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高考数学核心考点集锦课件:第7讲 三角恒等变换与解三角形


第2讲 三角恒等变换与解三角形

◆三角恒等变换是高考考查三角内容的一个基本要求,它的基本题型包括: 求值、化简、恒等式证明. ◆三角恒等变换在高考中可直接出题,也可结合三角函数图象和性质进行 综合考查. ◆利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形. ◆在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、 诱导公式等知识点进行综合考查,其难度以

中低档题为主.

?π ? 1 1.(2011· 辽宁)设 sin?4+θ?= ,则 sin 2θ=( ? ? 3

).

A.-

7 9

1 B.- 9

C.

1 9

7 D. 9

解析 法一

?π ? 1 2 1 sin?4+θ?= ,即 (sin θ+cos θ)= ,两边平方得 2 3 ? ? 3

1 1 7 (1+sin 2θ)= ,∴sin 2θ=- . 2 9 9 法二 答案
? ?π ?? ?π ? 2 7 sin 2θ=-cos?2?4+θ??=2sin2?4+θ?-1= -1=- . 9 9 ? ? ?? ? ?

A

?π ? 1 ?π β? ? β? π π 3 2. (2011· 浙江)若 0<α< , <β<0, ?4+α?= , ?4-2?= , cos?α+2? - cos cos 则 2 2 3 ? ? 3 ? ? ? ?

=( A. 3 3

). B.- 3 3
?

5 3 C. 9
??

D.-

6 9
?? ?

解析

? ??π ? ?π β ?? β? cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? =cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?, ?π ? 2 2 π π π 3π ? +α?= ∵0<α< ,则 < +α< ,∴sin 4 . 2 4 4 4 3 ? ? ?π β? π π π β π 6 又- <β<0,则 < - < ,则 sin?4-2?= . 2 4 4 2 2 3 ? ? ? β? 1 3 2 2 6 5 3 ?α+ ?= × + 故 cos × = . 2? 3 3 3 3 9 ?

答案

C

3.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2 = 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=( A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 由 sin C=2 3sin B,根据正弦定理,得 c=2 3b,把它代入 a2-b2 ).

= 3bc 得 a2-b2=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 6b2 3 由余弦定理,得 cos A= = = = . 2bc 2b· 3b 2 4 3b2 2 又∵0° <A<180° ,∴A=30° . 答案 A

4. (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, c, B, b, asin Asin b B+bcos A= 2a,则 =( a
2

). D. 2

A.2 3 解析

B.2 2

C. 3

依题意可得 sin2A· B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B= 2sin A,∴ sin

b sin B = = 2. a sin A 答案 D

5.(2011· 天津)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3 BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( ).

3 A. 3 解析

3 B. 6

6 C. 3

6 D. 6

3 2 2 设 BD=1,则 AB=AD= ,BC=2.在△ABC 中,解得 sin A= , 2 3 AB BC 6 = ,得 sin C= . sin C sin A 6

在△ABC 中,由正弦定理 答案 D

6.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2, b=2,sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. 解析
?π ? ? +B?= 2, ∵sin B+cos B= 2 sin 4 ? ?

?π ? π ? +B?=1.又 0<B<π,∴B= .由正弦定理, ∴sin 4 4 ? ?

2 2× 2 1 asin B π 得 sin A= = = .又 a<b,∴A<B,∴A= . b 2 2 6 答案 π 6

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos(α?β)=cos αcos β± αsin β; sin sin(α± β)=sin αcos β± αsin β; cos tan(α± β)= tan α± β tan . 1?tan αtan β

(1)对于两角和与差的正切公式来说,当 tan α,tan β 或 tan(α± β)的值不存在 时,不能使用公式处理有关问题,应改用诱导公式或其他方法来解. (2)要辨证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当的变换:α=(α+β) -β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.

二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan 2α= 2tan α . 1-tan2α
2

1-cos 2α (2)降幂公式:sin α= ; 2 cos2α= 1+cos 2α . 2

正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理及其变形: 在△ABC 中, a b c = = =2R(其中 R 是外接圆的半径); sin A sin B sin C

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. (2)余弦定理及其变形: a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C; b2+c2-a2 cos A= ; 2bc a2+c2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab

(3)三角形的面积公式: 1 1 S= absin C= acsin B 2 2 1 = bcsin A. 2 (4)三角形中的常用结论: ①A+B+C=π; ②sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C, tan(A+B)=-tan C;③角 A,B,C 成等差数列的充要条件是 B=60° .

