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2015年绵阳三诊理科数学试题及答案


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绵阳市高 2012 级第三次诊断性考试

r />
数学 ( 理工类 )参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DCBCD AABCB 10 .提示:当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意. 设 AB 中点为 P(2,t ) ,于是 k AB ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 4 2 ? 2 ? ? . 2 x1 ? x2 y1 ? y 2 t y1 y 2 ? 4 4

∴ 可设直线 AB 的方程为 y ? t ?

2 ( x ? 2) , t

2 ? ? y ? t ? ( x ? 2), t 联立方程: ? 消去 x 得: y 2 ? 2ty ? 2t 2 ? 8 ? 0 , 2 ? y ? 4 x, ?
∴ y 1 + y 2 =2 t, y 1 y 2 =2 t2 - 8, ∴

AB ? (1 ?

t2 4 ? t2 )( 4t 2 ? 8t 2 ? 32) ? (32 ? 4t 2 ) 4 4

由 k AB ? k MP ? ?1 ? k MP ? ? ,得 MP:y ? t ? ? ( x ? 2) ,

t 2

t 2

0) , 令 y ? 0 时,得 M (4 ,
∴ MP ? (4 ? 2) 2 ? (0 ? t ) 2 ? 4 ? t 2 ,

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于是 S △ MAB ?

1 1 AB ? MP ? (4 ? t 2 ) 8 ? t 2 . 2 2 1 1 (12 ? m 2 ) ? m ? ? m3 ? 6m , 2 2

令 m ? 8 ? t 2 ,则 S ?

3 3 S ? ? ? m 2 ? 6 ? ? (m ? 2)(m ? 2),S ? ? 0 ? 0 ? m ? 2,S ? ? 0 ? m ? 2, 2 2
∴ 当 m ? 2 时, ( S △ MAB ) m a x =8 ,此时 t 2 ? 4 . 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . 4 12.

7 3

13 . 2.02

14 . 6

15 .②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 . 解: (Ⅰ ) 随机变量 ξ 的可能取值分别是: 0, m , 3m , 6 m 元. ∴ P(? ? 0) ? ( ) 3 ?

2 3

8 12 11 2 2 ; P(? ? m) ? C3 ; ( ) ? 27 3 3 27

6 1 1 2 1 2 2 ; P(? ? 6m) ? ( ) 3 ? ; P(? ? 3m) ? C3 ( ) ? 3 3 27 3 27
ξ 的分布列为: ξ P 0 m 3m 6m

8 27

12 27

6 27

1 27

??????????????????????????? 7 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ )得: E? ? 0 ?

8 12 6 1 4m , ???? 9 分 ? m ? ? 3m ? ? 6m ? ? 27 27 27 27 3
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若要使促销方案对商场有利,则

4m <100,解得 m<75 . 3

即要使促销方案对商场有利,商场最高能将奖金数额 m 应低于 75 元.? 12 分 17 . ( Ⅰ ) 证明: ∵ PA⊥底面 ABCD , AE ? 底面 ABCD , ∴ AE⊥ PA . ????????????? 1 分 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,且∠ ABC=60 ?, ∴ △ ABC 为等边三角形, 又 E 是 BC 中点,则 AE⊥ BC, 由 BC //AD,得 AE⊥ AD.???????? 3 分 又∵ PA ∩ AE =A , ∴ AE⊥平面 PAD , 又 PD ? 平面 PAD , ∴ AE⊥ PD . 系,如图. 设 PA=AB=2,则 A(0,0,0),E( 3 ,0,0),C( 3 ,1,0),F( ∴ AE =( 3 ,0,0), AC =( 3 ,1,0) , AF =( 设平面 EAF 的法向量为 n 1 =( x 1 , y 1 , z 1 ) , ????????????? 5 分 B A E x C F D y z P

( Ⅱ ) 解: 由 ( Ⅰ ) 可知 AE, AD, AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,以 AE, AD, AP 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标

3 1 , ,1), 2 2

3 1 , ,1).???? 7 分 2 2

数学(理工类)答案第 8 页(共 8 页)

