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1.3.4证明不等式的基本方法(4)


证明不等式的基本方法
——放缩法

【学习目标】
1.感受在什么情况下,需要用放缩法证明不等式。 2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

热身训练
1.设 0<x<1,则 a= A. a B. b
1 2 x,b=1+x,c= 1 ? x 中最大的一个是(

C )

C. c

D.不能确定

1 1 2.若 a < b <0,则下列结论不正确 的是( ...

D )
D.|a|+|b|>|a+b|

A.a2<b2

B.ab<b2

b a C. a + b >2

3.若 a、b∈R,有下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);

1 ③(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2;④a+ a ≥2. 其中一定成立的是 ①②③ .
a? b 4 .已知 | a |? 1 , | b |? 1 , 求证: ? 1. 1 ? ab

探究展示
问题1 若n是自然数,求证: 2 ?
1
( 提示: 1 k
2

1

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

? 2.

?

1 k ( k ? 1)

?

1 k ?1

?

1 k

, k ? 2 , 3 , 4 , ? , n .)

问题2 若 a , b , c ?

R

?

,证明:

a

b?c

?

b a?c

?

c a?b

? 1.

在证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫放缩法。 常见放缩方法有: 1.分式放缩; 2.利用已知结论放缩;

3.裂项放缩; 4.先放缩后求和。

精讲点拨
例 1 .已知 a , b , c , d ? R , 求证 1? a a?b?d ? b b?c?a ? c c?d ?b ? d d ?a?c ? 2
?

例 2 .已知 f ( x ) ?

1 ? x , a ? b , 求证:| f ( a ) - f ( b ) |? | a - b | .
2

放缩法就是将不等式的

一边放大或缩小

, 寻找一个

中间量 , 如将 A 放大成 C , 即 A ? C , 后证 C ? B .常用的放缩 技巧有 : ( 1 ) 舍掉 ( 或加进 ) 一些项 ; ( 2 ) 在分式中放大或缩小分 ( 3 ) 应用基本不等式进行放 如 1 k 1 k
2

子或分母 ; 缩. 1 , 2 k ? k ?1

?

1

k ( k ? 1) k 2 k ? k ?1

,

1
2

? 1 k

k ( k ? 1) ?

?

,

(以上 k ? 2 且 k ? N ? )

达标检测
1.设x>0,y>0, M
? x? y 2? x? y ,N ? x 2? x ? y 2? y ,

则M、N的大小关系是( B ) A. M>N B. M<N C. M≥N
2 .求证: 1 2 1 n?1 ? 1 2
2

D. M≤N
1
2

?

1 3
2

?? ?

?

n -1 n

( n ? 2 , 3 ,4, ? )

n

归纳延伸
1.放缩法证明不等式的理论依据主要有: (1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较. 2.常用的放缩技巧: (1)对于分子分母均取正值的分式, (i)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数) ,则分式的值放大; (ii)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。 (2) ①舍掉(或加进 )一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不 等式进行放缩.

课后作业:P29 2、3、5 预习作业:课本P31—35页内容,了解二维柯 西不等式及相关知识。


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