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数列中含有(-1)的n次方


1 .( 2 0 1 2 年 新 课 标 ) 在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 , an ? 2 ? ? ?1? an ? 1 , 记 S n 是 数 列
n

?an ? 的 前 n 项 和 , 则 S60 =

.480

方法:分奇偶数,发现奇数项成等差,偶数项两两相加为 1

/>2、已知数列{an}中,a1=1,an+1=

an * (n∈N ). an ? 3

(1)求证: 数列 {

1 1 + }是等比数列,并求数列{an}的通项 an 2 an
n

(2)若数列{bn}满足 bn=(3 -1)
*

n n an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(-1) λ <Tn 对 2n

一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围. 【解析】 试题分析: (1)将已知 an+1=

an a +3 3 1 = n = +1 进而利用待定系数 取倒数可得: an+1 an an an ? 3

法将此式转化为:

1 an+1



? 1 1? 1 1 1 ? ? 从而可证数列 { + =3 ? }是等比数列,然后 2 2 an ? an 2 ?
n

应 用 等 比 数 的 通 项 公 式 可 求 得 数 列 {an} 的 通 项 an; (2) 由 (1) 及 已 知 可 得 bn = (3 - 1)·

n 2 ?1? =n· ? ? n n 2 3 ?1 ?2?

n-1

,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{ ? ?

?1? ?2?

n-1

}对应

项的积构成的一个数列,此数列的前 n 项和应用乘公比错位相减法就可求得其前 n 项和 Tn; 然后研究数列{Tn}的单调性可知:{Tn}为递增数列,最后通过讨论 n 的奇偶性及不等式恒成 立的知识就可求得 λ 的 取 值 范 围 . 注 意 不 等 式 : ? ? Tn 对 一 切 n ∈ N 恒 成 立 等 价 于
*

? ? (Tn )min ,同理:不等式: ? ? Tn 对一切 n∈N*恒成立等价于 ? ? (Tn )max .
试题解析:(1)由题知,

1 an+1



an+3 3 = +1, . an an
2分

.1 分



1 an+1



? 1 1? 1 ? ?, =3 ? 2 a ? n 2?

∴数列 {

? 1 1? 3 1 1 + }是以 3 为公比以 ? ? ? = 为首项的等比数列。 2 an ? a1 2 ? 2



1 1 ? 1 1 ? n-1 3n 2 + = ? ? ? ·3 = ,∴an= n 2 ? a1 2 ? 3 ?1 2 an
n

5分

(2)由(1)知,bn=(3 -1)·

n 2 ?1? =n· ? ? n n 2 3 ?1 ?2?
2

n-1



Tn=1×1+2× ? ? +3× ? ? +…+n· ? ?

?1? ?2?

1

?1? ?2?

?1? ?2?

n-1



6分

1 1 ?1? 2 ?1? Tn=1× +2× ? ? +…+(n-1) ? ? 2 2 ?2? ?2?
两式相减得,

n-1

+n ? ? ,

?1? ?2?

n

?1? 1-? ? 1 1 n 1 n+2 1 ?2? - n Tn=1+ + 2 +?+ n-1 - n = , n =2- n 1 2 2 2 2 2 2 2 1- 2
∴Tn=4-

n

n+2 2 n-1

10 分

∵Tn+1-Tn= ? 4-

? ?

n+3 ? ? n+2 ? n+1 -? 4- n-1 ?= n >0, n ? 2 ? ? 2 ? 2

∴{Tn}为递增数列 .12 分 ①当 n 为正奇数时,-λ <Tn 对一切正奇数成立, ∵(Tn)min=T1=1,∴-λ <1,∴λ >-1; ②当 n 为正偶数时,λ <Tn 对一切正偶数成立, ∵(Tn)min=T2=2,∴λ <2. 综合①②知,-1<λ <2 .14 分 考点:1.等比数列;2.数列的前 n 项和;3 不等式的恒成立.

