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澄海中学2010届高三上学期摸底测试(数学文)


汕 头 市 澄 海 中 学 2010 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试
数学(文科)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第一部分(选择题)前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上. 2. 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改

动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回,试卷由考生自己保管. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一.选择题: (本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项 是符合题目要求的.) 2 1.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集合为 A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 2. 设 i 为虚数单位,则 ? A.2
1004

?1? i ? ? ? i ?
1004

2008

?(

) C.2
2008

B.-2

D.-2

2008

3. 已知向量 a = (-3 ,3 ) , b =(x, -4) , 若 a ? b ,则 x= A.4 B.-4 C.6 D.-6
x x

r

r

r

r

4. 若 lg a ? lg b ? 0 (其中 a≠1,b≠1),则函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? b 的图象 A.关于直线 y=x 对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称

2 5.各项均不为零的等差数列 {an } 中,若 an ? an?1 ? an?1 ? 0(n ? N? , n ? 2) ,则 S2009 等于

A.0

B.2

C.2009

D.4018

6. 已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n // ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题是 A..①③ A.-9 ②若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? ④若 m ? ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ?

uuu uuu r r uuu r uur u uuu r 7. 在 ?ABC 中, | BC |? 3 , | AB |? 4 , | AC |? 5 ,则 AC ? BC ?
B.0
2

B. ②④

C. ③④

D. ①

C.9

D.15

8. 右图是函数f(x)=x +ax+b的部分图象,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的
1

零点所在的区间是 A. ( , )

1 1 4 2

B. (1, 2)
2

C. ( ,1)

1 2

D. (2,3)

9. 为了得到函数 y= sin x ? 3 sin x cos x 的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象

1 ? 个单位长度,再向下平移 个单位长度 2 6 1 ? B.向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度 2 6 1 ? C.向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度 2 12 1 ? D.向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度 2 12
A.向左平移 10. 为了解某中学生遵守《中华人民共和国 交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下 的随机调查,向被调查者提出两个问 题:⑴你的学号是奇数吗?⑵在过路口时你是否闯过红 灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回 答第二个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题, 只需回答 “是” “不是” 或 , 因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地做了回答。结果被调查的 800 人(学 号从 1 至 800)中有 240 人回答了“是”.由此可以估计这 800 人中闯过红灯的人数是 A.40 人 B. 80 人 C.160 人 D.200 人 二.填空题: (本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算前一题得分.每小题5分,满分20分. ) 开 (一)必做题(11~13题) 始 ?2 x ? y ? 3 ? 0 k ? 11.满足不等式组 ?7 x ? y ? 8 ? 0 ,则目标函数 k ? 3x ? y 的 = ? x, y ? 0 S 1 ?0 ? 最大值为 12. 如果执行右侧的程序框图,那么输出的 S ?
2 2

k ≤ 20?

否 输 出

.

? 是
S ? S ? 2k

13. 从圆(x-1) +(y-1) =1 外一点 P(2,3) 向这个圆引切线,则切线长 为 . 选做题:14,15只选一题 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ? 圆 ? ? 4cos? ? 4 3 sin ? 交于 A 、 B 两点,则 AB ? 15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线

k ? k ?1

S

结束

π ( ? ?R )与 3

B

C

O

AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,
则圆心 O 到 AC 的距离为 . 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分)
A D

2

已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值;
2

?

3 ? 2

? ?

(2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

17. (本小题满分 13 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADE 沿 AC 折起,使平面 ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积. D C C

A 图1

B

A 图2

B

18.(本小题满分 13 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; 2 2 (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x +y =15 的内 部的概率.

19.(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

网焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? ,求 3x1 ? 4 y1 的取值范 1 围.

20.(本小题满分 14 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且
3

a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列.
(1)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ex ? k ) (k为常数) 是实数集 R 上的奇函数 (1)求 k 的值 (2) 若函数 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 [?1,1] 上的减函数, g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 在 x ?[?1,1] 上 且 恒成立,求 t 的取值范围 (3)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

4

参考答案
一. 选择题:

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

∴函数 f ( x )的值域为??

? ?

2 1? , ? 2 2?
2

????12 分
2 2

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADE ? 面 ABC , 面 ADE ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ??6 分 ∴ OD ? BC ,又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ??8 分 另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADE ? 面 ABC ,面 ADE ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD
2 2 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 2 2 , S? ACD ? 2 所以 VB ? ACD ?

??11 分 ??12 分

1 1 4 2 Sh ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3

5

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ????1 分 ∵e ? ∴c ?

c 2 ? ,??????2 分 a 2

2 , b ? a 2 ? c 2 ? 2 .????3 分
x2 y2 ? ? 1 . ????5 分 4 2

∴所求椭圆 C 的方程为

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? , 1

6

, 由题意得 q ? 1 ? q ? 2 . ∴a1 ? 1 .???? 7 分
故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . ? ???????8 分 (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 由(1)得 a3n?1 ? 23n ?????????12 分

∴bn ? ln 23n ? 3n ln 2 = (3ln 2)n
又 bn?1 ? bn ? 3ln 2 ? d

∴ bn } 是首项为 3 ln 2 公差为 3 ln 2 的等差数列 { ∴Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
?

??13 分

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n(n ? 1) ? ? ln 2. ????14 分 2 2 2

7

令 f1 ( x) ?

ln x ( x ? 0) , f2 ( x) ? x2 ? 2ex ? m( x ? 0) ,????8 分 x 1 ? ln x 1 ? ln x Q f1? ( x ) ? ? 0 ,得 x ? e ,令 f1? ( x) ? 0 ,即 2 x x2

当 x ? (0, e) 时, f1? ( x) ? 0 ,? f1 ( x) 在 (0, e) 上为增函数; 当 x ? (e, ??) 时, f1? ( x) ? 0 ,? f1 ( x) 在 (e, ??) 上为减函数;????9 分 当 x ? e 时, [ f1 ( x)]max ? f1 (e) ?
2 2

1 ????10 分 e

而 f2 ( x) ? ( x ? e) ? m ? e ( x ? 0)

? f2 ( x) 在 (0, e) 上为减函数,在 (e, ??) 上为增函数;????11 分
当 x ? e 时, [ f2 ( x)]min ? f2 (e) ? m ? e ????12 分
2

8

1 1 ? 当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? ,即 m ? e ? 时,方程有一个根; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? ,即 m ? e ? 时,方程有两个根;????14 分 e e

9


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