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高考数学一轮复习必备(第62课时):第八章 圆锥曲线方程-双曲线


高考数学一轮复习必备(第 62 课时) :第八章 圆 锥曲线方程-双曲线
一、选择题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1. 分)平面内有两个定点 F1,F2 和一动点 M,设命题甲,||MF1|﹣|MF2||是定值,命题乙:点 M 的轨迹是双曲 (5 线,则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分

也不必要条件 2. 分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1,e2 应满足的关系是( (5 A.e12+e22=1 B. e12﹣e22=1 C. D. =1 =1 )

3. 分)直线 y=ax 与曲线(x﹣1) (5 (y﹣1)=2(x<0)有公共点,a 的取值范围是( ) A. B. C. D.以上都不对 4. 分)双曲线的渐进线方程为 (5 A. ,且焦距为 10,则双曲线方程为( B. 或 C. D. )

5. 分)双曲线 (5 A.(﹣∞,0)

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是( B.(﹣3,0) C.(﹣12,0)

) D.(﹣60,﹣12)

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 6. 分) (4 双曲线 上一点 P 的两条焦半径夹角为 60°, 1,F2 为焦点,则△ 1F2 的面积为 _________ . F PF

7. 分)与圆(x+3) +y =1 及圆(x﹣3) +y =9 都外切的圆的圆心轨迹方程为 _________ . (4

2

2

2

2

8. 分) (0, 作直线 l, (4 过点 3) 如果它与双曲线

有且只有一个公共点, 则直线 l 的条数是 _________ .

9. 分)6 件产品中,有 2 件次品,任取两件都是次品的概率是 _________ (4



10. 分)过双曲线的一个焦点 F1 且垂直于实轴的弦 PQ,若 F2 为另一个焦点,且有∠ 2Q=90°,则此双曲线的离 (4 PF 心率为 _________ .
2 2

11. 分)已知 (4 P 的坐标是 _________ ,

,P 是曲线 x ﹣y =1(x>0)上一点,当 最小值是 _________ .

取最小值时,

12. 分) (4 如果 F1, 2 分别是双曲线 F 的周长是 _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 13.已知双曲线

的左、 右焦点, 是双曲线左支上过点 F1 的弦, AB 且|AB|=6, ABF2 则△

的左右焦点分别为 F1,F2,左准线为 l,能否在双曲线的左支上求一点 P,使|PF1|是 P

到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项?若能,求出 P 的坐标,若不能,说明理由.

14.过双曲线 与双曲线的左、右支的交点分别为 A,B. (1)求证:P 在双曲线的右准线上; (2)求双曲线离心率的取值范围.

的右焦点 F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P,l

15.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x+2y=0,x﹣2y=0; (2)点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离最小值为 . 16.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 ,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实 轴比椭圆的长半轴长小 4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程.

17. 设双曲线

两焦点 F(﹣c, , (c, , P 为双曲线右支上除顶点外的任一点, PF1F2=α, PF2F1=β, 0) F2 0) 点 ∠ ∠ 1

求证:



18.已知双曲线 C 的两个焦点为 F1,F2,实半轴长与虚半轴长的乘积为 为 α, 求双曲线方程.

,直线 l 过点 F2,且与线段 F1F2 的夹角 ,

,直线 l 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点为 P,线段 PF2 与双曲线的交点为 Q,且

高考数学一轮复习必备(第 62 课时) :第八章 圆 锥曲线方程-双曲线
参考答案与试题解析
一、选择题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1. 分)平面内有两个定点 F1,F2 和一动点 M,设命题甲,||MF1|﹣|MF2||是定值,命题乙:点 M 的轨迹是双曲 (5 线,则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 双曲线的定义;必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题: 分析法。 分析: 先根据||MF1|﹣|MF2||是定值可得到动点 M 的轨迹即是双曲线,即命题乙正确;再由点 M 的轨迹是双曲线可 得到动点 M 到两定点的距离的差的绝对值等于定值,即命题甲正确,从而可得到答案. 解答: 解:命题甲:||MF1|﹣|MF2||是定值可得到动点 M 的轨迹不一定是双曲线,可推不出命题乙,故不充分 命题乙:点 M 的轨迹是双曲线,则可得到 M 到两定点的距离的差的绝对值等于一常数,即可推出命题甲, 故必要 ∴ 命题甲是命题乙的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题主要考查双曲线的定义和充分、必要条件的判定.考查知识的综合运用能力.
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2. 分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1,e2 应满足的关系是( (5 A.e12+e22=1 B. e12﹣e22=1 C. D. =1 =1



