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四川省古蔺县中学高中数学 2.3.2函数的单调性课件 新人教A版必修1


§2.3函数的单调性(2)

古蔺中学

复习引入
1、思考函数
f ( x) ? x ? 1 x在

[1, ??)上的单调性,并加以证明;

1 f ( x) ? x ? 在 2、讨论: x

(??, ?1) ,[-1,0)上的单调性.

/>1、解: 任意x1 , x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ( x2 ? ) ? , x1 x2 x1 x2

?[1, ??)且x1 ? x2 ,

?1 ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, 1 ? x1 x2 . 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). ? f ( x) ? x ? 在[1, ? ?)是增函数. x
1 同理可得 : f ( x) ? x ? 在(??, ?1)上是增函数,在[-1,)是减函数 0 . x

本题小结
f ( x) ? x ?

容易得到 它在 (??,0) 先增再减,在 (0, ??) 先减再增.于是 我们容易得到函数的图像为:

1 (??, 0) ? (0, ??)上的单调性 x 在定义域

例1、讨论 f ( x) ?

x 2 ? 1 的单调性.

2 解: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 1 ? x2 ?1

?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x ?1 ? x ?1
2 1 2 2

.
2 2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 , x ? 1 ? x ? 1 ? 0,
2 1

? 只需讨论x1 ? x2的符号. 当x1 ? x2 ? (-?, 0)时,x1 ? x2 <0;f(x)单调递减; 当x1 ? x2 ? [0, ??)时,x1 ? x2 >0;f(x)单调递增.

分析:
令f (u ) ? u, u ? x ? 1;
2

f (u )在定义域上单调递增; 且u在(-?,)上单调递减, 0 在[0,+?)上单调递增; ? f(x )在(-?,)上单调递减, 0 在[0,+?)上单调递增.

引例:

判断f ( x) ? ( x ? 1) 的单调区间.
2

解:令f (t ) ? t , t ? x ? 1.
2

t在定义域内单调递增, 而f (t ) ? t 在(-?, 0)单调递减,
2

在[0,+?)单调递增;且x ? 1 ? t.
? f ( x)在(-?,1)单调递减, 在[1,+?)单调递增.

复合函数的单调性的判断:
已知g(x)是[m,n]上的减函数, 且a ≤ g(x) ≤ b,f(x)是[a,b]上的增函数, 则f[g(x)]在[m,n]上也是减函数;
已知g(x)是[m,n]上的增函数, 且a ? g(x) ? b,f(x)是[a,b]上的增函数, 则f[g(x)]在[m,n]上也是增函数.

证明: 设m ? x1 ? x2 ? n,
? g ( x)是[m, n]上的减函数,且a ? g ( x) ? b,
? b ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? a.
? f ( x)是[a, b]上的增函数,
? f [ g ( x1 )] ? f [ g ( x2 )].

? f [ g ( x)]在[m, n]上单调递减.

其它同理可证.

练习
2 1、判断函数 y ? ? x ? 2 x ? 8 的单调区间;

2、证明函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 在R上单调递减;

3、 a ? R 上的单调性.

ax 2 讨论函数 f ( x) ? 2 在(-1,1) x ?1

小 结
对勾函数的图像和单调性; 复合函数判断单调性的方法: 同增异减

作 业
课本 P60习题2.3: 3, 6,7及补充题


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