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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.8正弦定理和余弦定理的应用


课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A.4 C.3 2 B. 17 D. 19 )

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,

某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到 达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

3.(2012· 天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25

4. 如图, 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则 灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km ) B. 3a km D.2a km

5. (2012· 余姚模拟)如图, 海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30° , 与 O 相距 15 海里的 C 处.现甲船以 35 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东 方向 25 海里的 B 处的乙船,则甲船到达 B 处需要的时间为( )

1 A. 小时 2 3 C. 小时 2

B.1 小时 D.2 小时

6.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观

察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里

)

7.(2012· 潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测 得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是 ________n mile/h. 8.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45° 60° 而且两条船与炮台底部连线成 30° 则两条船相距 和 , 角, ________m. 9.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 处测得山顶上一建 筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶前进 100 m 后,又从点 B 测得其斜度为 45° ,假设建筑物高 50 m,设山坡对于地平面的斜度为 θ,则 cos θ=________. 10.如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD= 10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

11.在海岛 A(可视岛 A 为一点)上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上 午 11 时,测得一轮船在岛北偏东 30° ,俯角为 30° B 处匀速直线行驶,到 11 时 10 分又测 的 得该船在岛北偏西 60° 、俯角为 60° C 处. 的 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的 D 处,此时船距岛 A 有多远?

12.在某滨海城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O 的东偏南 θ?cos θ=

?

2? 方向 300 km 的海面 P 处, 并以 20 km/h 的速度向西偏北 45° 方向移动, 台风侵 10 ?

袭范围为圆形区域,当前半径为 60 km,并以 10 km/h 的速度不断增大,问何时城市受台 风的侵袭?

1.(2012· 兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设 高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两地测得∠ACD=45° ,∠ADC =75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B,C,D 在同一平面 上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度 大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工单位至少应该准备多长的电 线?

2.(2012· 泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA― →成 θ 角,求 f(x)=sin2θsin x + 3 2 cos θcos x(x∈R)的值域. 4





课时跟踪检测(二十五) A级 1.选 D ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 2.选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB= 100,BC= 3h, 根据余弦定理得, 3h)2=h2+1002-2· 100· 60° 即 h2+50h-5 000=0, ( h· cos , 即(h-50)(h +100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3. A 选 sin C 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin B· B, cos 由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= 2 sin B

4 c 4 7 = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×?5?2-1= . ? ? 2b 5 25 4.选 B 易知∠ACB=120° ,在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 1 120° =2a2-2a2×?-2?=3a2, ? ? ∴AB= 3a. 5.选 B 由题意,得 CB2=CO2+OB2-2CO· OBcos 120° =152+252+15×25=352,因 此 CB=35,因此甲船需要的时间为 1 小时. 6.选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30° ,∠ABC=105° , ∴∠BCA=45° . 1 又 AB=40× =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 7.解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2, 2 ∠BSA=45° , 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45°

答案:32 8.解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 9.解析:在△ABC 中,AB=100,∠CAB=15° ,∠ACB=45° -15° =30° . 100 BC 由正弦定理得: = , sin 30° sin 15° ∴BC=200sin 15° . 在△DBC 中,CD=50,∠CBD=45° ,∠CDB=90° +θ,由正弦定理得 200sin 15° ,∴cos θ= 3-1. sin?90° +θ? 答案: 3-1 10.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 AD2+DC2-AC2 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =- , 2 2×10×6 50 = sin 45°

∴∠ADC=120° ,∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° , ∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B AD· ∠ADB sin ∴AB= sin B 3 10× 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 11.解:(1)由题意得,在 Rt△PAB 中,∠APB=60° ,∠PAB= 90° ,PA=1, ∴AB= 3.

在 Rt△PAC 中, ∠APC=30° , ∠PAC=90° ,∴AC= 3 , 3

在△ACB 中,∠CAB=30° +60° =90° , ∴BC= AC2+AB2= 故船的航行速度是 =2 30(千米/时). (2)∠DAC=90° -60° =30° , sin∠DCA=sin(180° -∠ACB) AB 3 3 3 10 =sin∠ACB= = = , BC 10 30 sin∠CDA=sin(∠ACB-30° )=sin∠ACB· 30° cos -cos ∠ACB· 30° sin = 3 10 3 1 × - × 10 2 2 1-? 3 10?2 ?3 3-1? 10 = . 20 ? 10 ? 30 1 ÷ 3 6

? 3?2+? 3?2= 30, 3 ?3?

在△ACD 中,据正弦定理得 AD AC = , sin∠DCA sin∠CDA 3 3 10 × 3 10 AC· sin∠DCA 9+ 3 ∴AD= = = , 13 sin ∠CDA ?3 3-1? 10 20 9+ 3 此时船距岛 A 有 (千米). 13 12.解:由题意,t 小时后台风移动 20 t 千米到达 A 处,∠OPA=θ-45° ,可由余弦定 理求 OA, 此时台风侵袭的范围为以 A 为圆心, 60+10t 为半径的圆的内部, 若|OA|≤60+10t, 则城市受到侵袭.

∵cos θ=

2 , 10 1-? 2?2 7 2 = , ? 10 ? 10

∴sin θ= 1-cos2θ=

且 cos(θ-45° )=cos θcos 45° +sin θsin 45°



2 2 7 2 2 4 × + × = . 10 2 10 2 5

在△OPA 中,OP=300,AP=20t, 由余弦定理得 OA2=OP2+AP2-2OP· APcos(θ-45° ) =3002+(20t)2-2×300×20t× =400t2-9 600t+90 000. 若 OA2≤(60+10t)2, 即 400t2-9 600t+90 000≤3 600+100t2+1 200t, 化简得 t2-36t+288≤0.∴12≤t≤24. 故 12 小时后至 24 小时受到台风的侵袭. B级 1.解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD=6,∠ADC=75° , 所以∠CAD=60° . CD AD 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD CD×sin ∠ACD 所以 AD= = sin ∠CAD 6× 2 2 =2 6. 3 2 4 5

在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6, ∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° . CD BD 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD CD×sin ∠BCD 所以 BD= = sin ∠CBD 1 6× 2 =3 2. 2 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° , 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2 = ?2 6?2+?3 2?2= 42. 所以电线长度至少为 6 42 l=1.2×AB= (单位:km) 5 答:施工单位至少应该准备长度为

6 42 km 的电线. 5 2.解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120° =700. ∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. (2)∵ sin θ sin 120° = , 20 10 7 3 . 7 4 . 7

∴sin θ=

∵θ 是锐角,∴cos θ= f(x)=sin2θsin x+

3 2 cos θcos x 4

3 3 = sin x+ cos x 7 7 = 2 3 ? π? sin?x+6?, 7

2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- . ? 7 , 7 ?


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