? 3 x1 ? 0, ? ? AE ? n1 ? 0, ? 则? 即? 3 令 z 1 =1 ,可得 n 1 =(0 , - 2 , 1) .? 9 分 1 ? x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? AF ? n1 ? 0, ? 2 ? 2
设平面 ACF 的法向量为 n 2 =( x 2 , y 2 , z 2 ) ,

? 3x2 ? y2 ? 0, ? ? AC ? n2 ? 0, ? 则? 即? 3 令 x 2 = 3 ,可得 n 2=( 3 , - 3 , 0) . 1 ? x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? AF ? n2 ? 0, ? 2 ? 2
?????????????????????????? 11 分 设二面角 E -AF -C 的平面角为 ? ,则 cos ? ?

n1 ? n2 6 15 , ? ? n1 ? n2 5 5 ?2 3
15 .???? 12 分 5

又由图可知 ? 为锐角,所以二面角 E -AF -C 的余弦值为

1 5 ? 6 6 ? 1 ,故 b ? 1 ? 1 ? ? 1 , 18 . 解 : ( Ⅰ ) 由图象知, A ? 2 2 6 2 3

T 2? ? ? 2? ? ? ? ,即 T ? ? ,于是由 ? ? ,解得 ? ? 2 . 2 3 6 2 ?


1 ? 1 1 ? ? sin(2 ? ? ? ) ? ? ,且 ? ? (? , ) , 2 6 3 6 2 2

解得 ? ?

?
6



∴ f ( x) ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) ? .??????????????????? 4 分 2 6 3
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由 2k? ?

?
2

≤ 2x ?

?
6

≤ 2k? ?

?
2

, k ?Z,

解得 k? ?

?
3

≤ x ≤ k? ?

?
6

, k ?Z,

即 f ( x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? ( Ⅱ ) 由条件得: f ( x0 ) ?

?

,k? ? ],k ? Z .?????? 6 分 3 6

?

1 ? 1 ? 2 sin(2 x0 ? ) ? ? 0 ,即 sin( 2 x0 ? ) ? . 2 6 3 6 3

∵ f ( ) ? f (0) ? 0 且 f ( x) 在 (0 , ) 上是增函数,

?

?

6

6

? 3 1 ? 1 ? ? ? >0 , f ( x) 在 ( , ) 上是减函数, f ( ) ? >0 , f ( ) ? 4 4 3 6 6 6 4
∴ x0 ? (0 , ) ,

?

6

∴ 2 x0 ?

?

? ( , ) ,?????????????????????? 9 分 6 6 2

?

?

∴ cos(2 x0 ?

?
6

) ? 1 ? sin2 (2 x0 ?

?
6

)?

5 , ????????????? 10 分 3

∴ cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ?

?

)? ] 6 6

?

? cos(2x0 ? ) cos ? sin(2x0 ? ) sin 6 6 6 6

?

?

?

?

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?

15 ? 2 . ?????????????????????? 12 分 6
2 ?a4 ? a2 ? a8,

19 . 解: (Ⅰ ) 设数列 { a n } 公差为 d ,由题设得 ?

?a4 ? a2 ? a2,

???????? 2 分

2 ? ?a1 ? 1, ?( a1 ? 3d ) ? ( a1 ? d ) ? ( a1 ? 7 d ), 即? 解得 ? 2 ? ?d ? 1, ?( a1 ? 3d ) ? ( a1 ? d ) ,

∴ 数列 { a n } 的通项公式为: an ? n ( n ∈ N *) .

???????????? 4 分

n * ? ?2 ,n ? 2k,k ?N , ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知: bn ? ? ????????????? 5 分 * ? ?2n,n ? 2k ? 1,k ?N .

①当 n 为偶数,即 n ? 2k,k ? N* 时,奇数项和偶数项各 ∴ Tn ? [2 ? 6 ? ? ? 2(n ? 1)] ? (22 ? 24 ? 26 ? ? 2n )
n n (2 ? 2n ? 2) 2 2 2 2 [1 ? (2 ) ] n 2 2 n?2 4 ? 2 ? ? ? ? ; 2 2 3 3 1 ? 22

n 项, 2

????????? 7 分

②当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1,k ? N* 时, n ? 1 为偶数. ∴ Tn ? Tn ?1 ? an ?1 ?

