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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《导数在研究函数中的应用》 Word版含解析


导数在研究函数中的应用
【选题明细表】 知识点、方法 函数的单调性与导数 函数的极值与导数 函数的最值与导数 综合应用 题号 1、7、10 2、3、5 6、9 4、8、11

一、选择题 2 x 1.(2013 厦门市高三上学期期末质检)函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)

和(1,+∞) (D)(-3,1) x 2 x x 2 解析:y'=-2xe +(3-x )e =e (-x -2x+3), 2 由 y'>0? x +2x-3<0? -3<x<1, 2 x ∴函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是(-3,1). 故选 D. 2 x 2.(2013 西安五校联考)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)·e 的一个极值 点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象的是( D )

解析:若 x=-1 为函数 f(x)·e 的一个极值点,则易得 a=c.因为选项 A、 的函数为 f(x)=a(x+1) , B x x x x x 则[f(x)e ]'=f'(x)e +f(x)(e )'=a(x+1)(x+3)e ,所以 x=-1 为函数 f(x)e 的一个极值点,满足 条件;选项 C 中,对称轴 x=- >0,且开口向下,所以 a<0,b>0,所以 f(-1)=2a-b<0,也满足条件;

x

2

选项 D 中,对称轴 x=- <-1,且开口向上,所以 a>0,b>2a,所以 f(-1)=2a-b<0,这与图象矛盾,故 选 D. 3 3.(2013 年高考大纲全国卷)已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c 等于 ( A ) (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 解析:∵y'=3(x+1)(x-1), ∴当 x=-1 或 x=1 时取得极值, 由题意得 f(1)=0 或 f(-1)=0, 即 c-2=0 或 c+2=0, 解得 c=2 或 c=-2.故选 A. 3 2 4.(2013 福建龙岩质检)若函数 f(x)=ax +bx +cx+d 有极值,则导函数 f'(x)的图象不可能是 ( D )

解析:若函数 f(x)=ax +bx +cx+d 有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数 f'(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过 x 轴,观察四个选项中的图 象只有 D 项是不符合要求的,即 f'(x)的图象不可能是 D. 5.(2013 年高考重庆卷)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取 得极小值,则函数 y=xf'(x)的图象可能是( C )

3

2

解析:∵f(x)在 x=-2 处取得极小值, ∴当 x<-2 时,f(x)单调递减,即 f'(x)<0; 当 x>-2 时,f(x)单调递增,即 f'(x)>0. ∴当 x<-2 时,y=x·f'(x)>0; 当 x=-2 时,y=x·f'(x)=0; 当-2<x<0 时,y=x·f'(x)<0; 当 x=0 时,y=x·f'(x)=0; 当 x>0 时,y=x·f'(x)>0, 结合图象知选 C. 3 2 6.已知函数 f(x)=-x +ax -4 在 x=2 处取得极值,若 m、n∈[-1,1],则 f(m)+f'(n)的最小值是 ( A ) (A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15 2 解析:求导得 f'(x)=-3x +2ax, 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f'(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 3 2 由此可得 f(x)=-x +3x -4, 2 f'(x)=-3x +6x, 易知 f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 2 又 f'(x)=-3x +6x 的图象开口向下,

且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9. 故 f(m)+f'(n)的最小值为-13.故选 A. 二、填空题 7.(2013 南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x)对任意的 x∈(0,+∞) * 都有 f[f(x)-log2x]=6.若 x0 是方程 f(x)-f'(x)=4 的一个解,且 x0 ∈(a,a+1)(a∈N ),则 a= . 解析:根据已知 f(x)在(0,+∞)上是单调函数,又对任意的 x∈(0,+∞)都有 f[f(x)-log2x]=6, 得 f(x)-log2x 必为常数,记为 C,即 f(x)-log2x=C. 令 x=C,f(C)-log2C=C,而 f(C)=6,易知 C=4, 所以 f(x)=4+log2x,f'(x)= .

