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2013中考数学第二轮专题复习动态几何之最值问题


2013 中考数学冲刺 第二轮专题复习——动态几何之最值问题 动态题是近年来中考的的一个热点问题,动态包括点动、线动和面动三大类,解这类题 目要“以静制动” ,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。 常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。在平面几何的 动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或 面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有: (1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角 形的三边关系)求最值; (2)应用垂线段最短的性质求最值; (3)应用轴对称的性质求最值; (4)应用二次函数求最值; (5)应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探 讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值: 典型例题:
例 1. (2012 山东济南 3 分)如图,∠MON=90° ,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM, ON 上,当 B 在边 ON 上运动时,A 随之在边 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其 中 AB=2,BC=1,运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离为【 】

A. 2 ? 1

B. 5

C.

145 5 5

D.

5 2

【考点】矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。 例 2.(2012 湖北鄂州 3 分)在锐角三角形 ABC 中,BC= 4 2 ,∠ABC=45° ,BD 平分∠ABC, M、 N 分别是 BD、BC 上的动点,则 CM+MN 的最小值是 ▲ 。

[

【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐 角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 例 3.(2011 四川凉山 5 分)如图,圆柱底面半径为 2cm ,高为 9? cm ,点 A、B 分别是圆 柱两底面圆周上的点,且 A、B 在同一母线上,用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B,求 棉线最短为 ▲

cm 。

【考点】圆柱的展开,勾股定理,平行四边形的性质。

二、应用垂线段最短的性质求最值: 典型例题:
例 1.(2012 浙江台州 4 分)如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120° ,点 P,Q,K 分别为线 段 BC,CD,BD 上的任 意一点,则 PK+QK 的最小值为【 】

A. 1

B. 3

C. 2

D. 3 +1

【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定 和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 例 2.(2012 江苏连云港 12 分)已知梯形 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC =3,

问题 1:如图 1,P 为 AB 边上的一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,请问对角线 PQ, DC 的长能否相等,为什么? 问题 2:如图 2,若 P 为 AB 边上一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,请问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由. 问题 3:若 P 为 AB 边上任意一点,延长 PD 到 E,使 DE=PD,再以 PE,PC 为边作平行四 边形 PCQE,请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存 在,请说明理由. 问题 4:如图 3,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AE=nPA(n 为常数),以 PE、 PB 为边作平行四边形 PBQE,请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出 最小值,如果不存在,请说明理由. 【考点】反证法,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式,全等三角形的判定 和性质,勾股定理,平行四边形、矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。

例 3.(2012 四川乐山 3 分)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,AC=BC=4,D 是 AB 的中点,点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动(点 E 不与点 A、C 重合) ,且保持 AE=CF,连接 DE、DF、 EF.在此运动变化的过程中,有下列结论: ①△DFE 是等腰直角三角形;②四边形 CEDF 不可能为正方形; ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化;④点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】 .

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

例 4.(2012 四川成都 4 分)如图,长方形纸片 ABCD 中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤 进行裁剪和拼图:

第一步:如图①,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余 下部分不再使用); 第二步:如图②,沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意 取一点 M,线段 BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分; 第三步:如图③,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180° ,使线段 GB 与 GE 重 合,将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180° ,使线段 HC 与 HE 重合,拼成一个与三 角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片. (注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm,最大值为 ▲ cm.

三、应用轴对称的性质求最值: 典型例题:
例 1. (2012 山东青岛 3 分)如图,圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm,在杯内离杯 底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm.

【考点】圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。 例 2. (2012 甘肃兰州 4 分)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=120° ,∠B=∠D=90° ,在 BC、CD 上分别找一点 M、N,使△AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为【 】

A.130°

B.120°

C.110°

D.100°

【考点】轴对称(最短路线问题) ,三角形三边关系,三角形外角性质,等腰三角形的性质。 例 3. (2012 福建莆田 4 分)点 A、B均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上,建 立平面直角坐标系如图所示.若 P 是 x 轴上使得 PA ? PB 的值最大的点,Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点,则 OP ? OQ = ▲ .

