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武汉大学2011-2012上学期期末试题


武汉大学 2011-2012 上学期高数期末试题 一、计算题: (每题 8 分,共 56 分)
? x ? arcsin 1 ? t 2 d2y ? 1、设 ? ,求 2 。 2 dx ? y ? 1? t ?

2、求 lim x ?0

e x ? esin x ? x ? x 2 ? ln(1 ? x ) arcsin x

3、已知 lim ? ?

?? x?a? ?2 x ? ? ?a 2 xe dx ,求 a 的值。 x?? x ? a ? ? x

4、计算不定积分 ?

1 dx(a ? 0) 。 ax ? b ? d

5、求定积分 ? x ?1 ? x 0
1

3 4 2

?

dx 。

6、求解常微分方程

dy ? x 3 y 3 ? xy 。 dx

? 2 x et 2 dt ? ?x 7、设 ? ( x) ? ? x , x ? 0 ,求 a 的值使得 ? ( x ) 在 x ? 0 处连续,并用导 ? x?0 ? a,

数定义求 ? ?(0) 。

1 n? 二、(5 分)设 an ? ?1 ? ? sin ,证明 ?an ? 没有极限。 ? ? ? n? 2

三、(10 分) y ? y ( x ) 满足方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2e x , 设 其图形在点 (0,1) 处 的切线与曲线 y ? x2 ? x ? 1 在该点处的切线重合,求 y ? y ( x ) 。

四、(11 分)已知函数 y ? 值、拐点和渐近线。

x ?1 ,求函数的增减区间、凸凹区间、极 x2 ? 1

五、(10 分) 求曲线 y ? e x , y ? sin x, x ? 0, x ? 1 所围成的平面图形的面积
S

,并求该平面图形绕 x 轴转一周所得的旋转体的体积。

六、 (8 分)设 f ( x ), g ( x ) 在 ? a, b? 上连续,在 ? a, b ? 内具有二阶导数且存 在相等的最大值, f ( a) ? g ( a), f (b) ? g (b) ,证明:存在 ? ? ? a, b? ,使得
f ??(? ) ? g ??(? ) 。


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