又因为 f(1)=4,f'(1)=

>0,f(2)=5,

f'(2)=

<1,所以 f(1)-f'(1)<4,f(2)-f'(2)>4,

根据零点存在性定理知,方程 f(x)-f'(x)=4 在(1,2)内必有一个解.又由于 f(x)-f'(x)是一个 增函数, 故方程 f(x)-f'(x)=4 在(1,2)内只有一个解.因此 a=1. 答案:1 3 8.(2013 广州模拟)设函数 f(x)=ax -3x+1(a∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为 . 2 解析:由题意得 f'(x)=3ax -3, 2 当 a≤1 时,在[-1,1]上恒有 f'(x)=3ax -3≤0, ∴f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0, 解之得 a≥2(与条件 a≤1 矛盾),不符合题意; 当 a>1 时,令 f'(x)=0 可得 x=± ,

当 x∈

时,f'(x)<0,f(x)为减函数;

当 x∈

,x∈

时,f'(x)>0,f(x)为增函数.

∴x=± 为极值点,要使 f(x)≥0 成立,

只需



∴a=4. 答案:4 三、解答题 9.已知函数 f(x)= (1+x) -ln(1+x), (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 x∈ 时,f(x)<m 恒成立,求 m 的取值范围.
2

解:(1)∵f(x)= (1+x) -ln(1+x)(x>-1) ,

2

∴f'(x)=(1+x)-

=

(x>-1),

∴-1<x<0 时,f'(x)<0,x>0 时,f'(x)>0, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞). (2)由(1)知,函数 f (x)在 上单调递减,在(0,e-1)上单调递增.

又∵f

=

+1,f(e-1)= e -1>

2

+1,

∴f(x)≤ e -1,

2

又 f(x)<m 在 x∈

上恒成立,

∴m> e -1.

2

10.(2013 石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数 f(x)=aln x-2ax+3(a≠0). (1)设 a=-1,求函数 f(x)的极值; (2)在(1)的条件下,若函数 g(x)= x +x [f'(x)+m].(其中 f'(x)为 f(x)的导数)在区间(1,3)上 不是单调函数,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 a=-1,f(x)=-ln x+2x+3(x>0), f'(x)=- +2,
3 2

∴函数 f(x)的单调递减区间为 ∴函数 f(x)的极小值是 f

,单调递增区间为

.

=-ln +2× +3=ln 2+4,无极大值.

(2)g(x)= x +
2

3

x,

2

∴g'(x)=x +(4+2m)x-1, ∵g (x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且 g'(0)=-1, ∴



即- <m<-2.

∴m 的取值范围是

.
2

11.(2013 内江市第一次模拟考试)已知函数 f(x)=ax -3x+ln x(a>0). (1)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)在区间 ,2 上的最值; (2)若函数 f(x)在定义域内是单调函数,求 a 的取值范围. 2 解:(1)∵f(x)=ax -3x+ln x, ∴f'(x)=2ax-3+ ,

又 f'(1)=0, ∴2a-2=0, ∴a=1, ∴f(x)=x -3x+ln x,f'(x)=2x-3+ ,
2

令 f'(x)=0,即 2x-3+ =0,

解得 x= 或 x=1 . 列表如下: x f'(x) f(x) - -ln 2 减 1 0 -2 (1,2 ) + 增 -2+ln 2 2

∴当 x=1 时,f(x)min=-2; ∵f(2)-f =-2+ln 2+ +ln 2=ln 4- >1- >0,

∴当 x=2 时,f(x)max=-2+ln 2. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2ax-3+ = 令Δ =9-8a. 当 a≥ 时,Δ ≤ 0,f'(x)≥0,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ,

当 0<a< 时,Δ >0,方程 2ax -3x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2,不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪ (x2,+∞)时,f'(x)>0,当 x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,这时,函数 f(x)在定义域内不是单调函数. 综上,a 的取值范围是 .

2


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