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【步步高,文档题型强练】2015届第一轮大练习复习:中档题目强化练——直线与圆的位置关系(典型题+详解)


直线与圆的位置关系

1.圆周角定理 (1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于________________. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角______; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也______. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是______;90° 的圆周角所对的

弦是______. 2.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理 1:圆的内接四边形的对角______. 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的______. (2)判定 判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点______. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点______. 3.圆的切线的性质及判定定理 (1)性质 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的______. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过______. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过______. (2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的______. 4.弦切角的性质 定理:弦切角等于它所夹的弧所对的________. 5.与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的____相等. (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 ____相等. (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的__________. (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平 分两条切线的______.

1.(课本习题改编)如图,P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PB、 PD,PA=AB= 5,CD=3,则 PC 等于________. 2.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=30° ,则∠D=________.

2 题图

3 题图

3.如图所示,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD =2,BD=4,则 EA=______. 4.(课本习题改编)如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 到 OD,则 PD 的长为________.

4 题图

5 题图

5.(2012· 湖南)如图所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO =3,则⊙O 的半径等于______.

题型一 圆的内接四边形的性质与判定 例1 如图,锐角三角形 ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,

垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点.若∠C=50° ,则∠IEH= ________. 思维升华 证明多点共圆时,若它们在一条线段同侧,可证它们对此 线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;若两点在一条线段两侧,则证明它们 与已知线段两端点连成的凸四边形对角互补. 当证明四点共圆以后, 圆的各种性质都可以得 到应用.

如图所示, 已知 AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点,则∠OAM+∠APM=________. 题型二 圆的切线的判定与性质

例2

如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BE 平分∠ABC 交 AC 于

点 E,点 D 在 AB 上,DE⊥EB,且 AD=2 3,AE=6. (1)判断直线 AC 与△BDE 的外接圆的位置关系; (2)求 EC 的长. 思维升华 证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共 点),则连接圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线与圆 的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,设法证明这条垂 线段的长等于圆半径. (2013· 广东)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2, 则 BC=________. 题型三 与圆有关的比例线段 例3 (2012· 辽宁)如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于

C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明:

(1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.

思维升华

(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三

角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注 意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用. 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点, BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PA· PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长.

几何证明问题

典例:(10 分)(2012· 课标全国)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证 明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 思维启迪 (1)连接 AF,利用平行关系构造平行四边形可得结论; (2)先证△BCD 和△GBD 为等腰三角形,再证明两三角形顶角相等即可. 规范解答 证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连接 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形, 故 CD=AF.[5 分] 因为 CF∥AB,所以 BC=AF, 故 CD=BC.[6 分] (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG.[8 分] 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD.[10 分]

处理与圆有关的比例线段的常见思路: (1)利用圆的有关定理; (2)利用相似三角形; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等.

温馨提醒

(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论,要熟

悉各种图形的特征,利用好平行、垂直、相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形, 这些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可 利用平行线分线段成比例定理来证明. (3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,解题时应根据需要添加辅助线构造 所需要的角. (4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得到角相等,进而为三角形的相似创 造了条件.

方法与技巧 1.圆是轴对称图形,利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理.关 系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化;垂径定理又可与等腰三角 形的性质定理相沟通. 2.直线和圆的相切的位置关系,以及由它引伸出来的一系列知识,如切线长定理、弦切角 定理和圆有关的比例线段定理是本节的重点, 利用上述定理可很方便地证明角相等、 线段相 等以及线段的比例问题. 3.处理与圆有关的比例线段的常见思路: (1)利用相似三角形; (2)利用圆的有关定理; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等. 4.在涉及两圆的公共弦时,通常是作出两圆的公共弦,如果有过公共点的切线就可以使用 弦切角定理, 在两个圆内实现角的等量代换, 这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问 题的基本思考方向. 失误与防范 圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具, 应用时一方面要熟 记定理的等积式的结构特征,另一方面,在与定理相关的图形不完整时,要借助辅助线补齐 相应部分.在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧.在实际应用中,见到圆的两条相交 弦就要想到相交弦定理; 见到两条割线就要想到割线定理; 见到切线和割线就要想到切割线 定理.

