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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十四) 8.6抛物线


课时提升作业(五十四)
抛 物 线 60 分) (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·济南模拟)从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂 足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△PMF 的面积为 ( A.5 B.10 C.20 D. )

【解析】选 B.根据题意得点 P 的坐标为(4,

〒4), 所以 S△PMF= |yP||PM|= 〓4〓5=10, 所以选 B. 【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的 技巧 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化 :(1)若求点 到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则 经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 【加固训练】1.(2015·石家庄模拟)若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0) 到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 ( A.y2=4x C.y2=8x B.y2=6x D.y2=10x )

【解析】选 C.由题意可知 p>0,因为抛物线 y2=2px,所以其准线方程为 x=- ,因为点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,所以|- -2|=4,所以 p=4,故 抛物线方程为 y2=8x.故选 C.

-1-

2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两个点,若△ PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是 ( A.2± 【解析】选 A.F B.2+ ,设 P C. ,Q ±1 ) D. (y1≠y2). -1

由抛物线定义及|PF|=|QF|,得 + = + , 所以 = ,

又 y1≠y2,所以 y1=-y2, 所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1, 所以|PF|= + =2,解得 p=2〒 . ,且

3.(2015·淮北模拟)两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 a>b,则抛物线 y2=- x 的焦点坐标为 ( A. C. B. D. )

【解析】选 C.由两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 可得 解得 抛物线的方程为 y2=- x, .

,且 a>b

故焦点坐标为

4.(2015·吉安模拟)如图,抛物线 C1:y2=2px 和圆 C2:

+y2= ,其 · 的

中 p>0,直线 l 经过 C1 的焦点,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则 值为 ( )

-2-

A.p2

B.

C.

D.

【解析】选 B.设抛物线的焦点为 F,A(x1,y1),D(x2,y2), 则|AB|=|AF|-|BF|=x1+ - =x1, 同理|CD|=x2, 又 所以 · · =|AB||CD|, =x1·x2= .

5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点 , 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 则该抛物线的准线方程为 ( ) B.x=-1 D.x=-2

A.x=1 C.x=2

【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB 的方程为:y=x- , 与 y2=2px 联立得:y2-2py-p2=0,所以 y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4, 所以 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1,故选 B. 【一题多解】本题也可以用如下的方法解决: 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

-3-

由题意得 y1+y2=4, 两式相减得:kAB= 所以 p=2,

=2px1, =

=2px2, = =1,

所以抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时, 要注意使用条件是Δ≥0. (2)在椭圆 + =1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线 的斜率 k=.

(3)在双曲线 - =1(a>0,b>0)中 ,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在 直线的斜率 k= .

(4)在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的 斜率 k= . 【加固训练】(2015·孝感模拟)直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与 抛物线交于 A,B 两点 , 若 AB 中点的横坐标为 3, 则线段 AB 的长为 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8

【解析】 选 D.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C 是 AB 的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点 A,B 作直线 l0 的垂线,垂足分 别 为 M,N, 由 抛 物 线 的 定 义 得

|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

-4-

6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(a,-2)到 焦点的距离为 3,则抛物线的方程是 .

【解析】由题意可设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 抛物线上的点 P(a,-2)到焦点的距离即为点 P 到准线 y= 的距离,所以 +2=3,解得 p=2, 所以抛物线的方程为 x2=-4y. 答案:x2=-4y 【误区警示】本题易忽视条件“焦点在 y 轴上”,误认为抛物线有两种 形式,而造成解题错误. 7.(2013· 安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物 线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为 .

【解析】 设直线 y=a 与 y 轴交于 M 点,若抛物线 y=x2 上存在 C 点使得∠ ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线 y=x2 有除 A,B 外的交点即可, 即使|AM|≤|MO|,所以 以 a≥1. 答案:[1,+≦) 【一题多解】本题也可以用如下的方法解决: 设 C(m,m2), 由 已 知 可 令 =(m,m2-a), =(m+ A( ,a),B(⊥ ,a), 则 , 所 以 ≤a,所以 a≥1 或 a≤0,因为由题意知 a>0,所

,m2-a), 因 为

m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得 m2=a>0 且 m2=a-1≥0,故 a∈[1,+≦). 答案:[1,+≦) 8.如图,从点 M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线 y2=8x 的对称轴方向

-5-

射向此抛物线上的点 P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q,再经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后又回 到点 M,则 x0 等于 .

