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奥赛辅导第13讲光学基础(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)


第十三讲
一、知识点击 1.几何光学的基本实验定律

光学基础

光的直线传播定律:在均匀介质中,光线为一直线. 光的独立传播定律: 自不同方向或由不同物体发出的光线相交时,对每一光 线的独立传播不发生影响. 光的反射和折射定律: 光从一种介质射向另一种介质时,在界面上会同时产 生反射和折射两种现象.光的反射遵从反射定律,光的折射

遵从折射定律, 折射定律的数学表达式是 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ,反射定律可看作是折射定律当

n2 ? ?n1 时的特例.当光从光密介质射向光疏介质且人射角大于或等于临界
角时,就发生全反射. 2.单球面折射与反射成像 在近轴条件下,折射球面的成像公式为
n? n n ? ? n ? ? s? s r
f? f ? ?1 s? s

式中 s 是物距, s ? 是像距,r 是球面曲经半径,n 和 n'分别为折射球面的物方 折射率和像方折射率. 上式可改写成更具普遍性的高斯成像公式: 其中 f ? ?

n? n r和 f ? r 分别为折射球面的像方焦距和物方焦距。 n? ? n n? ? n

像长 y? 与物长 y 之比称做垂轴(横向)放大率 ? ,对单折射球面成像,有

??

y? ns? ? y n?s
n? s n 1 1 2 在球面折射成像公式中,令 n? ? ?n ,得球面反射成像公式: ? ? s? s r

在球面折射成像公式中,令 r=∞,得平面折射成像公式: s? ?

球面反射成像的垂轴放大率公式为 ? ?

y? s? ?? y s

在平面折射成像公式中,令 n? ? ?n ,得平面反射成像公式为 s? ? ? s

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平面反射成像时垂轴放大率 ? ? ?1

3.薄透镜的成像 近轴条件下,薄透镜的成像公式为
n1

n2 n1 n ? n1 n2 ? n ? ? ? s? s r1 r2
n ? n1 n2 ? n ? r1 r2 n2

利角物方焦距 f ?

n ? n1 n2 ? n ? r1 r2

和像方焦距 f ? ?

就可以得到薄透镜成像的高斯公式:

f? f ? ?1 s? s

对于空气中的薄透镜,n1=n2=1,焦距公式简化为 f ? ? ? f 物像公式变为
1 1 1 ? ? s? s f ?

薄透镜成像的垂轴放大率为 ? ? 4.光的波动性和光的量子性

y? n1s? ? y n2 s

⑴光的波动性:光波是一定波长范围内的电磁波。可见光的波长在 0. 40μ m 到 0. 76μ m 之间, 波长长于 0.76μ m 的光波称为红外线, 波长短于 0. 40μ m 的光波称为紫外线。 惠更斯一菲涅耳原理: 光波波面上每一点都可看作是一个次级波源,各次波 源是相干光源,空间某点的光振动是这些相干次波的合振动. 惠更斯一菲涅耳原理是波动光学的理论基础. 光的干涉和衍射现象是光的波 动性的体现. ⑵光的量子性:为了解释光电效应的实验规律,爱因斯坦提出了光量子(简 称光子)的概念.单个光子的能量 E 与频率? 成正比,即 E ? h? ,式中 h 是普朗克常数. 由此他成功地解释了光电效应,并从理论上得到了光电效应方程:
h? ? 1 2 m? m ? W 2

光子既然具有一定的能量,就必须具有质量。按照狭义

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相 对 论 质 量 和 能 量 的 关 系 E ? mc 2 , 就 可 以 确 定 一 个 光 子 的 质 量 :
m? E h? ? ,但光子的静止质量等于零. c2 c2

光子也具有动量,一个光子的动量大小为 p ?

E h? h ? ? c c ?

用光子的概念可以简单而成功地解释康普顿效应,这是对光子假说的有 力支持.

二、方法演练 类型一、用反射成像和作光路图解决实际问题。 例 1. 如图 13—1 所示, 内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球。 距球心为 2R 处有一点光源 S, 球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线上, 如图所示。 若使点光源向右半边发出的光最后全被 黑球吸收, 则筒的内半径 r 最大为多少?

分析和解:自 S 作球的切线 SM,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S',及由 S'画出球面的切线 S'N,如图 13—2 所示,由图可看出,只要 S'M 和 S'N 之 间有一夹角, 则筒壁对从 S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方, 不会完全落在球上被吸收。 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S'N 与 S'M 重合,如图 13 一 3,则 r 就是 题所要求的筒的内半径的最大值。这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r.由图 13—3 可得
r? R R ? cos ? 1 ? sin 2 ?
R 2R
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由几何关系可知 sin ? ?