A 组 专项基础训练 1.(2013· 湖南)如图,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1, 则圆心 O 到弦 CD 的距离为________.

1 题图

2 题图

2.(2013· 北京)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA= 3,PD∶DB=9∶16,则 PD=________,AB=________. 3.(2012· 广东)如图所示,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30° , 过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________.

3 题图

4 题图

4.(2012· 陕西)如图所示,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB=________. 5.(2012· 天津)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交 3 于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E, 与 AB 相交于点 F,AF=3, FB=1, EF= , 2 则线段 CD 的长为________.

5 题图

6 题图

6.如图,已知 PA、PB 是圆 O 的切线,A、B 分别为切点,C 为圆 O 上不与 A、B 重合的另 一点,若∠ACB=120° ,则∠APB=________. 7. 如图, AB 是圆 O 的直径, 直线 CE 和圆 O 相切于点 C, AD⊥CE 于点 D, 若 AD=1, ∠ABC =30° ,则圆 O 的面积是________.

7 题图

8 题图

8.如图所示,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上 一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________. 9.如图所示,已知在△ABC 中,∠ABC=90° ,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径 的圆与 AB 交于点 E, 与 AC 切于点 D, 连接 DB, DE, OC.若 AD=2, AE=1, 则 CD=________.

9 题图

10 题图

10.如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90° ,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E, 则线段 DE 的长为________. B 组 专项能力提升 1.如图,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,AD⊥BC,垂 足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为________. 2.如图所示,已知 AB 和 AC 分别是⊙O 的弦和切线,A 为切点,AD 为 ∠BAC 的平分线,且交⊙O 于 D,BD 的延长线与 AC 交于 C,AC=6,AD=5,则 CD 的长 为________.

2 题图

3 题图

3.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B, PB=1,则圆 O 的半径 R 等于________. 4.(2013· 重庆)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,∠A=60° ,AB=20,过 C 作△ABC 的外接 圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为______.

4 题图

5 题图

5.如图,AB,CD 是圆 O 内的两条平行弦,BF∥AC,BF 交 CD 于点 E,交圆 O 于点 F, 过 A 点的切线交 DC 的延长线于点 P,若 PC=ED=1,PA=2,则 AC 的长为________. 6.如图,AB 是圆 O 的直径,CD⊥AB 于 D,且 AD=2BD,E 为 AD 的中点,连接 CE 并延 长交圆 O 于 F.若 CD= 2,则 AB=________,EF=________.

6 题图

7 题图

7.(2013· 天津)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的 切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为________.

答案
基础知识自主学习 要点梳理 1.(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 共圆 直径

2.(1)互补 对角 (2)共圆

3.(1)半径 切点 圆心 (2)切线 4.圆周角 5.(1)积 (2)积 (3)比例中项 (4)夹角 夯基释疑 1.2 2.120° 3. 5. 6 解析 设⊙O 的半径为 r(r>0), ∵PA=1,AB=2,∴PB=PA+AB=3. 延长 PO 交⊙O 于点 C,则 PC=PO+r=3+r. 设 PO 交⊙O 于点 D,则 PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA· PB=PD· PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),∴9-r2=3, ∴r= 6. 题型分类深度剖析 例1 25° 5 2 4. 7

解析 由圆 I 与边 AC 相切于点 E,得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°. 所以,四点 A,I,H,E 共圆.则∠IEH=∠HAI. 又∠HIA=∠ABI+∠BAI 1 1 1 = ∠ABC+ ∠BAC= (∠ABC+∠BAC) 2 2 2 1 1 = (180° -∠C)=90° - ∠C . 2 2 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA= ∠C, 2 1 所以∠IEH= ∠C.由∠C=50° 得∠IEH=25° . 2 跟踪训练 1 90°

解析 连接 OP,OM,因为 AP 与⊙O 相切于点 P, 所以 OP⊥AP, 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC, 于是∠OPA+∠OMA=180° . 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A,P,O,M 四点共圆. 所以∠OAM=∠OPM, 由(1)得 OP⊥AP,由圆心 O 在∠PAC 的内部, 可知∠OPM+∠APM=90° , 所以∠OAM+∠APM=90° . 例2 解 (1)取 BD 的中点 O,连接 OE.

