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高中数学知识点总结


排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 分步乘法计数原理 完成一件事有 n 步,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方 法‥‥‥,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:N=m1×m2×…× mn 种不同的方法 2.分类加法计数原理. 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 m

2 种不同的方法‥‥‥,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有:N=m1+m2+???+mn 种不同的方法 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做 ...... 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序 也必须完全相同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列, 称为从 n 个不同元素中取出 m
m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An

表示. ?排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! = 1
m m An ? nAn??1 1

m 1 1 An?1 ? Am ? Am ?C m?n ? Am ?mAm?n n m n

0 规定 C n ?C n ? 1 n

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于
n? n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求
1!2!

其排列个数?其排列个数 n ? 3! ? 1 .
3!

三、组合. 1. ?组合: n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组, 从 叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合.

?组合数公式: C m ? n
m

A m n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? C m? n m m! m!(n ? m)! Am
n?m n;

?两个公式:① C n ?C

②C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素 中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元 素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其 不同选法,分二类,一类是含红球选法有 C m?n1 ?C1 ?C m?n1 一类是不含红球的选法有 1
Cm ) n

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时, 对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n
1 个元素中再取 m-1 个元素,所以有 C m?n ,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个

元素中取出 m 个元素,所以共有 C n 种,依分类原理有 C

m

m?1 m m n ?C n ?C n ?1 .

?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序 关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 C n ?C n ?C n ???n ?2n n
0 2 4 1 3 5 C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ? 2 n ?1 m C m ?C m ?1 ?C m ?m ?C m ?m ?C m ?m ?1 n 2 n n ?1

kC k ? nC k ?1 n n ?1 1 1 Ck? C k ?1 n n ?1 k ?1 n ?1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: ii. 导数法.
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ) (利用 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! ( n ? 1)! n!

iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
3 3 3 3 4

1 v. 递推法(即用 C m ?C m?n ?C n?m 递推)如: C 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n ?1 . n 1

0 2 1 2 n 2 n vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为

0 1 1 2 2 0 0 1 C n ?C n ?C n ?C n?n ?C n ?C n?n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) 2 ?(C n ) 2 ? ? ? (C n ) 2 ,而右边 ?C 2 n n n n

n

四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整 体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如, 一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有
A n?m?1 ? A m 个.其中 A n?m?1 是一个“整体排列”,而 A m 则是“局部排列”. m n ?m?1 m n ?m?1
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 An ?

An?1 ? A2 . 1 2

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 An?1 ? A2 . n?1 2
2 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 An ? An?1 . n?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不 2 同商品任取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空 档中,此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?
m An?m ? An?m?1 (插空法),当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义. n ?m

2

⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排 其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后 再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行 全排列有 A n 种,m(m ? n) 个元素的全排列有 A m 种, 由于要求 m 个元素次序一定, n m 因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元 素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有
An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二:(比例分 配法) A n / A m . n m ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n C kn ?C ( k ?1)n ?C n n n

Ak k

.

例如: 1, 3, 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有 从 2, 4

C2 4 (平 ?3 2!

均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将 200 名运动员平均分成 两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (P?
8 2 C18C 2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺
m 序不变,共有多少种排法?有 An?m ? An?m?1 / Am ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有 n ?m m

2

意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球 x 排成一列,在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个 组 . 每 一 种 方 法 所 得 球 的 数 目 依 次 为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显 然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 , 故 ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解 ( y1, y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟
x1 x2 x3 x4 一的一种在 12

个球之间插入隔板的方式(如图 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数

3 等于插隔板的方法数 C 11 .

注意:若为非负数解的 x 个数,即用

a1 , a 2 ,...a n

中 ai 等 于

xi ? 1

,有

x1 ? x2 ? x3 ... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A ,进而转化为求
n C A?1 . ?n

a 的正整数解的个数为

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素 都包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有 A r A n ? r . 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定 在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
m 固定在某一位置上: Am?1 ;不在某一位置上: Am ? Am?1 或 An?1 ? Am?1 ? Am?1 (一类 n n?1 n ?1 1 n ?1

r

k ?r

是不取出特殊元素 a,有 An?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位 置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合),规定某 r 个
? 元素都包含在内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C nk? rr A k ;组合 C rr C k ?r . k n?r

m

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定某 r 个元 素都不包含在内。先 C 后 A 策略,排列 C n?rk A k ;组合 C n?kr . k iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定每个排列

(或组合) 都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。 C 后 A 策略, 先 排列 C r C n ? r A k ; 组合 C r C n ? r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问 题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④ 正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理 的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个 数相等,不管是否分尽,其分法种数为 A/ Ar (其中 A 为非均匀不编号分组中分 r 法数).如果再有 K 组均匀分组应再除以 A k . k
2 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C10 C 8 C 4 / A2 ? 1575. 4 2

s

k ?s

k

s

k ?s

若分成六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为
2 2 2 C101C 91C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 ? A4 2 2 4

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间 的顺序,其分法种数为 A? Am m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方
2 3 法为: C10 ?C 8 ?C 5 ? A3 种. 5 3

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排
2 3 方法有 C 10 C 8 C 4 ? A3 种 5 3

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组 间的顺序,其分法种数为 A / Ar ? Am . r m 例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
2 4 C 10 C 8 C 4 3 4 ? A3 2 A2

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不 相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为

A ? C m1 C m-2m1 … C m-k(m1 ?m2 ?... ?mk -1 ) n n n
例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C102C 83C 5 ? 2520若从 5 10 人中选出 6 人分成三组, 各组人数分别为 1、 3, 2、 其分法种数为 C 101C 92C 73 ? 12600.

五、二项式定理.
0 1 r n 1. ?二项式定理: (a ? b) n ?C n a nb 0 ?C n a n?1b ? ??C n a n?r b r ? ??C n a 0b n .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n ; n

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列 展开. ?二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n ?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 数C
n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n

n 2

n

n ?1 n ?1 项和第 ? 1 项,它们的二项式系 2 2

最大.

③系数和:
0 1 C n ?C n ? ? ?C n ?2 n n 0 2 4 1 3 C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n?1

附:一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根 ........... 据 性 质 二 求 解 . 当 a ? 1或 b ? 1 时 , 一 般 采 用 解 不 等 式 组

? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ? ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

?如何来求 (a ? b ? c) n 展开式中含 a p b q c r 的系数呢?其中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把
r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视为二项式,先找出含有 C r 的项 C n (a ? b) n?r C r ,另一方面在
q q (a ? b) n?r 中含有 b q 的项为 C n?r a n?r ?q b q ?C n?r a p b q ,故在 (a ? b ? c) n 中含 a p b q c r 的项为

r q C n C n?r a p b q c r .其系数为 C nr C n ?q ? r

(n ? r )! n! n! p q ? ? ?C n C n ? p C r . r r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na ,因为这时

2 n 展 开 式 的 后 面 部 分 C n a 2 ?C n3a 3 ? ? ?C n a n 很 小 , 可 以 忽 略 不 计 。 类 似 地 , 有

(1 ? a) n ? 1 ? na 但使用这两个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.


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