由①、②式得 r ?

2 3R 3

类型二、用的折射定律和微元法分析解决光在非均匀介质中的传播问题。 例 2.有一块两面平行的透明板,其厚度为 d,折射率按下式变化: nx ?

n0 x 1? r



一束光自 O 点由空气中垂直射人平行板内,并从 A 点以角 ? 射出,如图 13 —4 所示。已知 n0=1.2,r=13 cm, ? =300。试求平板的厚度 d。 分析和解:初看起来,本题似乎难于下手。我们可以遵循以 下的思路来寻求解题的途径:先分析光线在板内的轨迹特征, 由此轨迹确定 A 点的空间位置及光线在该点的入射方向,再由 A 点处光线的折射关系建立有关的方程来求解。 我们先分析一下根据本题介质分布情况而建立的一个特殊模型。设有折射率 不同的几层均匀介质,其层间的分界面互相平行,又设有光线依次进入各层 介质,如图 13 一 5 所示。其中各层介质的折射率分别为 n1、n2、n3?光线与 分界面法线的夹角分别为 i1、i2、i3 ?由折射定律可以得到 即 n1 sin i1 ? n2 sin i2 同理可得 n2 sin i2 ? n3 sin i3 显然有 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? n3 sin i3 ? ??? ? 常数 将上述结论用于本题,可将本题的介质分布看成是层数无 限多、层厚趋于零的情况,故仍有 nx sin ix =常数 由于 x=0 时, nx ?
sin i2 n1 ? sin i1 n2

n0 x 1? r

? n0

又此时 i0 ? 900 , sin i0 ? 1 ,故上式中的常数即为 n0 ,则上式变为

nx s i nx ? n0 i
将 nx 的表达式代入上式,即得 sin ix ? 1 ?
x r

由图 13—6 可见,上式表示的是以点(r,0)为圆心,以 r
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为半径的圆的方程,亦即说明光线在此介质中是沿此圆弧 传播的。 光线自题给的 A 点由平板中射入空气中时,应满足的方程 是(注意此时的介质分界面与 x 轴平行,而讨论光在平板 内传播时,分层介质的分界面则与 x 轴垂直)

s i n ? nA s i n 0 9 0A) ? ( ?i
由于 nA ?

n0 x 1? A r
0

2 r 2 ? r ? xA) ( 又注意到 A 点在前述的圆周上,故有 sin 90 ? iA) cos iA ? ( ? r

联立上述三式可解得 sin ? ?

n0 2 2rxA ? xA r ? xA

将题中的已知数值代人上式即可解得 xA ? 1cm 故平板的厚度为 d ? y A ? r 2 ? (r ? x A )2 类型三、光通过简单的单折射球面近轴成像问题。 例 3.有一种高脚酒杯,如图 13—7 所示。杯内底面为一凸起的球面,球心在顶 点 O 下方玻璃中的 C 点,球面的半径 R=1.50 cm,O 到杯口平面的距离为 8.0cm。在杯脚底中心处 P 点紧贴一张画片,P 点距 O 点 6. 3 cm。这种酒杯 未斟酒时。若在杯口处向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了 酒,再在杯口处向杯底方向观看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率 n1=1.56,酒的折射率 n2=1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 分析和解:把酒杯放平,分析成像问题。

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(1)未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1 和 n0 =1。在图 13 -8 中,P 为画片中心,由 P 发出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变 方向进入空气中; P 发出的另一近轴光线 PA 在 A 处折射后与轴交于 由 P'点,P'点即为 P 的像点。 采用我们前面规定的符号法则,物像距公式为
n0 n1 n0 ? n1 ? ? s? s R

以 n0=1,n1=1.56,s=?6.3 cm,R=?1.50 cm 代入,求得 S'=7.9 cm。 由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距 O 点 7. 9 cm 处。 已知 O 到杯口平面的距离为 8. 0 cm。 当人眼在杯口处向杯底方向观看时, 该实像离人眼太近,所以看不出画片上的景物。

(2)斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为 n1 和 n2, 如图 13 一 9 所示,此时,以 n1=1.56,n2=1.34,S=?6.3 cm,R=?1.50 cm 代入物像距公式
n2 n1 n2 ? n1 ? ? s? s R

