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2016年新加坡SM2考试之数学模拟试卷


2016 年新加坡大学本科奖学金 SM2 考试 数学模拟试卷
本试卷分择题和计算题两部分。考试结束后,将本试卷、答题卡和草稿纸一 并交回。本试卷共 100 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题。 (共 8 个小题,每题分 A、B、C、D 和 E 共 5 个选项,请选出正确 的选项,每小题 5 分共 40 分) 1、函数 y ? 21? x ? 3 ( x ? R)

的反函数的解析表达式为()
A、 y ? log2 D、 y ? log2

2 x?3 2 3? x

B、 y ? log2

x?3 2

C、 y ? log2

3? x 2

E、 y ? log 2

2 x ?3

2、将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,
每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A、 10 种 B、11 种 C、 12 种 ) E、36 种

D、24 种

3、若定义域为 R 的函数 f(x)的周期为 2,当 x?(-1,1]时,f(x)=|x|。则函数 y=f(x) 的图像与 y=log3|x|的图像的交点个数为( A、4B、3 C、2 ) D、1 E、0

4、 △ABC 中, A ? , BC ? 3 ,则 △ABC 的周长为(
p A、 4 3sin( B ? ) ? 3 3 p D、 6sin( B ? ) ? 3 6

p 3



p p B、 4 3sin( B ? ) ? 3 C、 6sin( B ? ) ? 3 6 3
E、 6 sin( B ?

p )?3 6

5、四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放 在同一仓库是危险的, 没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的. 现打 算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数 为( ) C、24D、12
1

A、 96B、48

E、0

6、设{an}是首项为 a1, 公差为-1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和. 若 S1, S2, S4 成等比数列, 则 a1=( )

1 1 A、2 B、-2C、 D、- E、0 2 2

a ?? 1? ? 7、 ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x ?? x? ?
A、-40 B、-20 C、20 D、40 E、60

5



8、若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 ( ) B、 [? 3,3] C、 ? ?

A、 (? 3,3)

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

D、 ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

E、 [ ?

3 3 , ) 3 3

二、计算题。 (共 4 个大题,每题 15 分,共 60 分)
9、设 a ? (1 ? cos? , sin ? ), b ? (1 ? cos? , sin ? ), c ? (1, 0) , 其 ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) , a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

?
6

,求 sin

? ??
4

的值。

2

10、已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y 2 ? 2 x 上,其中 O 为坐标原点,设圆 C 是

OAB 的外接圆(点 C 为圆心) 。
(1)、求圆 C 的方程; (2)、设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 cos? ) 2 ? ( y ? 7 sin ? ) 2 ? 1 ,过圆 M 上任意一点 P 分别 作圆 C 的两条切线 PE、PF ,切点为 E、F ,求 CE ? CF 的最大值和最小值。

3

11、三个女生和五个男生排成一排, (1)、如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)、如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)、如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)、如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?

4

12、设正项数列 {an }的前项和S n , 若{an }和{ S n } 都是等差数列,且公差相等, (1)、求 {an } 的通项公式; (2)、若 a1 , a2 , a5 恰为等比数列{bn }的前三项,记 cn= 项和为 Tn ,求 Tn 。
1 ,数列 {cn } 的前 log3 ?4bn ?1 ? ? log3 ?4bn ? 2 ?

n

5


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