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0446数学-江苏省泰州中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题


江苏省泰州中学 2012-2013 学年度第一学期 高二数学期中考试试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卷相应的位置 ........ 上. . 1.点 P(4, 3, 关于 xOy 平面的对称点坐标为: ? 7) 2. 椭圆 4 x ? y ? 16 的长轴长等于
2 2

▲ .

/>




3. 已知 A(-4,-5),B(6,-1) ,以线段 AB 为直径的圆的方程为





x2 y 2 4.若 F1、F2 是椭圆 + ? 1的两个焦点,过 F1 作直线与椭圆交于 A、B ,则 ?ABF2 的周 16 9
长为 ▲ . D1 A1 E B1 G D F B (第 5 题) C C1 5. 如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为棱 AA1,AB, CC1 的中点, 给出下列 3 对线段所在直线: 1E 与 BG; 1E 与 C1F; ①D ②D ③A1C 与 C1F.其中,是异面直线的对数共有 ▲ 对.

6.在 ?ABC 中, B(?3,0), C (3,0) ,且 AB、BC、AC 成等差数列,则

?ABC 面积的最大值为_____▲
2 2



A

7.自点 A(?1 4) 作圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线 l ,切线 l 的 , 方程为:_____▲ . 8.底面边长为 2 ,高为 1 的正三棱锥的全面积为:_____▲
2 2



9. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长的最小值为_____ ▲ .
2 2 2 2

10.若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A 、 B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是_____▲ . 11.已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? ; ③若 m ? ? , ? ? ? , m // n ,则 n // ? ; 其中正确的结论有 ▲ ②若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? ; ④若 m ? ? , n ? ? , ? // ? ,则 m // n 。

(请将所有正确结论的序号都填上).

2 12.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 x ? 1 ? 1 ? y 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_____





1

13.如右图:设椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左,右两个 a2 b2

焦点分别为 F1 , F2 ,短轴的上端点为 B ,短轴上的两 个三等分点为 P, Q , F1 PF2 Q 为正方形, 且 若过点 B 作 此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为

?

3 2 ,则此椭圆方程的方程为 4





14.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, A、B 是其左右顶点,动点 M 满足 MB ? AB ,连接 AM 交椭圆 4 2


于 P,在 x 轴上有异于点 A、B 的定点 Q,以 MP 为直径的圆经过直线 BP、MQ 的交点,则 点 Q 的坐标为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤.

15. (本题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 ? k k ?1
6 ,求 k 的值. 7

(1)求 k 的取值范围; 16.(本题满分 14 分)

(2)若椭圆 C 的离心率 e ?

三棱锥 S ? ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 , AC ? 2, BC ? 13 , SB ?
?

29,

(1)证明: SC ? BC ; (2)求三棱锥的体积 VS ? ABC

S

A C (第 16 题图) 17.(本题满分 15 分) 圆 C 的半径为 13 ,且与直线 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 切于点 P (2, 2) . (1)求圆 C 的方程;

B

(2)若原点不在圆 C 的内部,且圆 x ? y ? m 与圆 C 相交,求实数 m 的取值范围.
2 2

2

18.(本题满分 15 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 DD1 的中点.求证: (1) BD1 ∥平面 EAC; (2)平面 EAC⊥平面 AB1C .

D1 A1 E D A B B1

C1

C

19.(本题满分 16 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)和圆C2:x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 都过点 P(-1,0), a 2 b2
2 , 过点 P 作斜率为 k1 , k 2 的直线分 2
y B A D C P O x

且椭圆 C1 离心率为

别交椭圆 C1、圆 C2 于点 A、B、C、D(如图),k1 ? 2k2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 和圆 C2 的方程; (Ⅱ)求证:直线 BC 恒过定点.

20.(本题满分 16 分) x2 y 2 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 F1 (?c , 0)、 a b

F2 (c, 0) ,M 是椭圆 C 上一点,且满足 ?F1MF2 ?
(1)求椭圆的离心率 e 的取值范围;

?
3



(2)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0, 3 3 )到椭圆上的点最远距离为 4 3 ,求此时 椭圆 C 的方程; (3)设 O 为坐标原点,P 是椭圆 C 上的一个动点,试求 t ?
PF1 ? PF2 OP

的取值范围.

3

江苏省泰州中学 2012-2013 学年度第一学期 高二数学期中考试答案
命题人:宋
填写在相应位置上. 1.(4,-3,-7) 6. 9 3 2. 8 3. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 29
2 2



顾建军

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接

4.16 9. 7

5. 2 10.4

7. y ? 4或3x ? 4 y ? 13 ? 0 12. [?1, ) ?