解得 s? ? ?13cm ,P'为 P 点的虚像点,它位于 O 点左方 13 cm 处。 由此可见.斟酒后画片上景物成虚像于 P'处,距 O 点 13 cm,即距杯口 21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一段距离, 但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时,可以看 到画片上的虚像。 类型四、光通过共轴球面系统的近轴成像问题。 例 4.在焦距为 20. 00 cm 的薄凸透镜的主轴上离透镜中心 30. 00 cm 处有一小发 光点 P,一个厚度可以忽略的光楔 C(顶角 ? 很小的 的三棱镜)放在发光点与透镜之间,垂直于 主轴,与透镜的距离为 2.00cm,如图 13 一 10
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所示。设光楔的折射率 n=1.5,楔角 ? =0.028 弧度,在透镜另一侧离透镜中心 46. 25 cm 处 放一平面镜 M,其反射面向着透镜并垂直于主 轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置 在何处?(只讨论近轴光线,小角度近似适用,在分析计算过程中应作出必 要的光路图) 。 分析和解:本题共有五次成像过程 (1)光楔使入射光线偏折,其偏向角为

? ? (n ?1)? ? (1.5 ?1) ? 0.028弧度 ? 0.014弧度
因 ? 与入射角大小无关,各成像光线经光楔后都偏折 同样角度 ? 。又因光楔厚度可忽略,所以作光路图时可 画成一使光线产生偏向角 ? 的薄平板,见图 13 一 11。 光点 P 经光楔成一虚像点 P? 。对近轴光线, P? 在 P 正上方,到 P 的距离 1 1 为 h,离光楔距离 b=28.00 cm。
h ? ? b ? (n ? 1)? b ? 0.39cm 。

(2) P? 为透镜 L 的实物,像点 P2? 的位置可由下式求出: 1

1 1 1 ? ? ? s1 s1 f ?

? 以 s1 ? ?30.00cm , f ? ? 20.00cm 代入,得 s1 ? 60.00cm
将 PP? ,视为与光轴垂直的小物,由垂轴放大率公式 ?1 ? 1 可求得
? s1 s1

? h2 ? ?1h ? ?0.78cm

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即像点 P2? 在光轴下方与光轴的距离为 0. 78 cm, 与透镜中心的距离为 60. 00 cm 处。见图 13 一 12。 (3) P2? 在平面镜之后,对平面镜是虚物,经平面镜成实像,像点 P? 与 P2? 对 3 称于平面镜。 d=13.75 cm

? ? h3 ? h2 ? ?0.78cm
(4) P? 作为透镜的实物,经透镜折射后再次成像,设像点 P2?? ,此时物距 3

?? s2=32.50 cm,像距 s2 ? ?52.00cm 。

P2?? 在透镜左侧,主轴上方,
见图 13 一 13。

? h?? ? ?2h2 ? 1.25cm
(5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成像,像点 P?? , 1 在 P2?? 正下方,离光楔距离为 50 cm,离光轴的距离为 h? 。
?h ? ? b? ? 0.70cm

?? h? ? h2 ? ?h ? 0.55cm
像点 P?? 在光轴上的垂足与 P 的距离为 ?s ? b? ? b ? 22.00cm 1 即最后的像点在发光点 P 左侧光轴上方,到光轴的距离为 0. 55 cm,其 在光轴上的垂足到 P 的距离为 22. 00cm。

类型五、在计算两相干光的光程差的基础上分析干涉条纹的方法解尖劈形薄膜 干涉在实践中有着广泛的应用的问题。 例 5.块规是机加工里用的一种长度标准,它是一钢质长方体,它的两个端面经 过抛平磨光,达到相互平行。图 13-14 中,G1、G2 是同规号的两个块规, G1 长度是标准的,G2 是要校准的。校准方法如下:把 G1 和 G2 放在钢质平 台
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上,使面和面严密接触,G1、G2 上面用一透明平板 T 压住。如果 G1 和 G2 的高度(即长度)不等,微有 差别,则在 T 和 G1、G2 之间分别形成尖劈形空气薄 层,它们在单色光垂直照射下各产生干涉条纹。 (1)设入射光的波长为 5893 A ,G1 和 G2 相隔 L=5 cm,T 和 G1、G2 间的干涉条纹间距都是 0.5mm,试求 G1 和 G2 的高度之差,怎样判断 它们谁长谁短? (2)如果 T 和 G1 间的干涉条纹的间距是 0.5mm, 而 T 和 G2 间的是 0.3mm,则说明什么问题? 分析和解: (1)如图 13 一 15,空气薄层为尖劈形,其折射率近似为 1.0,空 气层上表面和下表面的反射光叠加后产生干涉极大的条件是
2h ?
o

?
2

? k?

