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山东省冠县武训高级中学高考数学 2.7 函数的图象复习题库


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库:2.7 函数的图象
一、选择题 1.当 a≠0 时,y=ax+b 与 y=(b ) 的图象大致是(
a x

).

解析 (筛选法)A 中,a>0,b=1,b =1,很容易排除;B 中,a>0,b>1,故 b >1,函 数 y=(b ) 单调递增,也可排除;C、D 中,a<0,0

<b<1,故 b >1,排除 D.故选 C. 答案 C 【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数给定特殊值域特殊位置, 确 定它们图象与函数式是否吻合. 2.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象与函 数 y=|lg x|的图象 的交点共有( A.10 个 B.9 个 ). C.8 个 D.1 个
2

a

a

a x

a

解析 (数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有 10 个.

答案 A 【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合 起来,使抽象思维与形象 思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支持作用, 实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 3.y=x+cos x 的大致图象是( )

π π π π 解析 当 x=0 时,y=1;当 x= 时,y= ;当 x=- 时,y=- ,观察各选项可知 B 2 2 2 2 正确. 答案 B 4.函数 y ?
cos 6 x 的图象大致为( 2 x ? 2? x



1

答案 D 1 5.函数 y= 的图象与函数 y=2sin π x(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 1-x ( A.2 ). B.4 C.6 D.8

解析 此题考查函数的图象、两个 函数图象的交点及函数的对称性问题.两个函数都是中 心对称图形.

如上图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4]上共 8 个公共点,每 两个对应交点横坐标之和为 2,故所有交点的横坐标之和为 8. 答案 D 6.函数 y ? log 2

1? x 的图象( 1? x

) B. 关于主线 y ? ?x 对称 D. 关于直线 y ? x 对称

A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称 解析 设 f ( x) ? log 2

1? x 1? x 1? x ,则 f (? x) ? log 2 = ? f ( x) ,所以函数 y ? log 2 是 1? x 1? x 1? x

奇函数,其图象关于原点对称,故选 A. 答案 A 7.函数 y =f(x)与函数 y=g(x)的图象如图

2

则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是(

).

解析 从 f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函 数,故 f(x)·g(x)是奇函数,排 除 B 项.又 g(x)在 x=0 处无意义,故 f(x)·g(x)在 x=0 处无意义,排除 C、D 两项. 答案 A 二、填空题 8.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意

x1、x2,给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③

f? x1? +f? x2?
2

<f?

?x1+x2?. ? ? 2 ?
f? x2? -f? x1? >1, 即两点(x1, (x1))与(x2, (x2)) f f x2-x1 f? x1? f? x2? > , 即表示两点(x1 , x1 x2

其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上). 解析 由 f(x2)-f(x1)>x2-x1, 可得

连线的斜率大于 1, 显然①不正确, x2f(x1)>x1f(x2)得 由

f(x1))、(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结合函数图象,容易
判断③的结论是正确的. 答案 ②③ 9.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]的图象如下图所示:

则方程 f[g(x)]=0 有且仅有________个根,方程 f[f(x)]=0 有且仅有________个根.
3

解析:由图可知 f(x)=0 有三个根,设为 x1,x2,x3,-2<x1<-1,x2=0,1<x3<2. 令 g(x)=x1,由 g(x)图象可知方程 g(x)=x1 有两个根,令 g(x)=0 得两个根, 令 g(x)=x3 得两个根,∴f[g(x)]=0 有 6 个根,同理可看出 f[f(x)]=0 有 5 个根. 答案:6 5

10.如下图所示,向高为 h 的水瓶 A、B、C、D 同时以等速注水,注满为止.

(1)若水量 V 与水深 h 函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是________; (2)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是________; (3)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是________; (4)若水深 h 与注水时间 t 的函数的图象是图中的( d),则水瓶的形状是_______ _.

答案 (1)A (2)D (3)B (4)C 11.已知函数 y ? 是 .

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像 恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

4

12.设函数 f(x)=x|x |+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为________. 解析
?x +c ? ①f(x)=x|x|+c=? 2 ? ?-x +c
2

? ?

x≥0? x<0?



如图①,曲线与 x 轴只有一个交点,所以方程 f(x)=0 只有一个实数根,正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时,
?x +bx ? f(x)=x|x|+bx=? 2 ? ?-x +bx
2

?

x≥0?
? x<0?

.

如图②,方程 f(x)=0 可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②. 答案 ①② 三、解答题 13.若方程 2a=|a -1|(a>0,a≠1)有两个实数解,求实数 a 的取值范围.
x

5

解: a>1 时, 当 函数 y=|a -1|的图象如图①所示, 显然直线 y=2a 与该图象只有一个交点, 故 a>1 不合适; 当 0<a<1 时,函数 y=|a -1|的图象如图②所示, 要使直线 y=2a 与该图象 有两个交点,则 0<2a<1, 1 即 0<a< . 2 1 综上所述,实数 a 的取值范围为(0, ). 2 14.已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)指出 f(x)的单调区间.
x

x

x

x 1 1 解 (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- 的图象向左平移 1 1+x x+1 x
个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示.

(2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞). 15.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围. 解析 设 f1(x)=(x-1) ,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式 (x-1) <logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1) 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可.
2 2 2 2

当 0<a<1 时,综合函数图象知显然不成立. 当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1) 的图象在 f2(x)=logax 的下方, 只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1) ≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2. ∴a 的取值范围是(1,2] 16.讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数. 思路分析 分别作出函数 y=|1-x|与 y=kx 的图象,结合图象讨论其交点个数. 解析 设 y=|1-x|, =kx, y 则方程的实根的个数就是函数 y=|1-x|的图象与 y=kx 的图 象交点的个数.
6
2 2

由上边图象可知: 当-1≤k<0 时,方程没有实数根; 当 k=0 或 k<-1 或 k≥1 时,方程只有一个实数根; 当 0<k<1 时,方程有两个不相等的实数根. 【点评】 数形结合思想是高考必考内容,它对于解答选择、填空题即形象、又快捷,对于 解答题,图象有利于分析、解决问题 ,但适当的解题步骤还是必须的.

7


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