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2014年11月高二期中试题(含答案)


2014—2015 学年度第一学期牛栏山第一中学期中考试

高二数学试题(及答案)
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 ) D. x ? 2

y ? 1 ? 0 B )

2.在下列关于直线 l , m 与平面 ? , ? 的命题中,真命题是( A. 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ∥ ? 3. “ ? ? ? ”是“ cos? ? cos ? ”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 若 l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 l ? ? D. 若 ? I ? ? m 且 l ∥ m ,则 l ∥ ? B ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.若圆 C1 : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2 ? 1始终平分圆 C 2 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 的圆周, 则 a , b 应满足( C
2 2

) B. a ? 2a ? 2b ? 3 ? 0
2

A. a ? 2b ? 2a ? 1 ? 0 C. a ? 2a ? 2b ? 5 ? 0
2

D. 3a ? 2b ? 2a ? 2b ? 1 ? 0
2 2

5.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(

D )

2? 5 A. 2 ? ? 2

1 2

2

B. 2 ?

1? 2 5 ? 2

正视图

左视图

C. 2 ? (1 ? 5 )? D. 2 ?

1 俯视图 2 2 2 6.已知点 M (a, b)(ab ? 0) 在圆 x ? y ? r 内,直线 m 是以 M 为中点的弦所在直线,直
线 l 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,则( A
2

1? 5 ? 2



A. l ∥ m 且与圆相离 C. l ∥ m 且与圆相交
2 7.已知 p :函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

B. l ? m 且与圆相切 D. l ? m 且与圆相离

1 1 a) 的定义域为 R ; q :不等式 a ? 对一切正 16 x ?1 实数 x 均成立.如果“ p 或 q ”为真命题, “ p 且 q ”为假命题,那么实数 a 的取值范围为
( C ) A. 1 ? a ? 2 B. 0 ? a ? 2 C. 1 ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2

8. 如图所示, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , 动点 E , F 在棱 A1 B1 上, 动点 P, Q 分 别 在 棱 AD, CD 上 . 若 EF ? 1, A1 E ? x, DQ ? y, DP ? z ( x, y , z 大 于 零 ) ,则四面体

PEFQ的体积( D
A. B. C. D.


A1

D1
E F

C1 B1

与 x, y , z 都有关 与 x 有关,与 y, z 无关 与 y 有关,与 x , z 无关 与 z 有关,与 x, y 无关

D P A

Q
B

C

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.在 z 轴上求一点 M ,使点 M 到点 A(1, 0, 2) 与点 B(1, ?3,1) 的距离相等,则 M 点的坐标 为(0,0,-3) . 10.已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是 x ? 0 . 11. 已知直线 l 的斜率 k ? 1 ? m2 (m ? R) , 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ?0,
? ?
? ?

? ?? ? U( ,? ) . ? 4? ? 2

12.已知 a , b 为不垂直的异面直线, ? 是一个平面,则 a , b 在 ? 上的射影有可能是:①两 条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及线外一点.其中结论正 确的是 ① ② ④ .(写出所有正确结论的序号) 13.由动点 P 向圆 x ? y ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,?APB ? 60 ,则动
2 2

点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

14 . 已 知 ?ABC 的 顶 点 A( 3 ? , 1, ) AB 边 上 的 中 线 所 在 直 线 的 方 程 为

6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线的方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,则 BC 边所
在直线方程为 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

三.解答题 15.(本题满分 12 分) 已知命题:已知集合 A ? {1,2} , B ? {a,3} ,若 A I B ? {1} ,则 a ? 1 .写出它的逆命 题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假. 解:逆命题:已知集合 A ? {1,2} , B ? {a,3} ,若 a ? 1 ,则 A I B ? {1} .真命题;?4 分 否命题:已知集合 A ? {1,2} , B ? {a,3} ,若 A I B ? {1} ,则 a ? 1 .真命题;??8 分 逆否命题:已知集合 A ? {1,2} , B ? {a,3} ,若 a ? 1 ,则 A I B ? {1} ;真命题.??12 分

16.(本题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=BB1=1, AB1 ? 3. 求证: (Ⅰ)平面 AB1C⊥平面 B1CB; (Ⅱ)求三棱柱 A1-AB1C 的体积. 提示:(Ⅰ)可证 AC⊥平面 B1CB.?????????7 分 (Ⅱ)

C1 A1 B1

1 ? ????????14 分 6
A
16 题图

C
B

17.(本题满分 14 分) 已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 .
2 2

(1) 求证:直线 l 恒过定点; (2) 判断直线 l 被圆 C 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 m 的值以及 最短长度. 解: (1)直线 l 的方程整理得 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 ?????????3 分 由于 m 的任意性,于是有 ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 3 ?? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1

故直线 l 恒过定点 D(3,1).??????????????????????7 分 (2)因为直线 l 恒过圆 C 内一点 D, , 所以当直线 l 经过圆心 C 时被截得的弦最长; 当直线 l 垂 直于 CD 时被截得的弦最短. ??????????????????????9 分 又 kCD ? ?

