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高中数学专题练习---数列求和


课间辅导---数列求和
1 .已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 9 ,

5.在数列 {an } 中, Sn?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 . (1) bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式及其前 n 项和 Sn . 6 . 已 知 正 项 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2 且

a1 , a3 , a7 成等比数列.
(1)求数列 ?an ?的通项公式; ( 2 ) 若 数 列 ?an ? 的 公 差 不 为 0 , 数 列 ?bn ? 满 足

(n ?1)an2 ? an an?1 ? nan?12 ? 0(n ? N * ) .
(I)证明数列 {an } 为等差数列; (II)若记 bn ?

bn ? (an ?1)2n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
2.设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的正整数 n 都有 Sn ? 2an ? 3n . (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ?是等比数列,并求 出 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和. 3.已知数列 ?an ?是公差不为零的等差数列,其前 n 项和 为 Sn ,满足 S5 ? 2a2 ? 25 ,且 a1 , a4 , a13 恰为等比数列

4 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an an?1

7.已知 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 b2 ? 3 ,

b3 ? 9 , a1 ? b1 , a14 ? b4 .
(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 8.已知各项都为正数的等比数列 {an } 满足

1 a3 是 3a1 与 2

?bn ?的前三项.
(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项; (2) 设 Tn 是数列 ?

2a2 的等差中项,且 a1a2 ? a3 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 an ,且 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求

?

使得 1 ? 2Tn ? 说明理由.

1 成立若存在,求出 k 的值;若不存在, bn

1 ? ? 是否存在 k ? N , ? 的前 n 项和, 1 ? 2Sn ? an an ?1 ? 数列 { } 的前 n 项和 Tn . Sn

9.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2, a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足

4 . 已 知 数 列 {an } 的 前

n 项 和 为 Sn , 且

Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1 ,其中 n ? 2, n ? N ? .
(1)求证:数列 ?an ?为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ? an ? 2?n , Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和. ①求 Tn 的表达式;

1 S n ? an ? 1 n ( ? N * .) 2
(1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 设 bn ? l o 3 g ? (1 Sn n ? )N (
*

,求 ) 满足方程 ②求使 Tn ? 2 的 n 的取值范围.

1 1 1 25 ? ?L ? ? 的 n 值. b2b3 b3b4 bnbn?1 51

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课间辅导---数列求和 1. (1) (2) Tn ? (n ?1) ? 2 an ? n ? 1 ;
2 n?1

?2.

的正整数都成立,∴ Sn?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) , 两 式 相 减 , 得

试 题 解 析 :( 1 ) a3 ? a1a7 , 即

Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 3(n ? 1) ? 2an ? 3n ,
∴ an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3 , ∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,

(a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ? 6d ) ,化简得 d ?
或d ? 0.

1 a1 2


1 d ? a1 当 时 2 2?3 1 9 S3 ? 3a1 ? ? a1 ? a1 ? 9 2 2 2
a1 ? 2 或 d ? 1 ,





即 bn ?

an ?1 ? 3 ? 2 对一切正整数都成立, an ? 3

∴数列 ?bn ?是等比数列. 由已知得 S1 ? 2a1 ? 3 ,即 a1 ? 2a1 ? 3 ,∴

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ? n ? 1 , 即 an ? n ? 1 ; 当 d ? 0 时,由 S3 ? 9 ,得 a1 ? 3 ,即有

a1 ? 3 ,
∴ 首 项

b1 ? a1 ? 3 ? 6

, ,



比 ∴

an ? 3 .
(2)由题意可知 bn ? n ? 2 ,
n

q ? 2,?bn ? 6 ? 2n?1 an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 .



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2
2

n

(2)∵ nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n , ∴



2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
②, ① ② 得 :

Sn ? 3(1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n)


2Sn ? 3(1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ? ? n ? 2n?1 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n




? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? ?(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? Sn ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ) ? 3n ? 2n?1 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n)
n?1

∴ Tn ? (n ?1) ? 2

?2.
? 3? 2(2n ? 1) 3n(n ? 1) ? 6n ? 2 n ? , 2 ?1 2
3n(n ? 1) . 2
n

考点:1.等差数列的综合;2.等比数列的综 合;3.错位相减法的运用. 2. (1)证明见解析, an ? 3 ? 2n ? 3 ; (2)

n ∴ S n ? (6n ? 6) ? 2 ? 6 ?

S n ? (6n ? 6) ? 2 n ? 6 ?

3n(n ? 1) . 2

3. (1) an ? 2n ? 1 , bn ? 3 ; (2)不存在

试题解析: (1)∵ Sn ? 2an ? 3n 对于任意
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k ? N ? ,使得 1 ? 2Tn ?

1 成立. bn

3 1 1 an ? an ?1 ? 0 an ? an ?1 2 3 ∴2 ,即 an ? 2 3n .

试题解析: ( 1 )设等差数列 ?an ? 的公差为

d (d ? 0) ,




2 1 (1 ? ( ) n ) 3 ? 1 ? ( 1 )n Sn ? 3 5? 4 2 1 3 (5a1 ? d ) ? 2(a1 ? d ) ? 25, (a1 ? 3d ) ? a1 (a1 ? 12 d ) 1? 2 3 ( 2 ) , ∴ ,联立解得 a1 ? 3, d ? 2 . 1 1 1 ? ? bn ? ?n , bnbn ?1 n n ? 1 , ∴ an ? 2n ? 1 ,∵ b1 ? a1 ? 3, b2 ? a4 ? 9 ,
∴ bn ? 3 .
n



2



1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ? b b b3b4 bnbn?1 2 n ? 1 , ∴ 2 3

1 1 25 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 即 2 n ? 1 51 ,解得 n ? 101 .
, ∴ 5. ( 1 )由已知有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 ,解得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 , Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )]a? ( ? 5,故) 1?2 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3
, ∴ 1 ? 2Tn ?

