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第22讲 三角函数的图象


1.能画出y ? sin x,y ? cos x,y ? tan x的图象, 了解三角函数的周期性. 2.会用“五点法”画函数y ? A sin( wx ? ? )的图象, 理解A、w、?的物理意义. 3.掌握函数y ? A sin( wx ? ? )与y ? sin x图象间的 变换关系. 4.会由函数y ? A sin( wx ? ? )的图象或图象特征 求函数的解析式



1.三角函数线 在图中规定了 方向的MP、 OM 、AT 分别 叫做角?的正 弦线、余弦 线、正切线.

2.三角函数的图象

3.y ? Asin(wx ? ? )的图象

其中相位变换中,平移量为①__________个单位长 度, 时向②________平移, 时向③________平移; φ>0 φ<0 横向伸缩变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的④ ________倍;振幅变换中,横坐标不变,而纵坐标变为 原来的⑤________倍(其中 A>0,ω>0). (2)物理意义:函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈ R)表示一个振动量时, 叫振幅, A T=⑥________叫周期, 1 f=T叫频率,⑦________叫相位,⑧________叫初相.

【要点指南】 1 2π ①|φ|; ②左; ③右;④ω; ⑤A;⑥ ω ; ⑦ωx+φ;⑧φ

1.函数 y=sin (ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ <2π)的部分图象 如图,则( )

π π A.ω= ,φ= 2 4 π π B.ω= ,φ= 3 6 π π C.ω= ,φ= 4 4 π 5π D.ω= ,φ= 4 4

2π π 【解析】T=(3-1)×4=8,ω= = , 8 4 π π π π 由 sin( ×1+φ)=1,得 +φ= ,φ= ,故 4 4 2 4 选 C.

π 2.若 x∈[0, ]内有两个不同的实数值满足等式 cos2x+ 2 3sin2x=k+1,则 k 的取值范围是( A.-2≤k≤1 C.0≤k≤1 B.-2≤k<1 D.0≤k<1 )

π 【解析】已知 2sin(2x+ )=k+1. 6 π 设 t=2x+ , 6 π 7π 则 t∈[ , ]. 6 6 由图象可知 1≤k+1<2,所以 0≤k<1.

π 3.函数 y=tan(2x- )与 y=-a(a∈R)的交点中距离最小 3 为 π 2 .

π π 【解析】交点中距离最小为周期 T= ,故填 . 2 2

3π π 4.把函数 y=cos(2x+ )的图象上各点向右平移 个 5 2 单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来 的 5 倍,最后再把整个图象向下平移 4 个单位,则所得图 2π 象的函数解析式是 y=5cos(4x- )-4 . 5

5.方程 sinx=lgx 的实根有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.无数个

)

【解析】利用图象可知有 3 个交点,故选 C.



三角函数图象的画法及变换

x x 【例 1】已知函数 y= 3sin +cos (x∈R). 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变 换而得到?

x π x π 【解析】(1)y=2sin( + ),令 X= + ,列表如下: 2 6 2 6

描点连图:

π (2)振幅 A=2,周期 T=4π,初相为 . 6

π (3)将 y=sinx 图象上各点向左平移 个单位,得到 y=sin(x 6 π π + )的图象,再把 y=sin(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到 6 6 x π 原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y=sin( + )的图象,最后把 y= 2 6 x π sin( + )的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,即得函数 2 6 x π y=2sin( + )的图象. 2 6

【点评】1.用“五点法”作图应抓住四条:①化为 y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出 2π 周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一个周期内的五个特殊点: ω 当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间的特殊点.

2. y=f(x)的图象, 对 若把图象沿 x 轴平移 a 个单位(a>0), 则向左平移把 x 换成 x+a,向右平移把 x 换成 x-a,即“左 加右减”,其他数均不变,若把图象上各点的横坐标伸长到原 1 来的 ω 倍(ω>1),则只需把 x 换 x;若把图象上各点的横坐标 ω 1 缩短到原来的 倍(ω>1),则只需把 x 换成 ωx;若将图象上各 ω 点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A 倍(A>1),则只需在 f(x)前乘 1 1 以 A( ),y=f(x)即可变为 y=Af(x)(y= f(x)). A A

素材1

若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上恰有两个不同实数解, 求 a 的范围.

【解析】因为 3sinx+cosx=a, π 所以 a=2sin(x+ ),其中 x∈[0,2π]. 6 π 画出函数 f(x)=2sin(x+ ),x∈[0,2π]的图象. 6

由已知方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]的图象与直线 y=a 有两个交点,结合图象易得 a 的范围为(-2,1)∪(1,2).



三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

π 【例 2】已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周 2 期内的图象如图所示,求此函数的解析式.