(1)在△ABC 中,A>B?sin A>sin B,若没有条件“在△ABC 中”,它就不成 立. (2)当用正、余弦定理判断三角形形状时,特别注意当转化为角来解决时, 不要忽视角的范围.

三角恒等变换及求值

三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂,特别是和与差的三角 函数公式与三角恒等变换的灵活运用.高考对该内容的考查,一般多以选 择题、填空题考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用,解答题往往 与向量交汇命题.

【例题 1】 ?已知 A, C 是△ABC 三内角, B, 向量 m=(-1, 3), n=(cos A, sin A),且 m· n=1. (1)求角 A; (2)若 1+sin 2B =-3,求 tan C. cos2 B-sin2 B

解 (1)∵m· n=1,∴(-1, 3)· A,sin A)=1. (cos
? 3 1? ?sin A· -cos A·?=1, 即 3sin A-cos A=1,2 2 2? ? ? π? 1 得 sin?A-6?= . ? ? 2

π π 5π ∵0<A<π,- <A- < . 6 6 6 π π π ∴A- = ,即 A= . 6 6 3

1+2sin Bcos B (2)由题设知 =-3,整理得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0. 2 2 cos B-sin B ∴cos B≠0,tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2,或 tan B=-1. 而 tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0, 故应舍去. ∴tan B=2, 从而 tan C=tan[π tan A+tan B 8+5 3 -(A+B)]=-tan(A+B)=- = . 11 1-tan Atan B 利用两角和与差的三角函数公式时,常有如下变形:
? α ? α ?2 b? 2 2 cos ? ;②asin θ+bcos θ= a +b sin(θ+φ)?tan φ= ?. ①1± α=?sin2± sin 2? a? ? ?

?1 π? 【变式 1】?(2011· 广东)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? ? π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? 13 ?5π? ?5π π? π 解 (1)由题设知:f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. 4 ? ? ? ?

π? 10 ? ?3α+ ?=2sin α, (2)由题设知: =f 2? 13 ?
? π? 6 =f(3β+2π)=2sin?β+2?=2cos β, 5 ? ?

即 sin α=

5 3 ,cos β= . 13 5

? π? 12 4 又 α,β∈?0,2?,∴cos α= ,sin β= , 13 5 ? ?

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 12 3 4 5 16 = × - × = . 13 5 5 13 65

正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三角形是高 考的一个热点问题.高考对该内容的考查可以是小题,直接利用正弦定理 和余弦定理的公式去求解三角形问题,多属于中档题;也可以是大题,多 是交汇性问题,常常是与三角函数或平面向量结合.

【例题 2】?(2011· 山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. cos A-2cos C 2c-a 已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

a b c 解 (1)由正弦定理,设 = = =k, sin A sin B sin C 则 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)· B, cos 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. 因此 sin C =2. sin A

sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A 1 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= ,b=2, 4
2 2 2

1 得 4=a +4a -4a × . 4
2 2 2

解得 a=1,从而 c=2. 1 又因为 cos B= ,且 0<B<π, 4 所以 sin B= 15 . 4

1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

(1)利用正弦定理,将角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sin A, 用 b 替换 sin B,用 c 替换 sin C.sin A,sin B,sin C 的次数要相等,各项要 同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分. (2)求角的大小一定要有两个条件: ①角的范围; ②角的某一三角函数值. 用 三角函数值判断角的大小时,一定要注意角的范围及三角函数的单调性.

【变式 2】?(2010· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)· C. sin (1)求 A 的大小; (2)求 sin B+sin C 的最大值. 解 (1)由已知,根据正弦定理,得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2 +bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 所以 cos A=- ,又 0° <A<180° ,故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin B+sin C=sin B+sin(60° -B)= 1 sin B=sin(60° +B). 2 故当 B=30° 时,sin B+sin C 取得最大值 1. 3 cos B+ 2

正、余弦定理的实际应用
由于正、余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三角形应用 问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点,其主要要求是:会利 用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际 问题.

【例题 3】?如图所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两 个观测点,现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出 ,B 的 求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立 即前往营救, 其航行速度为 30 海里/时, 该救援船到达 D 点需要多长时间?