相邻两干涉极大处空气层的厚度差为 ?h ? h2 ? h1 ?

?
2

由于劈的棱角 ? 很小,故条纹间距 ?x 与相应的厚度变 化之间的关系为 ?h ? ? ? ?x 由此可得 ?x ?

? 2?
?
2 ?x

在本题(1)中,两个劈形空气层的干涉条纹间距相等,均为 0.5mm,因此两 空气层的棱角也必然相等,均为 ? ?
?H ? ? ? L ?

,于是 G1 和 G2 的高度差

?
2?x

L ? 29.47 ? m

当然,要判断哪块高,就不是图上画的那么显而易见了,仅靠静态条纹的性 质是无法做出判断的。为此,轻压盖板 T 的中部,两处条纹疏密变化正好 相反,条纹变密的一端块规长,条纹变疏的一端块规短。 (2)这说明 G2 上下两表面有不平行度,致使其上表面不严格平行 G1 的上 表面,造成两边空气层劈角不等,劈角差(用以量度不平行度)为
?? ? ? 2 ? ?1 ? ( 1 1 ? ? ) ? 3.93 ?10?4 弧度 ? 1.35? 。 ?x2 ?x1 2

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类型六、综合运用相关力学知识与几何知识解决光的微粒性的有关力的作用的 问题。 例 6. 如图 13 一 16 所示, 在真空中有一个折射率为 n(n>n0, n0 为真空的折射率)、 半径为 r 的质地均匀的小球。频率 为 ? 的细激 光束 在真空 中沿直线 BC 传播, 直线 BC 与小球球心 O 的 距离为 l (l ? r ) ,光束于小球体表面 的 C 点经折射进入小球(小球成为 光传播的媒质) 并于小球表面的 D 。 点又经折射进入真空。 设激光束的频率在上述两次折射后保持不变,求在两 次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小。 分析和解:在由直线 BC 与小球球心 O 所 确定的平面中,激光光束两次

折射的光路 BCDE 如图 13—17 所示。 图中入射光线 BC 与出射光线 DE 的延 长线交于 G 点。按照光的折射定律,有

n0 sin ? ? n sin ?
式中 ? 和 ? 分别是相应的入射角和折射角,由几何关系还可知
sin ? ? l r

激光光束经两次折射,其频率? 保持不变, 故在两次折射前后,光束中一个光子的动 量的大小 P 和 P? 相等,即 P ?
h? ? P? c

式中 c 为真空中的光速,h 为普朗克常数。 因射入小球的光束中光子的动量 P 沿 BC 方 向,射出小球的光束中光子的动量 P? 沿 DE 方向,光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度 2? ,由图中几何 关系可知 2? ? 2(? ? ? ) 若取线段 GN1 的长度正比于光子动量 P , GN2 的长度正比于光子动量 P? ,则 线段 N1 N2 的长度正比于光子动量的改变量 ? P 。由几何关系得

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?P ? 2 P s i ? ? n

h? 2 c

sin ?

△GN1N2 为等腰三角形,其底边上的高 GH 与 CD 平行,故光子动量的改变 量 ? P 的方向沿垂直于 CD 的方向,且由 C 指向球心 O。 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间。即

2r cos ? cn0 n cn0 式中 是光在小球内的传播速率。 n ?t ?
按照牛顿第二定律,小球对光子的作用的平均力大小为
f ? ?P n0 h? sin ? ? ?t nr cos ?

按照牛顿第三定律,光子对小球的作用的平均力大小 F ? f ,即
F? n0 h? s i n ? nr c o s ?

力的方向由 O 指向 G。将前面得到的有关表达式代入上式,经过演算最后可

? ? 2 2 ? n lh? r ?l ? ? 得 F ? 0 2 ?1 ? nr 2 2 ? nr ? ( ) ?l ? ? n0 ? ?
三、小试身手 1.盛于玻璃平底盘中的液体绕中心轴以匀角速率旋转,液体的折射率为


4 。当 3

以 ? ? 6100 A 的单色光垂直入射时,观察到中心是亮条纹,第 2 条亮条纹的 半径是 10.5 mm,问液体旋转的角速度。

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2.在半径 r=2 m,孔径 d=0.5m 的凹面镜的焦点位置上,放置一块圆形屏幕,使 平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都将能到达该圆形屏幕。 试求圆形 屏幕直径.如果在上述条件下圆形屏幕的直径减小到仅有原来的 1/8。问有 多少部分的光可以到达在同一位置的屏幕上。

