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2015年全国高考理科数学试题及答案-四川卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川) 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A ? B = () A.

{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3}

3 2.设 i 是虚数单位,则复数 i ?

2 =() i

A.-i B.-3i

C.i.

D.3i

3.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值是() A. -

3 2

B.

3 2

C.-

1 2

D.

1 2

4.下列函数中,最小正周期为 ? 且图象关于原点对称的函数是( A. y ? cos(2 x ? 5.过双曲线 x ?
2

)

?
2

) B. y ? sin(2 x ?

?
2

) C. y ? sin 2 x ? cos 2x D y ? sin x ? cos x

y2 ? 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两 3


点,则 AB ? (

(A) .

4 3 (B) 2 3 (C)6 3

(D) 4 3 )

6.用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数, 其中比 40000 大的偶数共有 (
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(A)144 个(B)120 个(C)96 个(D)72 个 7.设四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? 6 , AD ? 4 .若点 M,N 满足 BM ? 3MC ,

??? ?

????

???? ?

???? ?

???? ???? ???? ? ???? ? DN ? 2 NC ,则 AM .NM ? (
(A)20 (B)15

) (C)9 (D)6

a b 8.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“ 3 ? 3 ? 3 ”是“ loga 3 ? logb 3 ”的

(A)充要条件(B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 9.如果函数 f ? x ? ? mn 的最大值为() (A)16 (B)18 (C)25 (D)

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 单调递减,则 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?

81 2
2

2 2 2 10.设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A,B 两点,与圆 ? x ? 5 ? ? y ? r ? r ? 0 ? 相切于点

M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是()

3? (B) ?1, (A) ?1, 4? (C) ? 2, 3? (D) ? 2, 4?

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.在 (2 x ? 1)5 的展开式中,含 x 2 的项的系数是(用数字作答).
? ? 12. sin15 ? sin 75 的值是

.

? kx?b 13.某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位: C )满足函数关系 y ? e ? ( e ? 2.718 ? 为自然对数的底数,k、b 为常数) 。若该食品在 0 C 的保鲜时间设计 192 小

? ? 时,在 22 C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 C 的保鲜时间是小时.

14.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最
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大值为.

15. 已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x 2 ? ax (其中 a ? R ) 。对于不相等的实数 x1 , x2 ,设

m?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? , x1 ? x2 x1 ? x2

现有如下命题: (1)对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中的真命题有(写出所有真命题的序号) 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程演算步骤) 16、 (本题满分 12 分)数列 ?an }(n ? 1,2,3...) 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且

a1, a2 ? 1, a3 成等差数列
(I)求数列 ?an } 的通项公式 (II)记数列 {

1 1 成立 n 的最小值。 } 的前项和 Tn ,求使得 Tn ? 1 ? 1000 an

17、 (本题满分 12 分) 某市 A、 B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了 3 名男生, 2 名女生,A 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训,由于集训 后队员水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取 3 人, 从参加集训的女生中随机抽取 3 人组 成代表队 (I)求 A 中学至少有一名学生入选代表队的概率
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(II)某场比赛前,从代表队的 6 名中随机抽取 4 名参赛,记 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列于数学期望。 18、 (本题满分 12 分)一个正方体的平面展开图和直观图的示意图如图所示,在正方体中, 设 BC 的中点为 M,GH 的中点为 N (I)请将字母 F、G、H 标记在正方体的直观意图相应的顶点处(不要求说明理由) (II)证明:直线 MN ? 平面 BDH (III)求二面角 A-EG-M 的余弦值

19、 (本题满分 12 分)如图 A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 (I)证明: tan

A 1 ? cos A ? 2 sin A A B C D ? tan ? tan ? tan 的值 2 2 2 2

(II)若 A+C= 1800 ,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5 求: tan

20、 (本题满分 13 分) (III) 如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 2 a b 2

A、B 两点当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截的线段长为 2 2 (I)求椭圆 E 的方程 (II) 在平面直角坐标系中是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 求出 Q 点的坐标,若不存在,说明理由

QA QB

?

PA PB

恒成立, 若存在,

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21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x2 ? 2ax ? 2a2 ? a ,其中 a ? 0 , (I)设 g ( x) 是 f ( x ) 的导函数,讨论函数 g ( x) 的单调性(II)证明:存在 a ? (0,1) 使得

f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内恒成立,且 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内有唯一解

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