【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为 x 轴 , 抛物线的焦点 F(2,0),MP 所在的直线方程为 y=4,从而可求 P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4), 确定直线 MN 的方程,可求答案. 【解析】由题意可得抛物线的对称轴为 x 轴,F(2,0),M(x0,4), 所以 MP 所在的直线方程为 y=4. 在抛物线方程 y2=8x 中, 令 y=4 可得 x=2,即 P(2,4), 从而可得 Q(2,-4),N(6,-4). 因为经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后又回 到点 M, 所以直线 MN 的方程为 x=6.所以 x0=6. 答案:6 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·西安模拟)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过焦点 F 且不平行 于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,抛物线在 A,B 两点处的切线交
-6-

于点 M. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)设直线 MF 交该抛物线于 C,D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值. 【解析】(1)由已知,得 F(0,1),显然直线 AB 的斜率存在且不为 0,则可 设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去 y,得 x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0,

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由 x2=4y,得 y= x2,所以 y′= x, 所以直线 AM 的斜率为 kAM= x1, 所以直线 AM 的方程为 y-y1= x1(x-x1), 又 =4y1,所以直线 AM 的方程为 x1x=2(y+y1)①. 同理,直线 BM 的方程为 x2x=2(y+y2)②. ②-①并据 x1≠x2 得点 M 的横坐标 x= 即 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)由①②易得 y=-1, 所以点 M 的坐标为(2k,-1)(k≠0). 所以 kMF= =- , ,

则直线 MF 的方程为 y=- x+1, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 由 消去 y,得 x2+ x-4=0,

显然Δ= +16>0,

-7-

所以 x3+x4=- ,x3x4=-4. 又|AB|= = |CD|= = = 因为 kMF·kAB=-1,所以 AB⊥CD, 所以 S 四边形 ACBD= |AB|·|CD|=8 =8 ≥32, (k2+1) =4 . = =4(k2+1),

当且仅当 k=〒1 时,四边形 ACBD 面积取到最小值 32. 10.已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线过点 P(2,1). (1)求抛物线的标准方程. (2)过点 P 作直线 l 与抛物线有且只有一个公共点,求直线 l 的方程. (3)过点 Q(1,1)作直线交抛物线于 A,B 两点,使得 Q 恰好平分线段 AB, 求直线 AB 的方程. 【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为 x2=2py,把点 P(2,1)代入可得 p 值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为 x=2 符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0, 即 可 求 出 结 果 .(3) 由 题 意 可 知 ,AB 的 斜 率 存 在 , 设 AB 的 方 程 为 y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由 x1+x2=2,求得 k 的值,从而 得到 AB 的方程.

-8-

【解析】 (1)设抛物线的标准方程为 x2=2py,把点 P(2,1)代入可得 4=2p, 所以 p=2,故所求的抛物线的标准方程为 x2=4y. (2)(i)当斜率不存在时,直线方程为 x=2,符合题意; (ii)当斜率存在时,设直线方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx-2k+1, 联立方程可得 整理可得 x2-4kx+8k-4=0.

因为直线与抛物线只有一个公共点, 所以Δ=16k2-32k+16=0, 所以 k=1. 综上可得,直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x=2. (3)由题意可知,AB 的斜率存在,设 AB 的方程为 y-1=k′(x-1),代入抛 物线的标准方程 x2=4y 可得 x2-4k′x+4k′-4=0,所以 x1+x2=4k′=2, 所以 k′= ,所以 AB 的方程为 y-1= (x-1), 即 x-2y+1=0. (20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2015·赤峰模拟)已知点 A(0,2),抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点 为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若|FM|∶ |MN|=1∶ A. ,则 a 的值等于 ( B. ) C.1 , D.4

【解析】选 D.依题意 F 点的坐标为 设 M 在准线上的射影为 K, 由抛物线的定义知|MF|=|MK|,
-9-

所以|KM|∶|MN|=1∶ 所以|OA|∶|OF|=2∶1,

,则|KN|∶|KM|=2∶1,

所以 =2,求得 a=4,故选 D. 2.(5 分)(2015· 武汉模拟)如图,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 恰好 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则 该双曲线的离心率为 ( )

A.

B.2

C.

+1

D.