3.一个会聚透镜的直径 D =5 cm,焦距 f=50cm。沿其直径分成两半,再分开相 距 d=5 mm,点光源 S 到透镜距离 u=1m。问离透镜多远处可以观察到干涉 条纹。 (透镜两半之间空隙被遮盖)

4.一束窄光包含两种波长的辐射光,成角 ? ? 300 射到平面平行玻璃砖上,砖的 底面镀了银(如右下图) ,玻璃对两种波长光的折射率分别为 n1 和 n2(n2> n1) 。在界面发生折射,在底面发生一次反射,又在介面上发生一次折射,
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结果从玻璃砖中射出两束光。 试求这两束光之间的距离。 玻璃砖的厚度为 H。

5.用一架直径为 D=2.6m 的凹抛物反射面望远镜把波长为 ? ? 0.69? m 的激光光 线发送到月球表面。光线被放置在月球上的直径为 d=20cm 的平面镜反射, 反射光正好回到地球上的望远镜。一光电池在望远镜的焦点上截取光线。地 球和月球间的距离为 L ? 3.8 ?105 km 。 (1)计算要把望远镜调节到所需方向的角度。 (2)光电池截取到的能量占原有光能的多少?(忽略损耗) (3)如果发射光脉冲的能量为 1J,有多少光子到达不用助视仪器的眼睛? (瞳孔直径为 5 mm) (4)如果月球上没有反射镜,则回到光电池的能量有多少?(月球表面把 入射光的 10%向所有方向均匀地反射)

6.为了测量玻璃棱镜的折射率 n,采用下图所示装置。棱镜放在会聚透镜的前 面,AB 面垂直于透镜的光轴。在透镜的焦平面上放一个屏,当散射光照在
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AC 面上时在屏上可以观察到两个区域:照亮区和非照亮区。连接两区分界 处(D 点)与透镜光心 O 的线段 OD 与透镜光轴 OO? 成 300 角。试求棱镜的 折射率 n,棱镜的顶角 ? ? 300 。

7.图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图,取纸面为 yz 平面。y、z 轴的方向 如图所示。线光源 S 通过 z 轴,双缝 S1、S2 对称分布在 z 轴两侧,它们以

及屏 P 都垂直于纸面。双缝间的距离为 d,光源 S 到双缝的距离为 l,双缝 到屏的距离为 D, d ?? D , d ?? l 。

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( 图 1) (1)从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1、S2 不同路径到 P0 点的光程差为零,相 干的结果产生一亮纹, 称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源 对于干涉条纹清晰度的影响,我们先研究位于轴外的线光源 S′形成的 另一套干涉条纹,S′位于垂直于 z 轴的方向上且与 S 平行,两者相距

? s ,则由线光源 S′出发分别经 S1、S2 产生的零级亮纹 P0 , P0 与 P0
的距离 ? y ? __________ __________ __________ _____ (2)当光源宽度为 ? 的扩展光源时,可将扩展光源看作由一系列连续的、彼 此独立的、非相干的线光源组成。这样,各线光源对应的干涉条纹将彼 此错开, 在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果,干涉条纹 图像将趋于模糊, 条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相 同、波长皆为 ? 。当 ? 增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨,则此 时光源的宽度 ? ? __________ __________ __________ (3)在天文观测中,可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体 上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光, 从星体相对的两边缘点 发来的两组平行光之间的夹角 ? 就是星体的角直径。 遥远星体的角直径 很小,为测量如些微小的角直径,迈克尔逊设计了测量干涉仪,其装置

?

?

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简化为图 2 所示。M1、M2、M3、M4 是四个平面反射镜,它们两两平 行,对称放置,与入射光(a、 a′)方向成 45°角。S1 和 S2 是一对 小孔,它们之间的距离是 d。M1 和 M2 可以同步对称调节来改变其中 心间的距离 h。双孔屏到观察屏之间的距离是 D。a、 a′和 b、 b′分 别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线 a、 a′垂直 双孔屏和像屏,星光的波长是 ? ,试导出星体上角直径 ? 的计算式。 注:将星体作圆形扩展光源处理时,研究扩展光源的线度对于干涉条纹 图像清晰度的影响会遇到数学困难,为简化讨论,本题拟将扩展光源作 宽度为 ? 的矩形光源处理。