2 1 ? 1 ? ? ,而 ? ? 是单 3 2k ? 3 ? 2k ? 3 ?

an?2 ? Sn?2 ? Sn?1 ? 4an?1 ? 2 ? (4an ? 2) ? 4an?1 ? 4an

2 13 调递减的,∴ ? 1 ? 2Tn ? , 3 15


于 是 an?2 ? 2 an?1 ? 2 (an?1 ? 2a, n )即

1 1 1 ? k ? (0, ] ,∴不存在 k ? N ? ,使 bk 3 3

bn?1 ? 2bn .
因此数列 {bn } 是首项为 3,公比为 2 的等比 数列. (2)由(1)知,等比数列 {bn } 中 b1 ? 3 , 公比 q ? 2 , 所以 an?1 ? 2an ? 3? 2n?1 .

1 得 1 ? 2Tn ? 成立. bn
an ? 2 3n (2) n ? 101 a1 ? 2 3,

4. (1)

试题解析: (1)当 n ? 1 时,

当 n ? 1 时,

Sn ?

1 1 an ? 1 S n ?1 ? an ?1 ? 1 2 2 , ,

an ?1 an 3 ? ? , 2n ?1 2n 4 a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等 因此数列 { n n 2 4 2
于是

答案第 2 页,总 4 页

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差数列.

an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? ? n ? , n 2 2 4 4 4
所以 an ? (3n ?1)? 2n?2 , 所 以

2n ? 1 ? 3n?1

?

Sn ? 1 ? 3 ??? (2n ?1) ?1 ? 3 ? ?? 3n?1
? n2 ? 3n ? 1 . 2 2n 2 ? 4n . n ?1

Sn ? 4an?1 ? 2 ? 4(3n ? 4)2n?3 ? 2 ? (3n ? 4)2n?1 ? 2
. 6. (I)证明见解析; (II)

n . n ?1

8. (Ⅰ) an ? 3n ; (Ⅱ) Tn ?

试题解析: (I)设等比数列的公比为 q ,由

试 题 分 析 :( I ) 将 原 式 变 形 得

(an ? an?1 )[(n ? 1)an ? nan?1 ] ? 0

?

题意知 q ? 0 ,且 3a1 ? 2a2 ? a3 ,
2 ? ?3a1 ? 2a1q ? a1q ∴? ,解得 a1 ? q ? 3 ,故 2 ? ?a1 ?a1q ? a1q

an?1 n ? 1 , 利 用 累 乘 法 得 : ? an n
以2 {an } 是以 2 为首项, an ? 2n(n ? N * ) , 为公差的等差数列; ( II ) 由 ( I ) 知

an ? 3n .………………5 分
( II )由( I )得 bn ? log3 an ? n ,所以

bn ?

1 1 n(n ? 1) ? Sn ? .………………6 分 ? n n ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 3 5 n n ? 11 ? 2S 2 1 1 n ? ? 2 ? 2( ? )?2 1 n ? 1? ? . Sn n(n ? 1) n n ?1 n ?1 n ?1
,………………8 分 故 数 列 {

7. ( 1 ) an ? 2n ?1(n ? 1, 2,3,?) ; (2)

n2 ?

3 ?1 . 2
n

1 ? 2Sn } 的 前 n 项 和 为 Sn
1 1 1 1 )? (? ? ? ) ? ( ? n 2 3 n n? 1 ) ] 2

试题分析: (1)易得 q ?

b3 9 ? ?3 ? b2 3

1 Tn ? 2 [ ? ( 1? 2

? 2(1 ?

b1 ?

b2 ?1 q

1 2n 2 ? 4n ) ? 2n ? .………… n ?1 n ?1
n?3 ; 2n

?

b4 ? b3q ? 27

?

……12 分 9. (1) 证明见解析; (2) ① Tn ? 3 ?

a1 ? b1 ? 1 , a14 ? b4 ? 27 ?
1 ? 13d ? 27

?

d ?2

?

② n ? 3 ,且 n ? N .
?

(2) 由 (1) 知, an ? 2n ?1(n ? 1, 2,3,?) ;



1











an ? 2n ? 1 bn ? 3n?1 ? cn ? an ? bn ?

(Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 1(n ? 2, n ? N ? )
,即 an?1 ? an ? 1(n ? 2, n ? N ? ) ,

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a2 ? a1 ? 1 ,∴数列 ?an ?是以 a1 ? 2 为首项,
公差为 1 的等差数列,∴ an ? n ? 1 . (2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? (n ? 1) ?

1 , 2n

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? (n ? 1) ? n 2 2 2 2
,①

1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n ? (n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2
,② ① ② 得 :

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2


n?3 代 入 不 等 式 得 2n n?3 n?3 3 ? n ? 2 ,即 n ? 1 ? 0 , 2 2 n?3 f ( n) ? n ? 1 设 , 则 2 n?2 f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ?1 ? 0 , 2
∴ Tn ? 3 ? ∴ f ( n) 在 N ? 上单调递减, ∵

f (1) ? 1 ? 0, f (2) ?

1 1 ? 0, f (3) ? ? ? 0 , 4 4

∴当 n ? 1, n ? 2 时,f (n) ? 0 , 当 n ? 3 时,

f ( n) ? 0 ,
所以 n 的取值范围为 n ? 3 ,且 n ? N .
?

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