1 2m ? 1 3 ? 2 ? m ? ? . 此时,直 ,所以当直线 l 被圆 C 截得的弦最短时,有 ? 2 m ?1 4

线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,又 CD ? 5 ,所以,最短弦长为 2 25 ? 2 ? 4 5. ?14 分 18.(本题满分 14 分) 已知正方形 ABCD 一边 CD 所在直线方程为 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,对角线 AC , BD 的交点为

P(1,5) ,求正方形 ABCD 其它三边所在直线方程.
解:易知(1,5)到直线 CD 的距离为 d ?

3 10 ??????????????2 分 10

因为 AB∥CD, 所以可设 AB 直线的方程为 x ? 3 y ? m ? 0(m ? ?13) , 则

m ? 16 10

?

3 10 , 10

解之得 m ? ?19, m ? ?13 (舍去) ,即 AB 的方程为 x ? 3 y ? 19 ? 0 .??????6 分 因为 AD⊥CD,所以设 AD 方程为 3x ? y ? n ? 0 ,则

n?2 10

?

3 10 ? n ? 5, n ? ?1. 10

所 以 正 方 形 ABCD 其 它 三 边 所 在 直 线 的 方 程 为 x ? 3 y ? 19 ? 0 , 3x ? y ? 5 ? 0 以 及

3x ? y ? 1? 0??????14 分
19.(本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA ? BD ?

2 , AD ? 2 ,
P

PA ? PD ? 5 , E , F 分别是棱 AD, PC 的中点.
(1)证明: EF ∥平面 PAB ;
? (2)若二面角 P ? AD ? B 为 60 ,

F B

①证明:平面 PBC ? 平面 ABCD ; ②求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值. 解:(1)证明:如图所示,取 PB 中点 M,连接 MF,

C

D

E

A

1 AM.因为 F 为 PC 中点,所以 MF∥BC,且 MF= BC.由已知有 BC∥AD,BC=AD,又由于 2 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE,故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF∥AM. 又 AM?平面 PAB,而 EF?平面 PAB,所以 EF∥平面 PAB. ???????6 分

(2) ①证明: 连接 PE, BE.因为 PA=PD, BA=BD, 而 E 为 AD 中点, 所以 PE⊥AD, BE⊥AD, 所以∠PEB 为二面角 P -AD B 的平面角.在△PAD 中,由 PA=PD= 5,AD=2,可解得 PE=2.在△ABD 中,由 BA=BD= 2,AD=2,可解得 BE=1.在△PEB 中,PE=2,BE=1,

∠PEB=60?,由余弦定理,可解得 PB= 3,从而∠PBE=90?,即 BE⊥PB.又 BC∥AD, BE⊥AD,从而 BE⊥BC,因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD,所以平面 PBC⊥平面 ABCD. ????????????10 分 ②连接 BF,由(i)知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 PB 1 3 11 11 = 3及已知,得∠ABP 为直角,而 MB= PB= ,可得 AM= ,故 EF= .又 BE=1, 2 2 2 2 BE 2 11 故在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB= = .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 EF 11 2 11 为 .????????????14 分 11 20.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 12x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0,2) 且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A , B . (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在, 请说明理由.

0) ,过 P(0, 2) 且斜率为 k 的 解(Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心为 Q(6,
直线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ?12x ? 32 ? 0 ,整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .
2 2 2 2



直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,
解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? , 0 ? .??????????????6 分 4 ? 4 ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,由方程①,

uur

uu u r

4(k ? 3) ② 1? k 2 uuu r 而 P(0,, 2) Q(6,, 0) PQ ? (6, ? 2) x1 ? x2 ? ?

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 .



故 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ?2( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) ,将②③代入上式,解得 k ? ? 由(Ⅰ)知 k ? ? ? , 0 ? ,故没有符合题意的常数 k .?????12 分.

uur

uu u r

uuu r

3 . 4

? 3 ? 4

? ?


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