考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 分别求出双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 和 e2,然后利用双曲线的性质探索 e1 和 e2 的关系. 解答: 解:∵ ,
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故选 D. 点评: 正确理解共轭双曲线的概念是解题的关键. 3. 分)直线 y=ax 与曲线(x﹣1) (5 (y﹣1)=2(x<0)有公共点,a 的取值范围是( ) A. B. C. D.以上都不对 考点: 函数与方程的综合运用。 专题: 计算题;数形结合。 分析: 直线 y=ax 中的 a 看成是直线的斜率,分别画出直线与曲线的图, 由图可知,解决问题的关键是求出直线与曲线相交时,a 的范围即可.
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将直线 y=ax 与曲线(x﹣1) (y﹣1)=2(x<0)的方程组成方程即可解得. 解答: 解:分别画出直线与曲线的图

由 得, (x﹣1) (ax﹣1)=2(x<0) ,令其判断式△ ≥0,得 . 故选 C. 点评: 利用函数的图象可以加强直观性,同时也便于问题的理解.本题先由已知条件中的解析式,画出图形, 再利用数形结合的方法判断有公共点,a 的取值范围.

4. 分)双曲线的渐进线方程为 (5 A.

,且焦距为 10,则双曲线方程为( B. 或



C.

D.

考点: 双曲线的标准方程;双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先设出双曲线的标准方程,进而根据渐近线方程和焦距联立方程求得 a 和 b,答案可得. 解答: 解:当焦点在 x 轴上时,渐近线方程为 ,
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所以此时有 联立解得 a=2

,2c=10,又因 a +b =c , ,b= . . ,
2 2

2

2

2

所以双曲线方程为

当焦点在 y 轴上时,渐近线方程为 所以此时有 联立解得 a= ,2c=10,又因 a +b =c , ,b=2 . .
2

所以双曲线方程为

故选 D. 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程.属基础题.

5. 分)双曲线 (5 A.(﹣∞,0)

的离心率 e∈(1,2) ,则 k 的取值范围是( B.(﹣3,0) C.(﹣12,0)

) D.(﹣60,﹣12)

考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先把双曲线方程化为标准形式,由离心率的范围求出 k 的取值范围. 解答:
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解:∵ 双曲线

的离心率 e∈(1,2) ,

∴ 双曲线标准方程为:
2



=1∴ k<0,

∴ 1<e <4,1<

<4,﹣12<k<0,

故答案选 C 点评: 本题考查双曲线的标准方程和离心率. 二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 6. 分)双曲线 (4 上一点 P 的两条焦半径夹角为 60°,F1,F2 为焦点,则△ 1F2 的面积为 16 PF .

考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 2 2 2 2 分析: 由双曲线的性质知|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|=100… (1) 由余弦定理可知|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|cos60°=164… , (2) ,由(1)(2)联立方程组,解得|PF1||PF2|=64,由此可以求出△ 1F2 的面积. 、 PF 2 2 解答: 解:∵ 1|﹣|PF2|=10,∴ 1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|=100…(1) |PF |PF
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∵ 双曲线

上一点 P 的两条焦半径夹角为 60°,
2 2

∴ 由余弦定理可知|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|cos60°=164…(2) , 由(1)(2)联立方程组,解得|PF1||PF2|=64, 、 ∴PF1F2 的面积= △ =16 .

答案:16 . 点评: 利用余弦定理解决圆锥曲线问题是求解高考题的常规方法.

7. 分)与圆(x+3) +y =1 及圆(x﹣3) +y =9 都外切的圆的圆心轨迹方程为 (4

2

2

2

2

(x<0) .