(n ? 1) 2 2 n ? 3 ? 4 (n ? 1) 2 2 n ?1 4 ? ? 2n ?1 ? ? ? . 2 3 2 3 3

数学(理工类)答案第 11 页(共 8 页)

? n 2 2n ? 2 4 ? ? ,n ? 2k,k ? N*, ? ?2 3 3 综上: Tn ? ? ??????????? 9 分 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 ? 4 ,n ? 2k - 1,k ? N*. ? 3 3 ? 2
( Ⅲ ) c2 n ?1 ?

b2 n 22 n 22 n ?1 , ? ? b2 n ?1 2(2n ? 1) 2n ? 1
2t ? 10 , t

令 t ? 2 n ? 1 ,由此 c2 n ?1 >10 转化为 ct ? ∵

ct ?1 2t ?1 t 2t ≥ 1( 当且仅当 t=1 时“ = ”号成立 ) , ? ? t ? ct t ?1 2 t ?1

∴ ct ?1 ? ct ? ct ?1 ? ? ? ? ? c2 ? c1 . ∵ c5 ?

25 26 ? 10 , c6 ? ? 10 . 5 6

∴ 2 n ? 1 ≥ 6 ,解得 n ≥

7 , 2
sin A ? sin B CB ? CA , ? sin C AB

∴ 当 n ≥ 4 , n∈ N *时, c2 n ?1 >10 .???????????????? 12 分 20 . 解: (Ⅰ ) 在△ ABC 中,根据正弦定理得 即

CB ? CA ? ? ( ? ? 1 ), AB

∵ AB=2 , ∴ CA ? CB ? 2? ( 定值 ),且 2? ? 2 ,
数学(理工类)答案第 12 页(共 8 页)

∴ 动点 C 的轨迹 ? 为椭圆 (除去与 A 、 B 共线的两个点 ) . 设其标准方程为

?????? 3 分

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

∴ a 2 = ?2 , b 2 = ?2 - 1 , ∴ 所求曲线的轨迹方程为

x2

?2

?

y2 ? 1( x ? ?? ) . ?????????? 5 分 ?2 ? 1

( Ⅱ ) ? ? 3 时,椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 3 ) . 3 2

①过定点 B 的直线与 x 轴重合时,△ NPQ 面积无最大值.??????? 6 分 ②过定点 B 的直线不与 x 轴重合时, 设 l 方程为: x ? my ? 1 , P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) , 若 m =0,因为 x ? ? 3 ,故此时△ NPQ 面积无最大值. ???????? 7 分 根据椭圆的几何性质,不妨设 m ? 0 .

? x ? my ? 1, ? 联立方程: ? x 2 y 2 消去 x 整理得: (2m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? 1, ? ? 2 ?3


y1 ? y2 ? ?

4 4m , y1 y 2 ? ? , 2 2 2m ? 3 2m ? 3

则 PQ ? 1 ? m 2 y1 ? y2 ?

4 3 (m 2 ? 1) .??????????????? 9 分 2m 2 ? 3

∵ 当直线与 l 平行且与椭圆相切时,此时切点 N 到直线 l 的距离最大,

数学(理工类)答案第 13 页(共 8 页)

设切线 l?:x ? my ? n(n ? 3) ,

? x ? my ? n, ? 联立 ? x 2 y 2 消去 x 整理得: (2m2 ? 3) y 2 ? 4mny ? 2n2 ? 6 ? 0 , ? 1, ? ? 2 ?3
由 ? ? (4mn)2 ? 4(2m2 ? 3)(2n2 ? 6) ? 0 , 解得: n2 ? 2m2 ? 3(n ? ? 3) . 又点 N 到直线 l 的距离 d ?

n ?1 m2 ? 1



∴ S ?PMN ?

2 n ?1 1 1 2 3 (m 2 ? 1) 2 3 n ? 1 m ? 1 , ? d ? PQ ? ? ? ? 2 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3 m2 ? 1

?S2 ?

12(n ? 1) 2 (m2 ? 1) .??????????????????? 11 分 (2m2 ? 3) 2

将 n2 ? 2m2 ? 3 代入得: S 2 ? 6(1 ? )2 (1 ? 令t ?

