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不等式易错题分析


不等式易错题分析 一、解一元二次不等式的易错题
(一) 、随意消项致误 例题 1:解不等式; ( x2 ? 4 x ? 4)( x2 ? 4 x ? 3) ? 0 错解:原不等式可化为: ( x ? 2)2 ( x ?1)( x ? 3) ? 0 解得?( x ? 2)2 ? 0,?( x ?1)( x ? 3) ? 0 所以 x ? 3或x ? 1 原不等式的解集为: ?x | x ? 3或x ? 1? 剖析:错误是由于随意消项造成的,事实上,当 ( x ? 2)2 ? 0 时,原不等式亦成立 正解:原不等式可化为: x ? 2 ? 0 且 ( x ?1)( x ? 3) ? 0或( x ? 2) ? 0 解得 x ? 3或x ? 1或x=2 所以原不等式的解集为: ?x|x ? 3或x ? 1或x=2? (二) 、函数不清致误 例题 2:已知函数 y ? (m2 ? 4m ? 5) x2 ? 4(1 ? m) x ? 3 的图像都在 x 轴的下方,求实 数 m 的取值范围。 错解: ,依题意,对 x ? R, y ? 0 恒成立,于是函数的图像开口方向向上,且图像
2 ? ? m ? 4m ? 5 ? 0 与 x 轴无交点。故 ? 2 3(m2 ? 4m ? 5) ? 0 ? ?? ? ? 4(1 ? m)? ? 4? 解得 1 ? m ? 19 即所求 m 的取值范围为 1 ? m ? 19

剖析: 题设中的函数未必时二次函数, 也就是说缺少对 m2 ? 4m ? 5 是否为 0 的讨 论。 正解:当 m2 ? 4m ? 5 ? 0 时,同上述解答有 1 ? m ? 19 , 若 m2 ? 4m ? 5 ? 0 时,则 m=1 或 m=5 若 m=1,,则已知函数化为 y ? 3 ,则对 x ? R, y ? 0 恒成立; 若 m=5,则已知函数化为 y ? 24 x ? 3 ,对 x ? R, y ? 0 不恒成立,故此情形舍去。 所以 m 的取值范围为 1 ? m ? 19
1

(三) 、漏端点致误 例题 3:已知集合 A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | a ? a ? 3? ,且 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是____________ 错解: A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ? ? x | ?1 ? x ? 2? 若使 A ? B ? ? ,需满足 a ? 2或a ? 3 ? ?1,解得 a ? 2或a ? ?4 ,所以实数 a 的取 值范围是 a ? 2或a ? ?4 。 剖析:上面的解法错误原因在于忽视了集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? 的两个端点值 -1 和 2, 其实当 a ? 2 时 B ? ?x | 2 ? x ? 5? , 满足 A ? B ? ? ; 当 a ? 3 ? ?1 时, 即 a ? ?4 时也满足 A ? B ? ? 。 正 解 : A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ? ? x | ?1 ? x ? 2? 若 使 A ? B ? ? , 需 满 足
a ? 2或a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2或a ? ?4 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2或a ? ?4 。 (四)、条件非充要致误

例题 4:若方程 x2 ? (m ? 2) ? 5 ? m ? 0 的两根均大于 2,求实数 m 的取值范围。
?(m ? 2) 2 ? (5 ? m) ? 0 ?? ? 0 ? ? 错解:设两根为 x1 , x2 ,则有题意可得: ? x1 ? x2 ? 4 ? ?2 ? m ? 4 ? x ?x ? 4 ?5 ? m ? 4 ? 1 2 ? 解得 m ? ?4

剖析:错在 x1 ? x2 ? 4 且 x1 ?x2 ? 4 与 x1 ? 2且x2 ? 2 不等价,事实上,由后者可以 推出前者,但是由前者却推不出后者。 正 解 : 设 两 根 为

x1 , x2

















?(m ? 2) 2 ? (5 ? m) ? 0 ?? ? 0 ? ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 0 ? ?2 ? m ? 4 ?( x ? 2)?( x ? 2) ? 0 ?5 ? m ? 4 ? 1 2 ? 解得 ?5 ? m ? ?4