∵BE 平分∠ABC, ∴∠CBE=∠OBE. 又∵OB=OE, ∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO, ∴BC∥OE. ∵∠C=90° ,∴OE⊥AC, ∴直线 AC 是△BDE 的外接圆的切线, 即直线 AC 与△BDE 的外接圆相切. (2)设△BDE 的外接圆的半径为 r. 在△AOE 中,OA2=OE2+AE2, 即(r+2 3)2=r2+62,解得 r=2 3, ∴OA=2OE,∴∠A=30° ,∠AOE=60° . ∴∠CBE=∠OBE=30° , 1 1 1 ∴EC= BE= × 3r= × 3×2 3=3. 2 2 2 跟踪训练 2 2 3 解析 C 为 BD 中点,且 AC⊥BC,故△ABD 为等腰三角形.AB=AD=6,∴AE=4,DE =2,又 AE AC = ?AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6,在△ABC 中,BC= AB2-AC2= AC AD

36-24=2 3. 例3 证明 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以

△ACB∽△DAB. AC AB 从而 = ,即 AC· BD=AD· AB. AD BD

(2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而 = ,即 AE· BD=AD· AB. AB BD 结合(1)的结论知,AC=AE. 跟踪训练 3 (1)证明 连接 ON, 则 ON⊥PN, 且△OBN 为等腰三角形, 则∠OBN=∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90° -∠OBN, ∠PNM=90° -∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN. 根据切割线定理,有 PN2=PA· PC,∴PM2=PA· PC. (2)解 OM=2,在 Rt△BOM 中, BM= OB2+OM2=4. 延长 BO 交⊙O 于点 D,连接 DN. 由条件易知△BOM∽△BND, BO BM 2 3 4 于是 = ,即 = ,∴BN=6. BN BD BN 4 3 ∴MN=BN-BM=6-4=2. 练出高分 A组 1. 3 2

解析 在⊙O 中,PA· PB=PC· PD, ∴2×2=PC×1,∴PC=4,∴CD=5. ∴圆心 O 到 CD 的距离为 2. 9 4 5 由 PD∶DB=9∶16.设 PD=9a,DB=16a,由切割线定理,PA2=PD· PB,即 9= 5?2 ? 7?2-? ? 2? = 3 3 = . 4 2

解析

1 9 9a×25a,∴a= ,所以 PD= .在 Rt△PAB 中,PB=25a=5,∴AB= PB2-PA2= 52-32 5 5 =4. 3. 3 解析 连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线,∴OA⊥AP. 又∠ABC=30° ,∴∠AOC=60° . ∴在 Rt△OAP 中,OA=1,PA=OA· tan 60° = 3. 4.5