考点: 轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定。 专题: 计算题。 分析: 设所求圆的圆心坐标 P(x,y) ,半径为 r,两圆的圆心分别是 C1,C2,根据题意可知两圆心的坐标,根据
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所求圆与两个圆都外切进而可得 PC1|和|PC2|的表达式,整理可得|PC2|﹣|PC1|=2,根据双曲线定义可知 P 点 的轨迹为 C1,C2 为焦点的双曲线进而根据双曲线的性质可求得双曲线的方程. 解答: 解:设所求圆的圆心坐标 P(x,y) ,半径为 r,两圆的圆心分别是 C1,C2, ∵ 所求圆与两个圆都外切, ∴ 1|=r+1,|PC2|=r+3, |PC 即|PC2|﹣|PC1|=2, 根据双曲线定义可知 P 点的轨迹为以 C1,C2 为焦点的双曲线,2c=6,c=3;2a=2,a=1,b=2 ∴ 点的轨迹方程为 P (x<0)

故答案为:为

(x<0)

点评: 本题主要考查点的轨迹方程及双曲线的性质.常用方法是直接法,定义法,代入转移法等.

8. 分)过点(0,3)作直线 l,如果它与双曲线 (4

有且只有一个公共点,则直线 l 的条数是 4 .

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题。 专题: 计算题。 分析: 设直线 L 的方程,与双曲线方程联立,进而推断要使 L 与双曲线只有一个公共点,需上述方程只有一根或 2 两实根相等,进而根据△ 和 3﹣4k =0,求得 k,进而判断出直线 l 的条数. =0 解答: 解:设直线 L:y=kx+3, 代入双曲线方程化简得 2 2 (3﹣4k )x ﹣24kx﹣48=0,① 要使 L 与双曲线只有一个公共点, 需上述方程只有一根或两实根相等,
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∴ 3﹣4k =0,或△ =192(3k +3﹣4k )=0, 解得 k = 或 3, ∴ k=± 或±
2

2

2

2

满足题设的 L 有 4 条. 故答案为 4 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了数形结合在实际问题中的应用.

9. 分)6 件产品中,有 2 件次品,任取两件都是次品的概率是 (4



考点: 等可能事件的概率。 分析: 利用乘法原理列举出所有情况,再观察出任取两件都是次品的情况数,最后看所求的情况占总情况的多少 即可. 解答: 解:第一次可取 6 件产品,第二次可取 5 件产品, 那么共有 6×5=30 种可能, 两件都是次品的有 2 种,
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所以概率是



故填:



点评: 本题考查概率的求法,关键是找到所有存在的情况.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 10. 分)过双曲线的一个焦点 F1 且垂直于实轴的弦 PQ,若 F2 为另一个焦点,且有∠ 2Q=90°,则此双曲线的离 (4 PF 心率为 1+ . 考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 根据题设条件我们知道|PQ|=
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,因为∠ 2Q=90°,则 PF

,据此可以推导出双曲线的离心率. 解答:

解:由题意可知通径|PQ|= ∵PF2Q=90°, ∠ ∴ ∴ =4a c b 2 2 2 ∵ =a +b , c 4 2 2 4 ∴ ﹣6a c +a =0 c 4 2 ∴ ﹣6e +1=0 e ∴ 或
4 2 2







(舍去)

∴ . 答案: . 点评: 这道题数量间的关系比较繁琐,推导过程中要多一点耐心.
2 2

11. 分)已知 (4 P 的坐标是 ,

,P 是曲线 x ﹣y =1(x>0)上一点,当 最小值是 2﹣ .

取最小值时,

考点: 双曲线的简单性质。 分析: 由题设条件易得 a=1,c=
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,根据双曲线的第二定义可知,

,∴ 取最小值时,P 的坐标和

, 最小

∴ 值. 解答: 解:∵ a=1,c=

=|PA|+|PB|.由此可以求出当

,∴

,准线方程为 ,

,过点 P 作 PB⊥ 双曲线的准线,交双曲线准线与点 B.

由双曲线的第二定义可知, ∴ ,∴

=|PA|+|PB|. =|PA|+|PB|取最小值,

由题意可知,连接 AB,当 AB⊥ 双曲线的准线时,

此时点 P 的纵坐标为 1,把 y=1 代入曲线 x ﹣y =1(x>0)得 ∴ 当 由题设条件可知, 答案: ; . 取最小值时,P 的坐标是 ( ) . .

