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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十三) 8.5椭圆


课时提升作业(五十三)
椭 圆 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·宜春模拟)设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈ k 的取值范围是 ( A.(0,3) C.(0,3)∪ 【解析】选 C.当 4>k 时,e= = 即 < <1? 1<4-k<4,即 0<k<3; ∈ , ) B. D.(0,2) ∈ , ,则实数 60 分)

当 4<k 时,e= = 即 <

<1? <1- <1? > >0? k> . )是椭圆上一点,且 )

2.一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为 ( A. + =1 C. + =1 B. + =1 D. + =1

【解析】选 A.设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).由点 P(2, 圆 上 知 +

)在椭

=1. 又 |PF1|,|F1F2|,|PF2| 成 等 差 数 列 , 则

|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2〓2c, = ,又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6. 【加固训练】已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切, 和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( )

-1-

A. - =1 C. - =1

B. + =1 D. + =1

【解析】选 D.设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, 所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方 程为 + =1. 3.设 F1,F2 是椭圆 E: + =1(a>b>0)的左、 右焦点,P 为直线 x= 上一点, △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 C.设直线 x= a 与 x 轴交于点 Q,由题意得∠PF2Q=60°, |F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|= a-c,所以 a-c= 〓2c,e= = ,故选 C. 4.(2015·南昌模拟)椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上的一点,l:x=- ,且 PQ⊥l,垂足为 Q,若四边形 PQF1F2 为平行四 边形,则椭圆的离心率的取值范围是 ( A. C. B. D. )

【解析】 选 A.设点 P(x1,y1),由于 PQ⊥l,故|PQ|=x1+ ,因为四边形 PQF1F2 为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即 x1+ =2c,则有 x1=2c- >-a,所以 2c2+ac-a2>0,即 2e2+e-1>0,解得 e<-1 或 e> ,由于 0<e<1,所以 <e<1,即 椭圆离心率的取值范围是 .故选 A.

【加固训练】 (2015· 金华模拟)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右焦点 分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰有 8 个不同的点 P,使得△F1F2P 为直角三角 形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( )

-2-

A. C.

B. D.

【解析】选 C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1 与 直线 PF2 垂直, 所以|OP|=c>b,即 c2>a2-c2, 所以 a< c,因为 e= ,0<e<1,

所以 <e<1. 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任 意一点,则 A.2 · 的最大值为 ( B.3 ) C.6 D.8

【解析】选 C.设椭圆上任意一点 P(x0,y0),则有 + =1, 即 则 =3· ,O(0,0),F(-1,0), =x0(x0+1)+ = +x0+3= (x0+2)2+2. · 取得最大值为 6,故选 C.

因为|x0|≤2,所以当 x0=2 时,

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.分别过椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点 F1,F2 所作的两条互相垂直 的直线 l1,l2 的交点在此椭圆的内部 , 则此椭圆的离心率的取值范围 是 .

【解题提示】关键是由 l1,l2 的交点在此椭圆的内部,得到 a,b,c 间的关 系,进而求得离心率 e 的取值范围. 【解析】由已知得交点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2 上. 又点 P 在椭圆内部,所以有 c2<b2,

-3-

又 b2=a2-c2,所以有 c2<a2-c2, 即 2c2<a2,亦即: < ,所以 0< < . 答案: 7.(2015·芜湖模拟)已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0) 满足 0< + <1, 则|PF1|+|PF2|的取值范围为 . ,直线 +y0y=1

与椭圆 C 的公共点个数为

【解析】①依题意得,点 P 位于椭圆 C 的内部(异于原点 O), 因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a. 又因为 a2=2,b2=1, 所以 c2=a2-b2=1,即 c=1, 所以 2≤|PF1|+|PF2|<2 , ).

所以|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2

②方法一:依题意,可取特殊点 P(-1,0),相应的直线为 x=-2,显然该直 线与椭圆没有公共点, 即直线 +y0y=1 与椭圆的公共点的个数为 0.

方法二:由 ? Δ= = - +2= 因为 + 所以 +2 <1, <2,即 +2 -2<0,所以Δ<0, x 2-4 . + -1=0(y0≠0),

-4-

所以直线 答案:[2,2

+y0y=1 与椭圆 +y2=1 无公共点. ) 0

8.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 为 .

【解题提示】 利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF 的形状,然后利用 椭圆定义及直角三角形性质确定离心率. 【解析】如图,设|AF|=x, 则 cos∠ABF= = .