解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里. ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=45° ,∴∠ADB=105° . DB AB 在△DAB 中,由正弦定理,得 = . sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· 45° sin ∴DB= = sin 105° sin∠ADB 5 ?3+ 3?· 45° sin = sin 45° 60° cos +sin 60° 45° cos 5 3?1+ 3? = =10 3(海里). ?1+ 3? 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3 海里. 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2-2BD· cos ∠DBC BC· 1 =300+1 200-2×10 3×20 3× =900. 2 ∴CD=30 海里,则需要的时间 t= 故救援船到达 D 点需要 1 小时. 解斜三角形应用题应注意: (1)准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语, 如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、方向角等,然后根据题意画出图形. (2)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,建立数学模型求解.注意: 算法要简练,运算要准确. 30 =1(小时). 30

【变式 3】?(2011· 揭阳模拟)如图,某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直 的水平面内沿南偏西 60° 的方向以每分钟 100 米的速度步行了 1 分钟以后, 在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.

解 (1)依题意知在△DBC 中∠BCD=30° ,∠DBC=180° -45° =135° ,CD =100(m),∠D=180° -135° -30° =15° , 由正弦定理得 CD BC = , sin∠DBC sin∠D

6- 2 CD· sin∠D 100×sin 15° 100× 4 50? 6- 2? ∴BC= = = = =50( 3- sin 135° sin∠DBC 2 2 2 1)m. AB 在 Rt△ABE 中,tan α= ,∵AB 为定长, BE ∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE⊥CD, 当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中, 3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)· =25(3- 3)m. 2

设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟, EC 25?3- 3? 3- 3 则 t= = = (分). 100 100 4 (2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCD, 1 ∴AB=BE· 60° tan =BC· sin∠BCD· 60° tan =50( 3-1)·· 3=25(3- 3)m, 2 即所求塔高为 25(3- 3)m.

三角函数中的转化与化归思想和分类讨论思想 转化的一种方式是变换研究对象,将问题转移至新对象的知识背景中去研 究,从而使非标准型问题、复杂问题简单化,进而变得容易处理.通过引 进新的变量,可以将分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将 条件与结论联系起来,或者使题目的形式变得熟悉,从而将复杂的计算或 证明题简化.

【例题】?设 a 为正常数,求函数 y=2a(sin x+cos x)-sin xcos x-2a2 的最 值. t2-1 解 令 t=sin x+cos x,则- 2≤t≤ 2,且 sin xcos x= . 2 1 1 2 将其代入原函数表达式得 y=- (t-2a) + . 2 2 1 再注意到- 2≤t≤ 2,a>0,则当 t=- 2时,ymin=-2a -2 2a- . 2
2

①若 a>

2 1 ,则当 t= 2时,ymax=-2a2+2 2a- ; 2 2 2 1 ,则当 t=2a 时,ymax= . 2 2

②若 0<a≤

题后反思:关于三角函数的最值问题,我们一般是利用其自身的有界性来 解决.如果是形如 y=sin x+cos x+sin xcos x 的情况,则需要进行换元,其 t2-1 方法一般是:设 sin x+cos x=t,则 sin xcos x= ,再将问题转化为二次 2 函数处理,如果是形如 y=asin x+bsin2x 的形式,则直接令 t=sin x,然后 将其转化为二次函数来解决.在换元时,同学们要特别注意变量取值范围 的变化情况.

1 【试一试】?已知函数 y=sin x+acos x- a 的最大值为 3,求 a 的值. 2
2



1 y=sin x+acos x- a 2
2 2

1 =-cos x+acos x+1- a 2
? a?2 a2 1 =-?cos x-2? + +1- a. 4 2 ? ? ? a ?2 a 2 1 令 cos x=t,则 y=-?t-2? + - a+1,-1≤t≤1. 4 2 ? ?

a 1 (1)当 <-1,即 a<-2 时,当 t=-1 时,ymax=-1-a+1- a=3,解得 a 2 2 =-2(舍去);

a a a2 1 (2)当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2 时,当 t= 时,ymax= - a+1=3,解得 a 2 2 4 2 =-2 或 a=4(舍去); a 1 (3)当 >1,即 a>2 时,当 t=1 时,ymax=-1+a+1- a=3,解得 a=6. 2 2 综上所述,a=-2 或 a=6.

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