3、已知 ?an ? 是首项 a1 ? 1 的递增等差数列, S n 为其前 n 项和,且 a2 2 ? S3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

2 ,Tn 为数列 ?bn ? 的前 n an ? an ?1

项和.若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

【解析】 试题分析: (1)把 a2 2 ? S3 式中的 a2 、S3 用 a1 和 d 进行代换得 ?a1 ? d ? ? 3a1 ? 3? ?3 ?1?d
2

与 a1 ? 1 联立方程组解出 d ,即可求出通项公式 an ; (2)由(1)可得 ?bn ? 的通项公式,通 过观察求 ?bn ?的前 n 项和可通过裂项求得,求得 Tn 后代入不等式,得到一个关于 n 和 ? 的 二元一次不等式,要求 ? 的取值范围可通过将 ? 分离出来,然后用不等式的基本性质及函 数的基本性质即可求出 ? 的取值范围。 试题解析: (1)由 a2 2 ? S3 , a1 ? 1 得 (1 ? d ) ? 3 ? 3d ? d ? d ? 2 ? 0 ? d ? 2或 ? 1
2 2

d ?0

? d ? 2.

(2 分) (4 分)

? an ? 2n ? 1, n ? N *
(2)由(1)得 bn ?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 2n ? ] ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
(6 分)

所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? [ 由已知得: ? ?

1 3

1 1 3 5

2n ? n ? 8 ? ( ?1) n 恒成立, 2n ? 1 2n 2n ? 1 因 恒成立, (7 分) ? 0 ,所以 ? ? [n ? 8 ? ( ?1) n ] ? 2n ? 1 2n 2n ? 1 令 f ( n ) ? [n ? 8 ? ( ?1) n ] ? ,则 ? ? f ( n ) min 2n 2n ? 1 4 17 17 25 当 n 为偶数时, f ( n ) ? ( n ? 8) ? ?n? ? ? 4? ? 2n n 2 2 2 4 25 25 当且仅当 n ? ,即 n ? 2 时, f ( n ) min ? ,所以 ? ? ; (8 分) n 2 2 2n ? 1 4 15 当 n 为奇数时, f ( n ) ? ( n ? 8) ? ?n? ? 2n n 2 21 21 可知 f ( n ) 随 n 的增大而增大,所以 f ( n ) min ? f (1) ? ? ,所以 ? ? ? . (9 分) 2 2 21 综上所诉, ? 的取值范围是 ( ??, ? ) (10 分) (其他解法请酌情给分) 2
考点:1、等差数列通项公式及前 n 项和公式;2、列项求和法;3、基本不等式;4、函数的 单调性。

含有 cosn? 类型题
4、已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+2=(2+cosnπ)(an-1)+3, n∈N*. (1)求通项 an; (2)设{an}的前 n 项和为 Sn, 问: 是否存在正整数 m, n(m≤3, n≤3), 使得 S2n=mS2n-1?若存在,请求出所有符合条件的正整数对(m,n), 若不存在,请说明理由. 解:(1)当 n 是奇数时,cosnπ=-1;当 n 是偶数时,cosnπ=1. 所以当 n 是奇数时,an+2=an+2;当 n 是偶数时,an+2=3an. 又 a1=1,a2=2,所以 a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为 1, 公差为 2 的等差数列; a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为 2,公比为 3 的等比数列.

?n,n为奇数 所以 an=? n 2 × 3 ? 2-1,n为偶数

.

(2)由(1)得 S2n= (a1+a3+…+a2n-1)+ (a2+a4+…+a2n)= (1+3 +…+2n-1)+(2+6+…+2×3n-1)=3n+n2-1. S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1. 若使 S2n=mS2n-1 的正整数对(m, n)存在, 即满足 3n+n2-1=m(3n
-1

+n2-1)的正整数对(m,n)存在.当 n=1 时,31+12-1=m(31-1+

12-1),m=3;当 n=2 时,32+22-1=m(32-1+22-1),m=2;当 n =3 时,33+32-1=m(33-1+32-1),这时不存在正整数 m.故满足题 意的正整数对(m,n)只有(3,1),(2,2).


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