解得 x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可 知 |AF1|=8, 且∠ FAF1= ∠ FAB+ ∠ FBA=90 ° , △ FAF1 是直角三角形 , 所以 |F1F|=10,故 2a=8+6=14,2c=10,所以 = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2014·江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、 右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交 椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

-5-

(1)若点 C 的坐标为

,且|BF2|=

,求椭圆的方程.

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 【解析】(1)由题意 F2(c,0),B(0,b), |BF2|= 又C 所以 + , =1,解得 b=1, =a= ,

所以椭圆方程为 +y2=1. (2)直线 BF2 方程为 + =1,与椭圆方程 + =1 联立方程组, 解得 A 点坐标为 则 C 点的坐标为 又 F1(-c,0), = = , , ,

又 kAB=- ,由 F1C⊥AB, 得 · =-1,

即 b4=3a2c2+c4, 所以 =3a2c2+c4,

化简得 e= = .

-6-

10.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点 的距离为 .

(1)求椭圆 C 的方程. (2)设不与坐标轴平行的直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,坐标原 点 O 到直线 l 的距离为 ,求△AOB 面积的最大值. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意 所以 b=1,所以所求椭圆方程为 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 因为坐标原点 O 到直线 l 的距离为 , 所以 = ,

得 m2= (k2+1). 把 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以 x1+x2= ,x1x2= .

所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2 =(1+k2) = = =3+ =3+ ≤3+ =4(k≠0).

-7-

当且仅当 9k2= ,即 k=〒 时等号成立. 所以|AB|max=2. 所以△AOB 面积的最大值 S= 〓|AB|max〓 = . (20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2015· 赣州模拟)椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点, 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 A.联立椭圆方程与直线方程, 得 ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0, A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2= ,y1+y2=1-x1+1-x2=2= , = = .

AB 中点坐标: 故选 A.

,AB 中点与原点连线的斜率 k=

【加固训练】已知椭圆 + =1,若此椭圆上存在不同的两点 A,B 关于直 线 y=4x+m 对称,则实数 m 的取值范围是 A. C. B. D. ( )

【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2), AB 的中点 M(x,y),kAB= x1+x2=2x,y1+y2=2y,3 +4 3 +4 =12 ②, )=0,
-8-

=- , =12 ①,

①②两式相减得 3( - )+4(

即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m,而 M(x,y)在 椭圆的内部, 则 + <1,即<m< .

【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧 对于直线与椭圆相交问题 ,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的 斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解, 这种解法大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运 算. 2.(5 分)(2015·抚州模拟)若函数 f(x)的图像能够把椭圆的周长和面 积同时分为相等的两部分,则函数 f(x)称为椭圆的“可分函数”,下列 函数不是椭圆 +y2=1 的可分函数的是 ( A.f(x)=x3 C.f(x)=ln )

B.f(x)=sinx D.f(x)=ex+e-x-2

【解析】选 D.A 中,因为 f(x)=x3 是奇函数, 所以 f(x)=x3 的图像关于原点对称,故 f(x)=x3 是椭圆的“可分函数”; B 中 , 因 为 f(x)=sinx 是奇函 数 , 所以其 图像关于原点对 称 . 所以 f(x)=sinx 是椭圆的“可分函数”; C 中,因为 f(x)+f(-x)=ln +ln =ln1=0,

所以 f(x)是奇函数,同理可知 f(x)是椭圆的“可分函数”; D 中,因为 f(x)=ex+e-x-2 不是奇函数, 所以 f(x)=ex+e-x-2 的图像关于原点不对称, 所以 f(x)=ex+e-x-2 不是椭圆的“可分函数”.

-9-

【加固训练】1.已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,A 是椭圆 上一动点,圆 C 与 F1A 的延长线、F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M(t,0)为一个切点,则 ( A.t=2 C.t<2 B.t>2 D.t 与 2 的大小关系不确定 )

【解题提示】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求 解. 【解析】选 A.如图,P,Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的 切点,

则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|, 即|F1M|+|MF2|=2a.所以 t=a=2. 2.(2014·佳木斯模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长 为半径作圆 O,过椭圆的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B, 若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的离心率为 ( )

- 10 -

A.

B.

C.

D.

【解析】 选 B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以 2b2=a2, = , 故 e= = ,故选 B.