图2

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参考解答

1.解:先证明液体绕中心轴以匀角速度旋转时,液面为一抛物面。 如图所示,以水面中心为原点,旋转轴为 y 轴建立直角坐标系。 在液面上任取一点 P(x,y) ,在 P 点下方沿 x 轴方向取一段底面积为 S 的 极小的液柱,液柱长 x,设液体的密度为 ? ,则当液体旋转的角速度为ω 时, 对液柱有

? xS ? ? 2 ? ? gy ? S
所以 y ?

x 2

?2
2g

? x2

这里ω 、g 都是定值,所以液面是一抛物面。
(10.5 ?10?3 )2 ? 2 当 x=10.5 mm 时, y ? 2 ? 9.8

此时有

?
n

? 20 ? 2 y

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6100 ?10?10 (10.5 ?10?3 )2 ? 2? ??2 即 4 2 ? 9.8 3

解得 ? ? 0.9rad / s 2.按照教科书中通常的理论推导,半径 PO=R 的凹面镜的焦点位于半径 R 的凹 中点 F 处, (如图) 。我们用 h 表示凹面镜孔径之半。在 P 点的入射光线与 半 径 的 夹 角 为 ? 。 反 射 后 与 轴 相 交 于 F1 点 。 OPF1 是 等 腰 三 角 形. OF1 ?
R , 2 cos ? R R R ? ? (sec ? ? 1) 2 cos ? 2 2

故实际焦点与理论的偏差为
FF1 ? OF1 ? OF ?

我们把圆形屏放在点 F 处,要求出屏的最小半径值 x。在直 角三角形中,应用通常的小角近似,我们得到
x ? F1 F tan 2? ? F1 F sin 2? ? F1F 2h R 2h ? (sec ? ? 1) ? h(sec ? ? 1) R 2 R

对于小角度来说,
cos ? ? 1 ? a2 a2 ,故 sec ? ? 1 ? 2 2

把? ?

h h3 代入,我们可得焦“斑”的半径为 x ? R 2R2

将数值代人即得 h ? 25cm , R ? 200cm , x ? 0.195cm ? 1.95mm 再看问题的第二部分,如果圆形屏的半径为 x,则入射到凹面镜的光束半径 为

h ? 3 2R2 x
如 果 我 们 用 半 径 kx 的 屏 代 替 半 径 为 x 的 屏 , 则 入 射 光 束 的 半 径 为
hk ? 3 2 R 2 kx

入射光的量正比于 hk2 ,因此 hk2 ? ( 3 2 R 2 kx ) 2 ? h 2 3 k 2
1 1 本题情形是 k ? ,由此得出,落在圆形屏上的光的量将是前者的 。 8 4

3.解:利用分成两半的透镜得到两个相干光源 S1 和 S2。从光源 S1 和 S2 发出的

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两束光的叠加区域,即透镜后面 l 处,光轴上 O 点后面画有斜线的区域,可 以观察到干涉图样(如图) .因为按照题意 u ? 2 f ,所以点光源的像到透镜 的距离也为 2 f 。从三角形 SS1S2 与三角形 SO1O2 相似得知,两光源之距离 等于 2d。从三角形 S1S2O 与 L1L2O 相似得到
D?d l ? 2d l ?u

由此得到 l ?

( D ? d )u ? 1.22m D?d

4.解:玻璃对不同波长光的折射率不同,根据折射定律,对于 同一个入射角, 它们的折射角不同。 2>n1, n 则对应的折射角 ?1 ? ?2 , 于是分成两束光传播, 光路图如图所示从图中可知 AC ? H tan ?1 ,因为 sin ?1 ? 所以有 AC ?
sin ? , n1

H sin ? n12 ? sin 2 ? H sin ?
2 n2 ? sin 2 ?



同理有 BC ?

, x ? KM cos ? ? 2( AC ? BC ) cos ? 。

所以有 x ? 3H (

1 4n12 ?1

?

1
2 4n2 ?1

)。

5.解: (1)如图,由惠更斯原理,狭缝构成一波源,在原入射方向给出最大光 强,而在满足 ? ? D sin ? 的方向上产生第一级暗条纹,于是有

? ? sin ? ?

?
D

? 2.65 ?10?7 rad ? 0.055?? 。

(1)由于产生衍射现象,在月球上产生圆形光斑, 直径为 2 L ?
L ? 101m , D ?L 面积为 ? ( ) 2 ? 7987m 2 2D

?