2

2



=|PA|+|PB|的最小值是 2﹣

点评: 本题考查双曲线的第二定义,解题时要注意进行等价转化.

12. 分) (4 如果 F1, 2 分别是双曲线 F 的周长是 28 .

的左、 右焦点, 是双曲线左支上过点 F1 的弦, AB 且|AB|=6, ABF2 则△

考点: 双曲线的定义;双曲线的应用。 专题: 计算题。 分析: 本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题,可用定义处理,由定义知|AF2|﹣|AF1|=8① ,|BF2|﹣ |BF1|=8② ,两式相加再结合已知|AB|=6 即可求解. 解答: 解:由题意知:a=4,b=3,故 c=5.
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由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|=8① ,|BF2|﹣|BF1|=8② , ① 得:|AF2|+|BF2|﹣|AB|=16,所以|AF2|+|BF2|=22, +② 所以△ ABF2 的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28 故答案为:28 点评: 本题考查双曲线的定义的应用,涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题,一般用定义处理. 三、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 13.已知双曲线 的左右焦点分别为 F1,F2,左准线为 l,能否在双曲线的左支上求一点 P,使|PF1|是 P

到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项?若能,求出 P 的坐标,若不能,说明理由. 考点: 双曲线的应用;等比数列的性质。 专题: 计算题。 分析: 先求出焦点的坐标,利用题中条件、双曲线的第一定义、第二定义,求出|PF1|=
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,进而分析出双曲线左支

上任意一点到 F1 的距离最小为﹣5﹣(﹣13)=8> 解答:

,故点 P 不存在. ,

解:由题意得:a=5,b=12,c=13,F1(﹣13,0) 2(13,0) ,F ,左准线为 l:x=﹣ 设点 P(x,y) ,|PF1| =d?|PF2|,又 又|PF2|﹣|PF1|=10,∴ 1|= |PF ,|PF2|= , ,
2

=e= =

,∴ 1|= |PF

?|PF2|,

∵ 双曲线左支上任意一点到 F1(﹣13,0)的距离最小为﹣5﹣(﹣13)=8> 故双曲线左支上不存在点 P,使|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项. 点评: 本题是个开放型的题目,考查双曲线的第一、第二定义,及双曲线的性质.

14.过双曲线 与双曲线的左、右支的交点分别为 A,B. (1)求证:P 在双曲线的右准线上; (2)求双曲线离心率的取值范围.

的右焦点 F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P,l

考点: 双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)先设出双曲线半焦距,求得渐近线方程,则可求得过 F 的垂线方程,联立方程求得焦点 p 的横坐标, 推断出在右准线上 (2)根据直线 l 与双曲线左右支均有交点,判断出该双曲线与其在第一、三象限的渐近线 l1 必交于第三象
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限.即 l1 的斜率必大于 l 的斜率,进而推断出

> 整理后即可求得 a 和 c 的不等式关系,求得离心率的

范围. 解答: 解: (1)设双曲线半焦距为 c,c>0,有 F(c,0) 该渐近线方程为 y=﹣ x,则过 F 的垂线为 y= (x﹣c) 联立方程组可解得 x= ,即在右准线 x= 上.

(2)因为直线 l 与双曲线左右支均有交点,则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线 l1 必交于第三象限. 所以 l1 的斜率必大于 l 的斜率,即 所以 c >2a
2 2

