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1.3.2证明不等式的基本方法(2)


证明不等式的基本方法
——综合法、分析法

【学习目标】
1.熟练掌握已学的重要不等式; 2.掌握综合法、分析法证明不等式的特点与方法。

复习回顾 我们已经学过的重要不等式有哪些?
1.a2+b2≥ 2ab (a,b∈R)
2. a?b 2
3. 2 ab a?b
3

? ab ?
?

a ?b
2

2

(a , b ? R )
2

2

?

ab

(a , b ? R )
a ?b
2 2

? ab ?
?

(a ? b ) 4

(a , b ? R )
b? a ?b ? ? 2 ?
2 2 2

?

? ab ?
3 3

a?b 2

?

(a , b ? R )
?

2

?a? ? ? ? 2
3 3

4 .a ? b ? c ? 3 abc
5. a?b?c 3 ?
3

( a , b , c ? R ) ? abc ?
?

a ?b ?c 3
3

3

(a , b ? R )
?

abc ( a , b , c ? R ) ? abc ?

(a ? b ? c ) 27

(a , b ? R )

探究展示
2 2 2 2

(一)综合法证明不等式

问题 1 已知 a , b , c ? 0 , 且不全相等,求证: a ( b ? c ) ? b ( c ? a ) ? c ( a ? b ) ? 6 abc
2 2

问题 2 设 a,b,c 都是正数,求证:

? 1 1 1? (1)(a ? b ? c )? ? ? ? ? 9 ; ?a b c? 1 1 1 ( 2 )若 a ? b ? c ? 1, 求证 : ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 . a b c 问题 3 什么是综合法?综合法证明不等式的特点是什么?
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列 的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:由因导果.

精讲点拨
例 .已知 a 1 , a 2 , ? , a n ? R , 且 a 1 a 2 ? a n ? 1, 求证 : ( 1 ? a 1 )( 1 ? a 2 ) ? ( 1 ? a n ) ? 2 .
n ?

探究展示

(二)分析法证明不等式

问题1 求证: 3 ? 7 ? 2 5
问题 2 什么是分析法?分析法证明不等式的特点 是什么?
一般地,我们从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需 条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) , 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法。其特点是:执果索因.

达标检测
已知 a , b , c ? 0 , 求证: a b
2 2

? b c
2

2

? c a
2

2

a ? b ? c

? abc .

归纳延伸
分析法和综合法是对立统一的两种方法,分析法的
证明过程,恰好是综合法的分析、思考过程,即综合法

是分析法的逆过程.混淆了它们间的区别与联系易产生
思维障碍.要注意两种证明方法的书写格式,否则易产

生逻辑上的错误.

课后作业:P25 1、2、3、8 预习作业:课本P26—29页内容。


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