二基本不等式的易错题
(一) 、忽视条件——正数 例题 5:已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 1 ,求证 xy ? 错解:由基本不等式得 x ? y ? 2 xy
1 4

2

? xy ? (

x? y 2 1 ) ? 2 4

剖析:公式 x ? y ? 2 xy 的使用的前提条件时 x,y 均为正数,错解忽视了这个前 提条件 正解: 1 ? ( x ? y)2 ? x2 ? y 2 ? 2xy ? 2xy ? 2xy
当且仅当 x ? y 时取“=”

1 4 (二)忽视条件二——定值 ? xy ?
例题:6:若 ? ? ? 0,

a2 b2 ? ?? f ( ? ) ? ? ,求 的最小值。 , a ? b ? 0 ? cos 2 ? sin 2 ? ? 2?

错解: f (? ) ?

a2 b2 a2 b2 2ab ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 cos ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos?
b a2 b2 ? ,即 tan ? ? 2 2 a cos ? sin ?

当且仅当

此时

2ab 4ab 4ab ? ? ? 2(a 2 ? b2 ) 2 tan ? sin ? cos ? sin 2? 1 ? tan 2 ?

?

a2 b2 ? ? 2(a 2 ? b2 ) cos 2 ? sin 2 ?
2 2

即 ? f (? )?min ? 2(a ? b ) 剖析:使用基本不等式求函数的最值时,需验证“一正二定三相等”的条件,上述解法违 背了第二条“二定值”要求 ? ? ? 0,

? ?

??

? 内的任意一个值时不等式的右边均为定值。 2?

正解: f (? ) ?

a2 b2 ? cos 2 ? sin 2 ?

1 ) tan 2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? (a 2 tan 2 ? ? ) tan 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? a 2 (1 ? tan 2 ? ) ? b 2 (1 ?
当且仅当 a tan ? ?
2 2

b2 b ,即当 tan ? ? 时, 2 tan ? a

3

所以 f (? ) 的最小值为 (a ? b)2

(三) 、忽视条件三——相等 1、忽视等号是否成立 例题 7:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4 ?

的最小值。

错解:函数 y ?

x2 ? 5 x ?4
2

x2 ? 4 ? 1 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

?2

所以函数的最小值为 2。 剖析:使用基本不等式求函数的最值时,一定验证等号成立的条件即
上述解法在等号成立时, 在实数范围内是不成立的。 a ? b ? 2 ab,只有a ? b 才能取等号。 正解: y ?

x2 ? 5 x ?4
2

?

x2 ? 4 ? 1 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

t= x2 ? 4 ? 2,
1 y ? t ? 在 t ? 2 时是单调递增的, t 1 1 5 ?y ? t ? ? 2? ? t 2 2 5 故函数的最小值是 2 2、多次使用,忽视等号是否同时成立
例题 8:已知两个正实数 x, y ,满足 x ? y ? 4 ,求 错解:由已知得 4 ? x ? y ? 2 xy ? xy ? 4

1 4 ? 的最小值 x y

1 4 4 4 ? ?2 ? ?2 x y xy xy
所以

1 4 ? 最小值是 2 x y

剖 析 : 上 述 解 法 中 两 次 使 用 基 本 不 等 式 , 其 中 xy ? 4 等 号 成 立 必 须 满 足 x ? y , 而

1 4 4 ? ?2 的等号成立时,必须有 4 x ? y ,因为均为正数,所以两个等号不会同时成 x y xy
立,所以上述解法是错误的。

4

正解:? 4( ?

1 x

4 1 4 4x y ) ? ( x ? y )? ( ? ) ? 5? ? ?9 y x y y x 1 4 ? 且 x? y ? 4, x y

当且仅当

即x?

4 8 , y ? 时取等号, 3 3

1 4 9 ? ? ? x y 4


9 1 4 ? 最小值为 4 x y

5


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