> ,即 b >a ,又 b =c ﹣a ,

2

2

2

2

2

则离心率 e= > 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及了双曲线方程中 a,b 和 c 的关系,渐近线问题,离心率问题等. 15.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x+2y=0,x﹣2y=0; (2)点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离最小值为 . 考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题;综合题;数形结合;转化思想。 分析: 根据双曲线和其渐近线之间的关系,设出双曲线的方程,根据点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离最小 值为 ,转化为双曲线与半径为 的圆 A 相切,联立消去 y 得,利用△ 即可求得双曲线的方程. =0 2 2 解答: 解:由渐近线方程为 x±2y=0,设双曲线方程为 x ﹣4y =m,∵ A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离的最小 点 值为 , 说明双曲线与半径为 的圆 A 相切, 2 2 2 2 2 2 2 ∵ A 方程为(x﹣5) +y =6,与 x ﹣4y =m 联立消去 y 得:4(x﹣5) +x =24+m 化简得到:5x ﹣40x+76 圆 2 ﹣m=0,△ =40 ﹣4×5×(76﹣m)=0, 2 2 解得 m=﹣4 所以满足条件的双曲线方程为 x ﹣4y =﹣4,
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即y ﹣

2

=1.

或者双曲线的顶点在(5+

,0)渐近线为 x±2y=0,双曲线方程为:



所以所求双曲线方程为:y ﹣

2

=1,



点评: 考查双曲线的简单的几何性质,特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系,已知双曲线的方程求其渐 近线方程时,令 即可,反之,如此题设双曲线方程为 x ﹣4y =m,避免了讨论,条件(2)的设
2 2

置增加了题目的难度,体现了转化的思想,属中档题. 16.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 ,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实 轴比椭圆的长半轴长小 4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程. 考点: 椭圆的标准方程;抛物线的标准方程;圆锥曲线的共同特征。 分析: 首先根据焦点分别在 x 轴、y 轴上进行分类,不妨先设焦点在 x 轴上的椭圆、双曲线的标准方程,然后根据 题意与椭圆、双曲线的性质列方程组,再解方程组求得焦点在 x 轴上的椭圆、双曲线的标准方程,最后把 焦点在 y 轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可. 解答: 解:若椭圆、双曲线的焦点在 x 轴上,则设椭圆、双曲线的标准方程分别为 、 ,
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由题意得

解得 a1=7,a2=3,b1=6,b2=2, 所以焦点在 x 轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为 和 ;

同理焦点在 y 轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为 点评: 本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程.





17. 设双曲线

两焦点 F(﹣c, , (c, , P 为双曲线右支上除顶点外的任一点, PF1F2=α, PF2F1=β, 0) F2 0) 点 ∠ ∠ 1

求证:



考点: 双曲线的应用;三角函数恒等式的证明。 专题: 证明题。 分析: 在△ 1F2 中, PF

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,所以

,由此能够

推导出 解答: 解:在△ 1F2 中, PF









∴ ∴ ∴ (a+c) ∴ = .

, = ,

点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 18.已知双曲线 C 的两个焦点为 F1,F2,实半轴长与虚半轴长的乘积为 为 α, 求双曲线方程. 考点: 双曲线的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 设出双曲线的标准方程, Q 的坐标, Q 做 x 轴垂线, 和 过 垂足为 A, |根据, |PQ|: 2|=|OA|: |QF |AF|和|OA|+|AF|=c,
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,直线 l 过点 F2,且与线段 F1F2 的夹角 ,

,直线 l 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点为 P,线段 PF2 与双曲线的交点为 Q,且

推断出:|OA|= c=x,|AF2|= ,进而根据 tanα 求得 y 的表达式,则 Q 点坐标可知,代入椭圆方程同时利用
2 2 2

c =a +b 转化成关于 解答: 解:双曲线方程为

的方程,求得

的值,进而根据 ab=

联立求得 a 和 b,则双曲线的方程可得.

=1,Q(x,y) 2(c,0) ,F ,

过 Q 做 x 轴垂线,垂足为 A,|PQ|:|QF2|=2:1=|OA|:|AF|,|OA|+|AF|=c, 所以:|OA|= c=x,|AF2|= , tanα= ∴ y= = ,即:Q( C, )

代入方程,
2 2 2



=1,

∵ =a +b 代入,化简: c ﹣ ﹣41=0,


2

=k,

16k ﹣41k﹣21=0, (k﹣3) (16k+7)=0, k=3 或﹣ (负舍)

即:

=3,又 ab= ,
2

,解方程组,得

a=1,b=

故双曲线方程为:x ﹣

=1.

点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是尽可能多的从条件中挖掘有效信息,综合运用所学知识.


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第62课时:第八章 圆锥曲线方程——双曲线

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