【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线 上点的坐标与方程的关系。

四、应用二次函数求最值: 典型例题:
例 1. (2012 四川自贡 4 分)正方形 ABCD 的边长为 1cm,M、N 分别是 BC.CD 上两个动 点,且始终保持 AM⊥MN,当 BM= 为 ▲ cm .
2



cm 时,四边形 ABCN 的面积最大,最大面积

【考点】正方形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。

例 2.(2012 广东广州 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中 点,CE⊥AB 于 E,设∠ABC=α(60°≤α<90° . ) (1)当 α=60°时,求 CE 的长; (2)当 60° <α<90° 时, ①是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. ②连接 CF,当 CE ﹣CF 取最大值时,求 tan∠DCF 的值.
2 2

【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全 等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最 值,勾股定理。 例 3.(2012 江苏苏州 8 分)如图,已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A,点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 C,PC 与⊙O 交于点 D,连接 PA、PB, 设 PC 的长为 x ? 2 < x < 4? . ⑴当 x=

5 时,求弦 PA、PB 的长度; 2

⑵当 x 为何值时, PD ? PC 的值最大?最大值是多少?

B P O D C A l

【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理, 矩形的判定和性质,二次函数的最值。

五、应用其它知识求最值: (旋转结合弧长,切线结合角度等) 典型例题:

例 1.(2012 河北省 12 分)如图 1 和 2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos∠ABC= 探究:如图 1,AH⊥BC 于点 H,则 AH= ,AC=

5 . 13


,△ABC 的面积 S△ABC=

拓展:如图 2,点 D 在 AC 上(可与点 A,C 重合) ,分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线,垂 足为 E,F,设 BD=x,AE=m,CF=n(当点 D 与点 A 重合时,我们认为 S△ABD=0) (1)用含 x,m,n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD; (2)求(m+n)与 x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值; (3)对给定的一个 x 值,有时只能确定唯一的点 D,指出这样的 x 的取值范围. 发现:请你确定一条直线,使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程) , 并写出这个最小值.

【考点】动点问题,锐角三角函数定义,特殊角有三角函数值,勾股定理, 垂直线段的性质, 反比例函数的性质。 例 2.(2011 四川成都 4 分)在三角形纸片 ABC 中,已知∠ABC=90° ,AB=6,BC=8.过点 A 作直线 l 平行于 BC, 折叠三角形纸片 ABC, 使直角顶点 B 落在直线 l 上的 T 处, 折痕为 MN. 当 点 T 在直线 l 上移动时,折痕的端点 M、N 也随之移动.若限定端点 M、N 分别在 AB、BC 边上移动,则线段 AT 长度的最大值与最小值之和为 【考点】翻折变换(折叠问题) ,勾股定理。 ▲ (计算结果不取近似值) .

练习 1.(2011 广西贵港 2 分)如图所示,在边长为 2 的正三角形 ABC 中,E、F、G 分别为 AB、 AC、BC 的中点,点 P 为线段 EF 上一个动点,连接 BP、GP,则△BPG 的周长的最小值是 _ ▲ .

2. (2011 辽宁营口 3 分)如图,在平面直角坐标系中,有 A(1,2),B(3,3)两点,现另取一 点 C(a,1),当 a= ▲ 时,AC+BC 的值最小.

2.(2012 浙江义乌 10 分)在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45° ,将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图 1,当点 C1 在线段 CA 的延长线上时,求∠CC1A1 的度数; (2)如图 2,连接 AA1,CC1.若△ABA1 的面积为 4,求△CBC1 的面积; (3)如图 3,点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在△ABC 绕点 B 按逆时针方 向旋转过程中,点 P 的对应点是点 P1,求线段 EP1 长度的最大值与最小值.

【考点】旋转的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和 性质。


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