-1

【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点 F 得到交 点坐标,代入双曲线,把 =c 代入整理得 c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以 a4,得到关于离心率 e 的方程,进而可求得 e. 【解析】选 C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点 F,所以两条曲线 的一个交点为 ,

代入双曲线方程得 - =1, 又 =c, 所以 -4〓 =1,化简得 c4-6a2c2+a4=0, 所以 e4-6e2+1=0,所以 e2=3+2 所以 e= +1,故选 C. =(1+ )2,

- 10 -

【加固训练】 (2014 ·成都模拟 ) 已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 -y2=1(a>0)相交于 A,B 两点,且 F 是抛物线的焦点,若△FAB 是直角三 角形,则双曲线的离心率为 ( A. B. ) C.2 D.3

【解析】选 B.如图所示,F(1,0).

因为△FAB 为直角三角形, 所以|AM|=|FM|=2, 所以 A(-1,2),代入 -y2=1,得 a2= , 所以 c2=a2+1= +1= , 所以 e2= =6,所以 e= .

3.(5 分 ) 过点 P(-2,1) 作两条斜率互为相反数的直线 ,分别与抛物线 x2=4y 交于 A,B 两点,若直线 AB 与圆 C:x2+(y-1)2=1 交于不同两点 M,N, 则|MN|的最大值是 .

【 解 析 】 设 直 线 PA 的 斜 率 为 k,A(xA,yA), 则 直 线 PA 的 方 程 为 y-1=k(x+2), 由 得 x2-4kx-8k-4=0,

所以 xA-2=4k,则 xA=4k+2,
- 11 -

所以点 A(4k+2,(2k+1)2), 同理可得 B(-4k+2,(-2k+1)2), 所以直线 AB 为斜率 kAB= 设 直 线 AB 的 方 程 为 =1, y=x+b, 由 得

2x2+2(b-1)x+b2-2b=0, 由于 AB 与圆 C 交于不同的两点, 所以Δ>0,即 1则 |MN|= · = ≤2,故|MN|的最大值是 2. 答案:2 4.(12 分)已知曲线 C 上的动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离比到直线 l:y=-2 的距离小 1. (1)求曲线 C 的方程. (2)动点 E 在直线 l 上,过点 E 分别作曲线 C 的切线 EA,EB,切点为 A,B. 直线 AB 是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由. 【解析】(1)因为动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离比到直线 l:y=-2 的距离小 1,所以动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离与直线 l′:y=-1 的距离相等. 所以曲线 C 是以 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方 程是:x2=4y. · = · <b< +1.

- 12 -

(2)设 E(a,-2),切点为 解得:x0=a〒 B ,所以 A

,由 x2=4y 得 y= ,所以 y′= ,所以 = ,

,

,化简直线 AB 方程得:

y-2= x,所以直线 AB 恒过定点(0,2). 【加固训练】已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的 焦点,直线 y=x 与抛物线 C 相交于不同的两点 O,N,且|ON|=4 (1)求抛物线 C 的方程. (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B, 交 x 轴于点 M,且 =a , =b ,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是,求出 a+b 的 .

值;否则,说明理由. 【解析】(1)联立方程 故 O(0,0),N(2p,2p), 所以|ON|= 由2 p=4 ,得 p=2, =2 p, 得 x2-2px=0,

所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为 y=kx+1,则直线 l 与 x 轴交点为 M ,

设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2), 由 得 x2-4kx-4=0,

所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, 所以 x1+x2=4k,x1·x2=-4.

- 13 -



=a

,得 =-

=a(-x1,1-y1), ,同理可得 b=.

所以 a= 所以 a+b==-

=-1,

所以对任意的直线 l,a+b 为定值-1. 5.(13 分)(能力挑战题)已知抛物线 C:y2=2px 的焦点坐标为 F(1,0),过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,直线 AO,BO 分别与直线 m:x=-2 相交于 M,N 两点.

(1)求抛物线 C 的方程. (2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. 【解析】(1)由焦点坐标为(1,0),可知 =1, 所以 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)当直线垂直于 x 轴时,△ABO 与△MNO 相似,所以 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y=k(x-1), 设 M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2), = = ,

- 14 -

由 所以 x1·x2=1, 所以 = 综上 · = . =

整理得 k2x2-(4+2k2)x+k2=0,

= = · = ,

·

- 15 -


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