设发射出去的能量为 E,就分布在这个面积上,平均能量密度为
E

?? L
4D2

2 2

? 0.125 ?10?8 E / m 2 。

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到达反射镜的能量为

4D2 E ? d 2 ? ? ( ) ? ? 3.94 ?10?6 E 2 2 ? ?? L ? 2 ?

由图可知,由于在角度 ? ?

?
d

? 3.45 ?10?6 rad ? 0.71?? 范围内发生衍射。地球

上接收到光的范围直径为 ? L ? 1310m ,面积为 1.72 ?10?6 m2 。到达地球上的 能量密度为

Dd 2 ) E 4D2d 4 L? ? E ? 2.3 ?10?12 E / m2 。 4 4 ? L? 2 ? ?? L ?? ( 2d ) ? ? ? (
到达望远镜的能量为
16 。 1012

4D2d 4 D E ? ? ( )2 ? 15.8 ?10?12 E ,回收到原来能量的 4 4 ?? L 2

(3)瞳孔面积为 ? ? (2.5mm)2 ? 20 ?10?6 m2 ,眼睛得到的能量 为 46 ?10?18 J ,到达 眼睛的光子数为

E0 46 ?10?18 N? ? ? 115 个光子, hf 2.89 ?10?19
其中 f 为红光频率, hf 为一个红光光子的能量。 (4)由图得,地球上能量密度为
0.1E ? 5.9 ?10?19 E 2? L2

6.解:我们分析 AC 面上某点 a 处光线的折射情况(如下图) 。根据题意各个方 向的光线(散射光)可能照射到这个面上。因为玻璃棱镜与空气相比为光密 介质,折射角不可以大于某一极限角 ? 0 , ? 0 由 sin ? 0 ?
1 式 n

子决定。从 a 点发出光线锥体的边缘光线,将分别以角

? ?? ? 0 ? ? 0 ? ? 和 ? 0 ? ? 0 ? ? 射在 AB 面上 b 和 e 两点。要注意: ? ?? ? 0 ? ? 0 ,而 ? 0 ? ? 0 。这意味着光线 ab 在玻璃与空气的分界
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面上不会发生全反射,这时光线 ae 却被完全反射。线在 b 点从棱镜射出, 光线的折射角 i0 从下面关系式可以得到

sin(? 0 ? ? ) sin ? cos ? 0 ? cos ? sin ? 0 ?? ?? sin i0 sin i0
由此得到 n ? (

sin 1 ?

1 cos ? ? n2 n ?1 sin i0 n

sin i0 ? cot ? )2 ? 1 sin ?

以角 i0 从棱镜中射出的所有光线将会聚在透镜焦平面上某一点,从透镜光心 指向此点的方向与光轴成角 i0 光线不可能射到 D 点上方(非照亮区) ,因为 从棱镜射出的光线与光轴向上的倾角不可能大于 i0 。照亮区位于 D 点下方; 而光线与光轴向下的倾角可以是从 00 到 900 这个范围内任意一个角度。在这 种情况下 ? ? 300 , i0 ? 300 ,因而 n ? (1 ? 3) 2 ? 1 ? 1.24 7.解: (1)
l D ?s , (2) ? l d

(1)求 S ? 经双缝产生的干涉图像的零级亮纹 P0? 的位置
? 它也就是光源 S ? 与 S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之 设 P0? 点的坐标为 y0 ,

间的距离,即
? ? P0?P0 ? ? y ? y0 ? 0 ? y0

由双缝到 P0? 点的光程差 ?1 ? S2 P0? ? S1P0? ,从 S1 作 S2 P0? 的垂线交于 H 点,三角 形 OP0 P0? 与三角形 S1HS2 相似,因 D ?? d , 则
?1 ? d d ? y0 ? ? y D D

(1)
y

P0?

?2

G S ?s S? l d

S1 O S2 H ?1 D
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? y0
z

P0

图1

从 S2

作 S?S1 的垂线交于 G, S ? 到双缝的光程差
?2 ? S?S2 ? S?S1

(2)

三角形 S OS? 与三角形 S1GS 2 相似,因 l ?? d ,则
d ? 2 ? S?S2 ? S?G ? GS1 ? ?GS1 ? ? ? s (3) l

?

?