【解析】由图易得 A=2,因为相邻的两个最大,最小值点 的横坐标相差半个周期, 4π π 2π 2π 所以周期 T=2( - )= ,所以 ω= =3, 9 9 3 T 所以解析式为 y=2sin(3x+φ). π π 将( ,2)代入,得 2sin(3× +φ)=2, 9 9 π π π 即 sin( +φ)=1,所以 +φ=2kπ+ ,k∈Z, 3 3 2

π 解得 φ=2kπ+ ,k∈Z. 6 π π 因为|φ|< ,所以 φ= , 2 6 π 所以解析式为 y=2sin(3x+ ). 6

【点评】由图象确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,关键在 于确定参数 A,ω,φ.由图象的最高点或最低点确定 A;由图 象上的关键点确定周期,进一步确定 ω 的值;由图象的特殊 点(最好取最高点或最低点)确定 φ 的值.

素材2

函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图象如图所示, 求函数的解析式.

1 1 【解析】由图易求得 A= (4-0)=2,b= (4+0)=2, 2 2 从而 x=-2 到 x=2 是函数 y=A(ωx+φ)+b 的半个周期的 1 2π π 图象,所以 × =2-(-2),解得 ω= , 2 ω 4 π 所以 y=2sin( x+φ)+2,下面求 φ. 4

由题图知,当 x=-2 时,y=4, π 即 2sin[ ×(-2)+φ]+2=4, 4 π π 所以- +φ=2kπ+ (k∈Z),取 k=0,得 φ=π, 2 2 π 所以 y=2sin( x+π)+2. 4



对称轴(对称中心)问题

【例 3】已知函数 f(x)=Asinωx+Bcosx(其中 A、B、ω 是 1 实常数,且 ω>0)的最小正周期为 2,且当 x= 时,f(x)取得最 3 大值 2. (1)求函数 f(x)的表达式; 21 23 (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在, 4 4 求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.

【解析】(1)f(x)= A2+B2 sin(ωx+φ)(ω 为辅助角). 由已知 A2+B2 =2,T=2, 2π 所以 ω= =π,所以 f(x)=2sin(πx+φ). T 1 又 x= 时,f(x)取得最大值 2, 3 π π 所以 2=2sin( +φ),即 sin( +φ)=1. 3 3

π π π 由 +φ= ,得 φ= , 3 2 6 π 所以 f(x)=2sin(πx+ ). 6

π π 1 (2)由 πx+ =kπ+ (k∈Z),得 x=k+ ,即为此函数的 6 2 3 对称轴. 21 1 23 50 65 令 ≤k+ ≤ ,得 ≤k≤ (k∈Z), 4 3 4 12 12 所以 k=5. 21 23 16 故在[ , ]上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 4 4 3

【点评】对于 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴,可由 ωx+φ π =kx+2(k∈Z)解得,其对称轴有无数条,有时可用检验的方 法来确定一直线是否为其对称轴或在某范围内是否有对称 轴.

素材3

设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是 x π =8. (1)求 φ 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间.

π 【解析】(1)令 2x+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+2-2x(k∈Z), π π π π 将 x=8代入,得 φ=kπ+2-2×8=kπ+4(k∈Z). 3 又-π<φ<0,令 k=-1,得 φ=-4π.

3 (2)由(1)知:f(x)=sin(2x-4π), π 3 π 由 2kπ-2≤2x-4π≤2kπ+2(k∈Z),得 π 5π kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). π 5 即 f(x)的单调递增区间是[kπ+8,kπ+8π](k∈Z).

备选例题

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在

一个周期内的图象如图所示, 求直线 y= 3与函数 f(x)的图 象所有交点的坐标.

【解析】A=2, π π T=4[ -(- )]=4π, 2 2 2π 1 x 所以 ω= = ,所以 y=2sin( +φ). 2 T 2 π 将(- ,0)视为“五点法”中的第一点, 2 1 π π 则 ×(- )+φ=0?φ= , 2 2 4 1 π 所以 y=2sin( x+ ). 2 4

1 π 1 π 3 由 3=2sin( x+ ),得 sin( x+ )= , 2 4 2 4 2 1 π π 1 π 2π 所以 x+ =2kπ+ 或 x+ =2kπ+ ,k∈Z, 2 4 3 2 4 3 π 5π 即 x=4kπ+ 或 x=4kπ+ ,k∈Z, 6 6 π 5π 所以所有交点坐标为(4kπ+ , 3)(k∈Z)或(4kπ+ , 6 6 3)(k∈Z).

1.“五点法”作图时,一般是令wx ? ? 取0, ,? , 2 3? , ,算出相应的x的值,再列表,描点作图. 2? 2 2.函数图象变换主要是平移与伸缩变换,要注 意平移与伸缩的多少与方向. 3.给出y ? A sin( wx ? ? )的图象,求它的解析式, 常从寻找“五点法”中的第一个点来求?的值.

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