8. 3 3

11.①④

3 4

13.

x2 y2 ? ? 1 14.(0,0) 10 9

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)1<k<5 或 5<k<9; ……………………………………6 分 (2)当焦点在 x 轴上时,k=2 ……………………………………10 分 当焦点在 y 轴上时,k=8 ……………………………………14 分 16.(1)证明:? ?SAB ? ?SAC ? 90 ,
?

∴ SA ? AB, SA ? AC, 又AB ? AC ? A

? SA ? 平面ABC
?

所以 SA ? BC

又 ?ACB ? 90 , 所以 AC ? BC ∴ BC ? 平面SAC ∴ SC ? BC ……………………………………8 分

? (2)在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? 2, BC ? 13 , 所以 AB ? 17 ,

又 在 ?SAB 中, SA ? AB, AB ? 17 , SB ? 又 SA ? 平面ABC, 所以 VS? ABC ?

29 所以 SA ? 2 3

1 1 2 39 ? ( ? 2 ? 13 ) ? 2 3 ? ………14 分 3 2 3
4

17.(1) C1 : x ? ( y ? 1) ? 13 或 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 13
2 2

2

2

………………………7 分

(2)因为原点不在圆 C 的内部,所以 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 13 ………………………10 分
2 2

圆 x ? y ? m 与圆 C 相交
2 2

? 54 ? 2 533 ? ( 41 ? 13) 2 ? m ? ( 41 ? 13) 2 ? 54 ? 2 533
…………………15 分 18.(1)略………………………6 分 (2)略………………………14 分 【解析】(Ⅰ) C2 : x 2 ? y 2 ? 1

……….2 分 ………6 分

C1 : x 2 ? 2 y 2 ? 1;
(Ⅱ) ?

? x2 ? 2 y 2 ? 1 ? y ? k1 ( x ? 1)

? (1 ? 2k12 ) x 2 ? 4k1 x ? 2k12 ? 1 ? 0, A(?1 ?

2k1 2 , ) 2 1 ? 2k1 1 ? 2k12

? x2 ? y 2 ? 1 2k1 2 ? (1 ? k12 ) x 2 ? 2k1 x ? k12 ? 1 ? 0, B(?1 ? , ) ? 2 1 ? k1 1 ? k12 ? y ? k1 ( x ? 1)
同理可得: C (?1 ?

2k 2 2k 2 2 2 , ), D(?1 ? , ), 2 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? k2 1 ? k2

k BC ? ?

1 1 ( x ? 1) ,恒过定点(1,0)………16 分 ,直线 BC 的方程为 y ? ? 2k 2 2k 2
2 2 2

20.(1)在 ?MF1 F2 中, MF1 ? MF2 ? 2MF1 ? MF2 cos ?F1 MF2 ? 4c 即: ?MF1 ? MF2 ? ? 3MF1 ? MF2 ? 4c
2 2

即:

4a 2 ? 3MF ? MF2 ? 4c 2 , 则 3MF1 ? MF2 ? 4a 2 ? 4c 2 1
2

? MF1 ? MF2 ? 2 MF1 ? MF2 ? ? ? ? a ,当且仅当 MF1 ? MF2 ? a 时,取等号 2 ? ?
∴ 4a ? 4c ? 3a
2 2 2

,即 a ? 4c
2

2

∴e ?
2

1 4

即 e ? ? ,1?

?1 ? ?2 ?

5分

(2)由(1)知 e 的最小值为

1 ,即 a ? 2c, b ? 3c 2

5

则椭圆方程为:

x2 y2 ? 2 ?1 4c 2 3c

则 y ? ? 3c, 3c

?

?

令 N 0,3 3 到椭圆上点的距离平方为 u ,则

?

?

u ? x2 ? y ? 3 3
=?

?

?

2

? 4c 2 ?

2 1 y ? 9 3 ? 4c 2 ? 108 3

?

?

4 2 y ? y 2 ? 6 3 y ? 27 3

若 ? 3c ? ?9 3 时,即 c ? 9 时, u max ? u ? 9 3 ? 4c ? 108 ? 48 ,则 c 无解;
2

?

?

若 ? 3c ? ?9 3 时,即 0 ? c ? 9 时, u max ? u ? 3c ? 3c ? 18c ? 27 ? 48 ,
2

?

?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍); ∴所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
10 分

(3)令 OP ? m ,则 m ? ?b, a? 又 PF1 ? PF2 ? 2a 由余弦定理可得: PF1 ? PF2 ? 2m ? 2c
2 2 2 2

则 ( PF1 ? PF2 ) ? 4 m ? c ? a
2 2 2

?

2

?

∴t ?

2 m2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? 2 1? m m2

a2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? c2 ? ? ∵ m ? ?b, a? , ∴ a2 m2 b2
即 0 ? 1?

a2 ? c2 c2 ? 2, m2 a

∴ t 的取值范围是 0 ? t ?

2c . a

16 分

6


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