解析

由题意知,AB=6,AE=1,∴BE=5.∴CE· DE=DE2=AE· BE=5.在 Rt△DEB 中,

∵EF⊥DB,∴由射影定理得 DF· DB=DE2=5. 5. 4 3

解析 因为 AF· BF=EF· CF,解得 CF=2, 3 2 8 所以 = ,即 BD= .设 CD=x,AD=4x, 4 BD 3 64 4 所以 4x2= ,所以 x= . 9 3 6.60° 解析 如图,连接 OA,OB,∠PAO=∠PBO=90° ,∵∠ACB=120° , ∴∠AOB=120° .又 P,A,O,B 四点共圆,故∠APB=60° . 7.4π 解析 ∠ACD=∠ABC=30° , AD AC AC= =2,AB= =4, sin∠ACD sin∠ABC 故圆 O 的面积为 π·22=4π. 8. 35 解析 根据圆的性质有∠PAB=∠ACB, AB BC 而∠BAC=∠APB,故△PAB∽△ACB,故有 = , PB AB 将 PB=7,BC=5 代入解得 AB= 35. 9.3 解析 由切割线定理得 AD2=AE· AB, 所以 AB=4,EB=AB-AE=3. 又∵∠OCD=∠ADE=90° -∠CDB,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACO, AD AC 2 CD+2 ∴ = ,即 = ,CD=3.故 CD 的长等于 3. AE AO 1 2.5 3 5 10. 5 解析 延长 BO 交圆 O 于点 F,由 D 为 OB 的中点,知 DF=3,DB=1, 又∠AOB=90° ,所以 AD= 5,由相交弦定理知 DF· DB=AD· DE,即 3×1 3 5 = 5×DE,解得 DE= . 5 B组

1.

2 3 3

解析 如图,连接 CE,AO,AB.根据 A,E 是半圆周上的两个三等分点,BC 为 直径,可得∠CEB=90° ,∠CBE=30° ,∠AOB=60° ,故△AOB 为等边三 角形,AD= 3,OD=BD=1, ∴DF= 2.4 解析 由 AC 为切线,∴∠CAD=∠B,又∠CAD=∠BAD,∴∠DAB=∠B,∴AD=BD= AC CD 5,又∠CAD=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∴ = , BC AC 即 CD· BC=AC2.∴CD(BD+CD)=AC2, 即 CD(5+CD)=36,解得 CD=4. 3. 3 解析 由切割线定理可得 PA2=PB· PC, PA2 4 即 PC= = =4,所以 BC=PC-PB=3, PB 1 因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90° , 所以 AB2=BC· BP=3, 所以 AC2=BC2+AB2=9+3=12, 即 AC= 12=2 3,所以 2R=2 3,即 R= 3. 4.5 解析 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90° ,∠A=60° , ∴∠ABC=30° .∵AB=20,∴AC=10,BC=10 3. ∵CD 为切线,∴∠BCD=∠A=60° . ∵∠BDC=90° ,∴BD=15,CD=5 3. 由切割线定理得 DC2=DE· DB, 即(5 3)2=15DE,∴DE=5. 5. 2 解析 ∵PA 是⊙O 的切线,∴由切割线定理得 PA2=PC· PD.∵PA=2,PC=1,∴PD=4. 又∵PC=ED=1, ∴CE=2,由题意知四边形 ABEC 为平行四边形, ∴AB=CE=2,连接 BC,如图, ∵PA 是⊙O 的切线, 3 2 3 ,∴AF=AD-DF= . 3 3

∴∠PAC=∠CBA. ∵AB,CD 是圆的两条平行弦, ∴∠PCA=∠CAB, PC CA ∴△PAC∽△CBA,∴ = , CA AB ∴AC2=PC· AB=2,∴AC= 2. 6.3 2 3 3

解析 ∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥BC. ∵CD⊥AB 于 D,∴由射影定理得 CD2=AD· BD. ∵AD=2BD,CD= 2,∴( 2)2=2BD· BD,解得 BD=1, ∴AD=2BD=2,∴AB=AD+BD=2+1=3. 在 Rt△CDE 中,∵E 为 AD 的中点, 1 ∴DE= AD=1,又 CD= 2, 2 ∴CE= CD2+DE2= 3, 又 AE=DE=1,EB=2, AE· EB 2 3 由相交弦定理得 EF= = . CE 3 7. 8 3

解析 设 EB=x,则 ED=x+5, 由切割线定理知 x(x+5)=62, ∴x=4.∵AC∥ED,AB=AC, ∴ AB = CD . ∴∠2=∠3=∠4=∠5,又∠1=∠3,∠3=∠6. ∴∠1=∠6,∴AE∥BC,即 EBCA 为平行四边形. ∴AC=EB=4,BC=6,由△AFC∽△BFD. ∴ AC CF 4 CF 8 = .即 = ,∴CF= . BD 6-CF 5 6-CF 3


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