对满足零光程差条件的 P0? 而言,
d d? s ?S?S2 ? S2 P?? ? ?S?S1 ? S1P?? ? ?1 ? ?2 ? ? y ? ?0 0? 0? ? ? D l


?y?
D ?? s l

(4)

(2)在线光源情况下,可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
?y ? D ? d

(5)

? s 值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源.不难证明,它们经双缝产生

干涉条纹的间距 ?y 均如(5)式所示.宽度为 w 的扩展光源是由一系列 ? s 值 不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成.因此扩展光源在观察屏上产 生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成.当扩展 光源宽度为 w 时,对于光源最边缘点有

?s ? w

(6)

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代入(4)式
?y?
D l w

(7)


?y ? ? y

(8)

则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距.由 于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同,各套干涉条纹强度相 加的结果使屏上各处光强相等,变得一片模糊而无法分辨.由(5)式和(7) 式,求得为使条纹能被分辨,扩展光源允许的最大宽度
w? l ? d

(9)
a b

如图 2 所示,

?

一h

H

M M3 1

双孔屏 S1 观察屏 P

y

M4

d S2

P0

a? b?

?

M2

图2

aa ? 是由扩展光源上端边缘

发出的平行光, bb? 是由扩展光源下端边缘发出的平行光.设 ab 光线交于 M 1 点, a ?b ? 光线交于 M 2 点. aa ? 光束中的光线 a 经过 M1M 3 S1 P 到达观察屏上 P 点;光线 a ? 经过 M 2 M 4 S2 P 到达观察屏上 P 点,两相干光波产生干涉,在观察 屏上产生一套干涉条纹.同理,平行光束 bb? 在观察屏上产生另一套干涉条 纹.从扩展光源不同部位发出的、倾角在 0 和 ? 之间不同角度入射的平行光 束,经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔,然后在观察屏上

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产生很多套干涉条纹.这些干涉条纹光强度彼此相加,屏幕上就形成了光强 度的分布图像.根据第 2 问的结果,其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘 发出的平行光 aa ? 与 bb? 分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程 度. 由对称性考虑,平行光束 aa ? 中两条光线 a 和 a ? 在观察屏上 P0 的光程差为 0, 即平行光 aa ? 产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在 P0 处. 现讨论以倾角 ? 斜入 射的平行光束 bb? 通过整个光学装置后,在观察屏上某点发生干涉时的光程 差. 光束 bb? 中的光线 b 入射 M1 的光线经 M3 反射到达 S1 , 光线 b 从 M 1 点算起, 所经光程为 M1M3 ? M3 S1 ; 光线 b ? 入射 M2 的光线经 M4 反射到达 S2 , 光线 b ? 从
M 2 点算起,所经光程为 M 2 M 4 ? M 4 S 2 .由对称性可得

M1M3 ? M3S1 ? M 2 M 4 ? M 4 S2

(1)

也就是说从 M1 和 M2 算起,光线 b 和 b ? 到达 S1 与 S2 的光程是相等的,但是光 线 b 和 b ? 在到达 M1 和 M2 时,二者的相位却不同.由 M 2 作斜入射光线 bM 1 的 垂线交 H 点, M 2 与 H 相位相等,因此,斜入射的两条平行光线 b 和 b ? 到达 S1 和 S2 时的相位差是光程差 HM1 引起的
? ?1 ? ? M2 M4 S2 ? ? ? HM1M3 S1 ? ? ?HM1 ? ?h?

(2)

从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪,经双孔后发出的相 干光在观察屏上坐标为 y(坐标原点取在 P0 上)的 P 点上引起的光程差
? ? ? ?1 ? ?1 ? ?h? ? d y D

(3)

其零级亮纹所在位置 P0? 对应的光程差 ? ? 0 ,故 P0? 的坐标
? y0 ? h? ? D d

(4)

这也就是平行光 aa ? 与 bb? 产生的干涉条纹的零级亮纹(也是两套条纹)错开 的距离
? y ? h? ?
D d

(5)

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因在线光源情况下,可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为
?y ? D ? d

(6)

当二者错开一个条纹间隔时,即 ?y ? ? y ,代入(6)式(星光波长采用 ? ) , 得
?? ?
h

(7)

远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔,在屏上观察到 干涉条纹的清晰度下降,由小到大调节 M1、M2 距离 h,当屏幕上条纹消失 时,记下此时 h 的值代入(7)式就可确定扩展光源角直径 ? 的大小. 注:实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源,通过调节 h 使屏幕上的干涉 条纹消失,即各处强度完全相等时,通过数学计算,用迈克尔逊测星仪测量
? 得的星体角直径 ? ? 1.22 .
h

2 0 0 9 0 1 0 6

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