1 n

1 ), n2

1 3 ? (? , 0) ,设函数 f (t ) ? 6(1 ? t )2 (1 ? t 2 ) , n 3

则 f ?(t ) ? ?12(t ? 1)2 (2t ? 1) , ∵ 当 t∈ (? ∴ f (t ) 在 (?

3 1 1 , ? ) 时, f ?(t ) >0 ,当 t∈ (? , 0) 时, f ?(t ) <0 , 3 2 2 3 1 1 , ? ) 上是增函数,在 (? , 0) 上是减函数, 3 2 2
数学(理工类)答案第 14 页(共 8 页)

∴ f (t )min ? f (? ) ? 故 m2 ?

1 2

81 . 8

9 2 1 时,△ NPQ 面积最大值是 .????????????? 13 分 4 2

21 . 解: (Ⅰ ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ln b ? a(a ? 0,b ? 0) , ∴ h?( x) ? ln x ? 1 ? ln b , 由 h?( x) ? 0 解得 x ?

1 1 ,由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? , be be

∴ 函数 h( x) 的单增区间是 (

1 1 , ? ?) ,函数 h( x) 的单减区间是 (0 , ) . be be
????????????????????? 3 分

( Ⅱ ) 由 f ( x0 ) ≤ g ( x0 ) 可变为 x0 ln 令 p( x) ? x ln ? a , x ?[ 由 p?( x) ? 0 可得 x ?

x0 ? a ≤ 0. b

x b

a ? b 3a ? b x , ] ,则 p?( x) ? ln ? 1 . 4 5 b

b b ,由 p?( x) ? 0 可得 0 ? x ? , e e
b e

所以 p( x) 在 (0 , ) 单调递减,在 ( , ? ?) 单调递增.????????? 6 分 根据题设知: ①若

b e

a ? b 3a ? b b ,可解得 ? (0 , ? 7) . a 4 5

?????????? 7 分

3a ? b b b 3e ≤ ,即 ?[ , 7) 时, e a 5?e 5
数学(理工类)答案第 15 页(共 8 页)

∵ p ( x) 在 [

a ? b 3a ? b , ] 单调递减, 4 5 3a ? b 3a ? b 3a ? b )? ln ? a ≤ 0, 5 5 5b

∴ p( x)min ? p(

b a ? 5 ≤ 0 对 b ?[ 3e , 即 ln 7) 恒成立. b b a 5 ? e 5? 3? a a 3?
令t ?

b 3e 3?t 5 ≤ 0, ?[ , 7) , q(t ) ? ln ? a 5?e 5t 3?t
8t ? 9 3e ? 0 ,即 q (t ) 在 [ , 7) 上是减函数; 2 t (t ? 3) 5?e

则 q?(t ) ? ?

则 q(t )max ? q(

3e 2?e )? ?0, 5?e 5

b 3? b 3e a ? 5 ≤ 0 成立.???????? 10 分 所以对任意 ?[ , 7) , ln b b a 5?e 5 3? a a
②当

a ? b b 3a ? b b e 3e ,即 ? ( ? ? , ) 时, a 4?e 5?e 4 e 5 b e b 1 b b 3e ln ? a ≤ 0 ,即 ≥ e ,此时 ?[e , ). e e a 5?e a
???????????????????? 11 分

当且仅当 p( x)min ? p( ) ?

数学(理工类)答案第 16 页(共 8 页)

③当

a?b b b e ≥ 时, 即 ? (0 , ) 时, e a 4?e 4 a ? b 3a ? b , ] 上单调递减, 4 5
a?b a?b a?b )? ln ? a ≤ 0, 4 4 4

∵ p ( x) 在 [

∴ p( x)min ? p( 令t ?

b e 1? t 4 ≤ 0 恒成立. ? (0 , ) ,即 ? (t ) ? ln ? a 4?e 4t 1 ? t
5t ? 1 e ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (0 , ) 上是减函数, 2 t (t ? 1) 4?e

因为 ? ?(t ) ? ?

故存在无数个 t0 ? (0 ,

e ) ,使得 ? (t0 ) ? 0 , 4?e

如取 t0 ? 1,? (1) ? ln ? 2 ? 0 与 ? (t ) ≤ 0 恒成立矛盾,此时不成立. 综上所述,

1 2

b 7) .??????????????? 14 分 的取值范围是 [e , a

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