3.(5 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0),点 A,F 分别是椭圆 C 的左顶点和 左焦点,点 P 是☉O:x2+y2=b2 上的动点.若 为 . =b2, 是常数,则椭圆 C 的离心率

【解析】由题意知 F(-c,0),A(-a,0),c2=a2-b2,设 P(x1,y1),则 + 要使得 是常数 , 则有 (x1+a)2+ =λ

, λ是常数 , 即

b2+2ax1+a2= λ(b2+2cx1+c2),比较两边,b2+a2=λ(b2+c2),a=λc,故 cb2+ca2=a(b2+c2), 即 ca2-c3+ca2=a3,又 e= ,则 e3-2e+1=0,(e-1)(e2+e-1)=0,又 0<e<1,则 e= 答案: 【加固训练】直线 y=x 与椭圆 C: + =1(a>b>0)交于 A,B 两点,以 .

线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点 , 则椭圆 C 的离心率为 ( A. C. -1 ) B. D.4-2

- 11 -

【解析】选 C.设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2, 由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c, 由 y=x 得∠AOF2= ,∠AOF1= . c,|AF1|=c.

所以|AF2|=

由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a, 所以 c+ c=2a,所以 e= = -1. ,右焦点

4.(12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的焦距为 2,且过点

为 F2,设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为- ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两点.

(1)求椭圆 C 的方程. (2)求 · 的取值范围.

【解析】(1)因为焦距为 2,所以 a2-b2=1. 因为椭圆 C 过点 为 +y2=1. (2) 讨 论 当 直 线 AB 垂 直 于 x 轴 , 直 线 AB 方 程 为 x=- , 此 时 P(,0),Q( ,0),得 · =-1. (m ,所以 + =1,故 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),M ≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到 4mk=1;
- 12 -

得到 PQ 的直线方程为 y-m=-4m 即 y=-4mx-m. 联立

,

消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0. · = · . 的取值

设 P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到 根据 M 范围为

在椭圆的内部,得到 0<m2< ,进一步得到 .

5.(13 分)(能力挑战题)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过右 焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,N 为弦 AB 的中点. (1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 kON. (2)求证:对于椭圆 C 上的任意一点 M,都存在θ ∈[0,2π ),使等式 cosθ +sinθ 成立. =

【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c, 因为 = ,所以 = ,故有 a2=3b2.

则椭圆 C 的方程可化为:x2+3y2=3b2. ① 易知右焦点 F 的坐标为( 为:y=xb. ② bx+3b2=0. ③ b,0), 由 题 意 得 AB 所 在 的 直 线 方 程

由①②得 4x2-6

设 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 的中点 N(x0,y0),由③及根与系数的关系得 x0= = ,则 y0=x0与 b=- b.所以 kON= =- .

(2)显然

可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对 , 有且只有一对实数λ , μ , 使得等式 =λ

于这一平面内的向量

- 13 -



成立.

设 M(x,y),由(1)中各点的坐标有(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),所以 x=λ x1+ μx2,y=λy1+μy2. 又因为点 M 在椭圆 C 上,所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2,整理可得 λ2( +3 )+μ2( +3 )+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2. ④ . 以 b)(x2b)=4x1x2-3 b(x1+x2)+6b2=3b2-9b2+6b2

由③得:x1+x2= 所

,x1·x2=

x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1=0.

⑤ 又点 A,B 在椭圆 C 上,故有 +3 将⑤,⑥代入④可得:λ2+μ2=1. 所以,对于椭圆上的任意一点 M,总存在一对实数,使等式 成立,而λ2+μ2=1. 所以存在θ∈[0,2π),使得λ=cosθ,μ=sinθ.也就是对于椭圆 C 上 任意一点 M,总存在θ∈[0,2π),使等式 =cosθ +sinθ 成立. =λ +μ =3b2, +3 =3b2. ⑥

【加固训练】 (2015· 南宁模拟)设椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率 e= , 点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程. (2)椭圆 C 上一动点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取值范围.

- 14 -

【解析】(1)依题意知,2a=4,所以 a=2. 因为 e= = ,所以 c= ,b= = .

所以所求椭圆 C 的方程为 + =1. (2)因为点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x1,y1),所以 解得 x1= ,y1= .

所以 3x1-4y1=-5x0. 因为点 P(x0,y0)在椭圆 C: + =1 上, 所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10. 所以 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10].

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