,a ? ?1.

复数的概念
【例1】

实数m为何值时,复数z=m 2 -2m-3+
(m2+3m+2)i: (1)为实数; (2)为虚数; (3)为纯虚数;

(4)对应的点在复平面的第二象限内?

【解析】1?由m +3m+2=0, ?
2

得m=-1或m=-2. 2 ?由m 2+3m+2 ? 0,得m ? -1且m ? -2. ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 , 得m=3. ? 3?由 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 , 得-1 ? m ? 3. ? 4 ?由 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0

复数集是实数集的扩充.复数是由 实部(实数)和虚部(实数)两部分组成的,

当实部为0且虚部不为0时,复数是纯虚
数;当虚部不为0时,复数是虚数.实 部和虚部组成的实数对构成复平面上点 的坐标.本题主要考查复数的分类和复 数的基本几何意义,解题的关键是掌握

复数的定义,找准复数的实部和虚部.

【变式练习1】 m? m ? 2 ? 已知m ? R,复数z= +(m 2+2m-3)i. m ?1 当m为何值时,复数z:

?1? 为实数; ? 2 ? 为纯虚数; ? 3? 对应的点位于复平面的第二象限; ? 4 ? 对应的点在直线x+y+3=0上?

? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 【解析】1?由 ? , ? ?m ? 1 ? 0 解得m=-3.故当m=-3时,复数z为实数. ? m? m ? 2? ?0 ? ,解得m=0或m=2. ? 2 ?由 ? m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? 故当m=0或m=2时,复数z是纯虚数.

? m? m ? 2? ?0 ? , ? 3?由 ? m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? 解得m ? -3或1 ? m ? 2. 故当m ? -3或1 ? m ? 2时,复数z对应的点 位于复平面的第二象限.

m? m ? 2 ? 4 ?由 +(m 2+2m-3)+3=0, ? m ?1 2 m? m ? 2m ? 4 ? 得 =0, m ?1 解得m=0或m=-1 ? 5 ? 0. 故当m=0或m=-1 ? 5时, 复数z对应的点在直线x+y+3=0上.

复数相等
【例2】

若复数z满足z(3-i)=1+2i(i是虚数
单位),求复数z.

【解析】方法1:设z=a+bi(a,b ? R ), 则(a+bi)(3-i)= +2i, 1 ?3a ? b ? 1 即3a+b+(3b-a)i= +2i,得 ? 1 , ?3b ? a ? 2 1 ? ?a ? 10 1 7 ? 解得 ? ,所以z= + i. 10 10 ?b ? 7 ? 10 ? 1 ? 2i ?1 ? 2i ??3 ? i ? 1 7 方法2:z= = = + i. 3?i 10 10 10

本题可以设出z的代数形式, 利用复数相等,列出方程组求出z,

也可直接解关于z的方程.

【变式练习2】 已知复数z同时满足下列两个条件:

?1? | z-3 | = | z-3i | ;
5 ? 2 ? z-1= ? R,求复数z. z ?1

【解析】设z=x+yi(x,y∈R且y≠0). 由条件(1)得(x-3)2+y2=x2+(y-3)2.①

由条件(2)得(x-1)2+y2-5=0.②
由①②得x=y=2或x=y=-1,

故所求复数z=2+2i或z=-1-i.

复数的四则运算
【例3】 设已知z,?是复数, +3i) z为纯虚数, (1 z ?= 且 ? =5 2,求?. 2?i

【解析】设z=a+bi(a,b ? R ), 则(1+3i) z=a-3b+(3a+b)i. z 由题意,a=3b ? 0.又 ? = | | =5 2, 2?i 所以 z = a 2 ? b 2=5 10. 将a=3b代入得a= ? 15,b= ? 5. 15 ? 5i 所以?= ? = ? (7-i). 2?i

本题涉及的变量较多,只要依据复 数的四则运算法则一步步做,解决问题 就没有障碍.在求 z 时,要用好 ? = 2, 5 否则,运算就麻烦了.

【变式练习3】 ??1 ? 3i ?3 ? 2 ? i ?2 计算: ? - ; ?1 6 ?1 ? i ? 4 ? 3i 2 ?1+2i+3i 2+?+1000i999 . ?
【解析】1? 0; ? 2 ? 方法1: (利用i n的周期性) ? 原式=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+? +(997+998i-999-1000i)=250(-2-2i) =-500-500i.

方法2: (错位相减法求和) 记S=1+2i+3i 2+?+1000i999,① 则iS=i+2i 2+3i3+?+999i999+1000i1000 .② ①-②得 (1-i) S=1+i+i 2+?+i 999-1000i1000 1 ? i1000 = -1000=-1000, 1? i ?1000 所以S= =-500-500i. 1? i

1.(2012 ? 广东肇庆期末卷)已知i是虚数单位,则 z ? ?1 ? i ?? 2 ? i ?的共轭复数是 3 ? i  

解析:因为z ? ?1 ? i ?? 2 ? i ? ? 3 ? i,所以z ? 3 ? i.

2.(2011? 扬州三模卷)已知?1 ? i ? ? z ? ?2i,那么 ? 复数z ?   1? i

?2i 解析:因为?1 ? i ? ? z ? ?2i,所以z ? ? 1? i ?2i?1 ? i ? ?2 ? 2i ? ? ?1 ? i. ?1 ? i ??1 ? i ? 2

1 ? 7i 3.i是虚数单位,若 ? a ? bi(a,b ? R ), 2?i 则乘积ab的值是  -3
1 ? 7i ?1 ? 7i ?? 2 ? i ? 【解析】因为 = 2?i 5 =-1+3i, 所以a=-1,b=3,则ab=-3.

4.(2011? 苏北四市期末卷)复数z ? ?1 ? 3i ? i(i是虚数 单位),则z的实部是 
2

?3

解析:z ? i ? 3i ? ?3 ? i,所以实部为 ? 3.

5   5.满足 +z是实数,且z+3的实部与虚 z 部互为相反数的虚数z是否存在? 若存在,求出虚数z; 若不存在,说明理由.

【解析】设z=a+bi(a,b ? R,b ? 0), 5 5b ? ? ?R 0 ?a ? bi ? ?b ? 2 2 则? ,得 ? a ? bi a ?b , ?a ? 3 ? b ? 0 ? a ? b ? ?3 ? ? ?a 2 ? b 2 ? 5 因为b ? 0,所以 ? , ? a ? b ? ?3 ?a ? ?1 ?a ? ?2 解得 ? 或? ?b ? ?2 ?b ? ?1 所以,存在z1=-1-2i或z2=-2-i满足题意.

1.复数的概念
(1)复数的代数形式为z=a+bi(a, b∈R),其中a是复数z的实部,b是复数z

的虚部.

? 2 ? 复数z=a+bi是实数的充要条件:
①b=0;②z=z (虚部为0);③z ? 0(虚部为0).
2

? 3? 复数z=a+bi是纯虚数的充要条件:
①a=0,b ? 0; ②z+z=0(实部为0); ③z 2 ? 0(实部为0);

? 4 ? 两个复数不全为实数时不能比较大
小,只有相等与不等关系. 2.共轭复数的性质:z+z是实数, z-z是纯虚数,z ? z= z .
2

3.复数的四则运算

复数的四则运算是指复数的加、
减、乘、除运算,符合多项式的四 则运算法则,只是在运算中含有虚 数单位i.尤其是复数的除法运算需 要利用共轭复数进行分母实数化.


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