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201502(梁志斌)平面几何的几个重要定理--托勒密定理学生版


平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理:圆内接四边形中, 两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对 边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).

即:

设四边形ABCD内接于圆,则有: AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD;

定理:在四边形 ABCD中,有:AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时,等式成立 ;
证:在四边形 ABCD内取点E,使?BAE ? ?CAD,?ABE ? ?ACD 则:?ABE和?ACD相似 AB BE ? ? ? AB ? CD ? AC ? BE AC CD AB AE 又? ? 且?BAC ? ?EAD AC AD ? ?ABC和?AED相似 BC ED ? ? AD ? BC ? AC ? ED AC AD ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? ( BE ? ED) ? ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 且等号当且仅当 E在BD上时成立,即当且仅当 A、B、C、D四点共圆时成立;
一、直接应用托勒密定理 例 1 如图 2,P 是正△ABC 外接圆的劣弧 (不与 B、C 重合), 求证:PA=PB+PC. 二、完善图形 借助托勒密定理 例 2 证明“勾股定理”: 在 Rt△ABC 中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2
1

A D E

B

C

上任一点

例 3 如图,在△ABC 中,∠A 的平分 线交外接∠圆于 D, 连结 BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).

三、构造图形 借助托勒密定理 例 4 若 a、b、x、y 是实数,且 a2+b2=1,x2+y2=1. 求证:ax+by≤1. 四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理 例 5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且 a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B. 五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例 6 在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,

练习:
1.已知△ABC 中,∠ 2 2 证:AC =AB +AB·BC。 B=2∠C。 求

2. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 求证: ?。(第 21 届全苏数学竞赛)

3.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN, BC AC AB 求证: ? ? PK PL PM

4.将直角?ABC绕AB的中点M旋转至?A1 B1C1,使得BC与B1C1交于D点,AC与A1C1 交于E点,证明: C、D、E、M四点共圆;
2


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