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2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标2


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂

其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,1,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B=( (A) {--1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2} ) )

(2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a=( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不 正确的是( )

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著

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(B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( (A)21 (B)42 (C)63 (D)84 ) )

(5)设函数 f ( x) ? ? (A)3

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? ( (D)12

(B)6

(C)9

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为

(A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (C)4 6 (B)8 (D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若 输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为 该球面上的动点, 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π

10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A、B 两点 距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

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(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° , 则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2
'

(12)设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数,f(-1)=0,当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (?1,0) 二、填空题 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________. B. (?1,0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

?

?

? ?

?

?

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________.
4

(16)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________. 三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ) 若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2
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(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对 产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的 平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果 相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19. (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB = 16, BC = 10, AA1 = 8, 点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) , 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 3
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求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的底边 BC 交 于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切 于 E,F 两点。 (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。 B M E O D N C G F A

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点, ? y ? t sin ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲
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设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

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参考答案
一.选择题 (1)A (7)C 二.填空题 (13) 三.解答题 (17)解: (Ⅰ) S? ABD ? (2)B (8)B (3)D (9)C (4)B (10)B (5)C (11)D (6)D (12)A

1 2

(14)

3 2

(15)3

(16) ?

1 n

S? ADC

1 AB ?AD sin ?BAD 2 1 ? AC ?AD sin ?CAD 2

因为 S? ABD ? S? ADC , ?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC 由正弦定理可得

sin ?B AC 1 ? ? sin ?C AB 2
(Ⅱ)因为 S? ABD : S? ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 在 ? ABD 和 ? ADC 中,由余弦定理知

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD?BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD?DC cos ?ADC
故 AB ? 2 AC ? 3 AD ? BD ? 2DC ? 6
2 2 2 2 2

由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 (18)解: (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

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通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值; A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。 (Ⅱ)记 C A1 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ; “A 地区用户的满意度等级为非常满意” ; C A 2 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满意” ; CB1 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为满意” , C B 2 表示事件: 则 C A1 与 CB1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 ,

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB 2 ) P(CA2 )
由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发生的频率分别为

16 4 10 8 , , , ,故 20 20 20 20 16 4 10 8 P(C A1 ) ? , P(C A 2 ) ? , P(CB1 ) ? , P(CB 2 ) ? 20 20 20 20 16 4 10 8 P(C ) ? ? ? ? ? 0.48 20 20 20 20

(19)解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

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(Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? A 1E ? 4, EM ? AA 1 ?8 因为 EHGF 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10
??? ?

以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

??? ? ??? ? A(10,0,0), H (10,10,0), E(10, 4,8), F (0, 4,8), FE ? (10, 0,0), HE ? (0, ?6,8)
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 EHGF 的法向量,则

??? ? ? ?n?FE ? 0, ?10 x ? 0, 即? ? ???? n ? HE ? 0, ??6 y ? 8 z ? 0, ? ?
所以可取 n ? (0, 4,3)

??? ? ??? ? ??? ? | n?AF | 4 5 ??? ? ? 又 AF ? (?10, 4,8) ,故 | cos ? n, AF ?|? | n || AF | 15
所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 (20)解: (Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) 将 y ? kx ? b 代入 9 x2 ? y 2 ? m2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0 ,故

4 15 15

xM ?

x1 ? x2 ?kb 9b ? 2 , yM ? kxM ? b ? 2 2 k ?9 k ?9

于是直线 OM 的斜率 kOM ?

yM 9 ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 xM k

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 (Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ? 0, k ? 3 3 9 由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ? x k
因为直线 l 过点 ( 设点 P 的横坐标为 xP
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9 ? k 2 m2 ? km ? y ? ? x, 2 x ? 由? 得 ,即 xP ? k P 2 9k ? 81 3 k2 ? 9 ?9 x 2 ? y 2 ? m 2 , ?
将点 (

m m(3 ? k ) k (k ? 3)m , m ) 的坐标代入 l 的方程得 b ? ,因此 xM ? 3 3 3(k 2 ? 9)

四变现 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM 于是

?km 3 k ?9
2

? 2?

k (k ? 3)m ,解得 k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7 3(k 2 ? 9)

因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 ,所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四 边形 (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? m(emx ?1) ? 2 x 若 m ? 0 ,则当 x ? (??,0) 时, emx ?1 ? 0, f ? (x )? 0;当 x ? (0, ?? ) 时, e
mx

?1 ? 0 ,

f ?( x) ? 0
若 m ? 0 ,则当 x ? ( ??, 0) 时, emx ?1 ? 0, f ? (x )? 0;当 x ? (0, ?? ) 时, e
mx

?1 ? 0 ,

f ?( x) ? 0
所以, f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m, f ( x) 在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故 f ( x ) 在 x ? 0 处取 得最小值,所以对于任意 x1 , x2 ?[?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 的充要条件是

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,

m ? ?e ? m ? e ? 1, ? ?m ? ?e ? m ? e ? 1,



设函数 g (t ) ? e ? t ? e ? 1 ,则 g ?(t ) ? e ? 1
t t

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当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单 调递增。 又 g (1) ? 0, g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 当 m ? [?1,1] 时, g (m) ? 0, g (?m) ? 0 ,即①式成立; 当 m ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g (m) ? 0 ,即 e ? m ? e ? 1 ;
m

当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e 综上, m 的取值范围是[-1,1] (22)解:

?m

? m ? e ?1

(Ⅰ)由于 ? ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线 又因为 ? O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF 从而 EF // BC (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平 分线.又 EF 为 ? O 的弦,所以 O 在 AD 上 连结 OE , OM ,则 OE ? AE 由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30 ,因
?

此 ? ABC 和 ? AEF 都是等边三角形 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 因为 OM ? OE ? 2, DM ?

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 ,于是 AD ? 5, AB ? 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为 (23)解:

1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

(Ⅰ) 曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 , 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 .
2 2

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2 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 0, 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3x ? 0

? x ? 0, 解得 ? ? y ? 0,

? x? ? ? 或? ?y ? ? ?

3 , 2 3 . 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 3 , ) 2 2

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? 因此 A 的极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) 所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? 当? ? (24)解: (Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd , 由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 因此 a ? b ? c ? d (Ⅱ) (ⅰ)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 ,即

?
3

)|

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4 6

(a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d (ⅱ)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2
因此 | a ? b |?| c ? d | 综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件
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