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高中平面几何常用定理总结


(高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,

等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘 积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的 一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. 2. 3. 射影定理(欧几里得定理) 中 线 定 理 ( 巴

布 斯 定 理 ) 设 △ ABC 的 边 BC 的 中 点 为 P , 则 有

AB 2 ? AC 2 ? 2( AP 2 ? BP 2 ) ;

中线长: m 4.

a

?

2b 2 ? 2c 2 ? a 2 2



垂线定理: AB ? CD ? AC 2 ? AD 2 ? BC 2 ? BD 2 .
a p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ? bc sin A ? c sin B ? b sin C . a

高线长: ha ? 2 5.

角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个

角的两边对应成比例. 如△ABC 中,AD 平分∠BAC,则 BD ? AB ; (外角平分线定理) .
DC AC

角平分线长: t a ? 6. 7. 8. 9. 正弦定理:

2 2bc A bcp( p ? a) ? cos (其中 p b?c b?c 2

为周长一半) .

a b c (其中 R ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

为三角形外接圆半径) .

余弦定理: c 2

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

张角定理: sin ?BAC ? sin ?BAD ? sin ?DAC .
AD AC AB

斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一

点 D,则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD. 10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半. (圆外角如

何转化?) 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角. 12. 圆幂定理: (相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理) :切线 长定理: ) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD, 自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延长线必平分对边. 14. 点到圆的幂:设 P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO=d,⊙O 的半径为 r, 则 d2-r2 就是点 P 对于⊙O 的幂.过 P 任作一直线与⊙O 交于点 A、B,则

PA·PB= |d2-r2|. “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一
条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结 论.这条直线称为两圆的“根轴” .三个圆两两的根轴如果不互相平行,则 它们交于一点,这一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对于三个圆等 幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一 点. 15. 托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积 之和,即 AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命题成立) . (广义托勒密定理)

AB·CD+AD·BC≥AC·BD.
16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、EF 经过点 M,CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM. 17. 费马点:定理 1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距 离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角

形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理 2 三角形每一内角都小于 120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是 120°,该点 到三顶点距离和达到最小, 称为 “费马点” , 当三角形有一内角不小于 120° 时,此角的顶点即为费马点. 18. 拿破仑三角形: 在任意△ABC 的外侧, 分别作等边△ABD、 △BCE、 △CAF, 则 AE、 AB、 CD 三线共点, 并且 AE=BF=CD, 这个命题称为拿破仑定理. 以 △ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、 △BCE、 △CAF, 它们的外接圆⊙C1 、 ⊙A1 、⊙B1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙ C1 、⊙A1 、⊙B1 三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△

ABC 的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙ B2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C2 、⊙A2 、⊙B2 三圆共点,内
拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中 心. 19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆) :三角形中,三边 中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点, 这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如: (1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定 理〕 . 20. 欧拉(Euler)线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于

同一直线(欧拉线)上. 21. 欧拉(Euler)公式:设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r, 外心与内心的距离为 d,则 d2=R2-2Rr. 22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的 和. 23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成 2:1 的 两部分; G( x A ? x B ? xC , y A ? y B ? yC )
3 3

重心性质: (1)设 G 为△ABC 的重心,连结 AG 并延长交 BC 于 D,则 D 为

BC 的中点,则 AG : GD ? 2 : 1 ;
(2)设 G 为△ABC 的重心,则 S ?ABG
1 ? S ?BCG ? S ?ACG ? S ?ABC ; 3

(3)设 G 为△ABC 的重心,过 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,过

G 作 PF∥AC 交 AB 于 P,交 BC 于 F,过 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K,交 BC 于 H,则 DE ? FP ? KH ? 2 ; DE ? FP ? KH ? 2 ;
BC CA AB 3 BC CA AB

(4)设 G 为△ABC 的重心,则 ① BC 2 ? 3GA2 ? CA2 ? 3GB 2 ? AB 2 ? 3GC 2 ; ② GA2 ? GB 2 ? GC 2 ? 1 ( AB 2 ? BC 2 ? CA2 ) ;
3

③ PA2 ? PB 2 ? PC 2 ? GA 2 ? GB 2 ? GC 2 ? 3PG 2 (P 为△ABC 内任意一点) ; ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心, 即 GA 2 ? GB 2 ? GC 2 最小; ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上 述条件之一,则 G 为△ABC 的重心) .

24. 垂



















线









a b c a b c xA ? xB ? xC yA ? yB ? yC cos A cos B cos C cos A cos B cos C H( , ) a b c a b c ? ? ? ? cos A cos B cos C cos A cos B cos C

垂心性质: (1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离 的 2 倍; (2)垂心 H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上; (3)△ABC 的垂心为 H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是 等圆; ( 4 ) 设

O , H

分 别 为 △ABC

的 外 心 和 垂 心 , 则

?BAO ? ?HAC, ?CBO ? ?ABH , ?BCO ? ?HCA .

25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各 边距离相等;
I( ax A ? bxB ? cxC ay A ? byB ? cy C , ) a?b?c a?b?c

内心性质: (1)设 I 为△ABC 的内心,则 I 到△ABC 三边的距离相等,反 之亦然; ( 2 ) 设

I



△ABC











1 1 1 ?BIC ? 90? ? ?A, ?AIC ? 90? ? ?B, ?AIB ? 90? ? ?C ; 2 2 2

(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心 的距离相等;反之,若 ?A 平分线交△ABC 外接圆于点 K,I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB,则 I 为△ABC 的内心;
BC ? a, AC ? b, AB ? c, ?A 平分线交 BC 于 D, (4) 设 I 为△ABC 的内心, 交△ABC

外接圆于点 K,则 AI ? AK ?
ID KI

IK b ? c ; ? KD a

(5)设 I 为△ABC 的内心,BC ? a, AC ? b, AB ? c, I 在 BC, AC, AB 上的射影分别为
D, E , F

,内切圆半径为

r

, 令 p ? 1 (a ? b ? c) , 则 ①
2

S ?ABC ? pr

;②

AE ? AF ? p ? a; BD ? BF ? p ? b; CE ? CD ? p ? c ;③ abcr ? p ? AI ? BI ? CI



26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形 各顶点距离相等;
O( sin 2 Ax A ? sin 2BxB ? sin 2CxC sin 2 Ay A ? sin 2ByB ? sin 2CyC , ) sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C

外心性质: (1)外心到三角形各顶点距离相等; (2)设 O 为△ABC 的外心,则 ?BOC ? 2?A 或 ?BOC ? 360? ? 2?A ; ( 3) R ?
abc 4S ?

; (4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其

内切圆与外接圆半径之和. 27. 旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 的 三边 BC ? a, AC ? b, AB ? c, 令 p ? 1 (a ? b ? c) , 分别与 BC, AC, AB 外侧相切的旁切圆
2

圆心记为 I A, I B , I C ,其半径分别记为 r A , rB , rC . 旁心性质: (1) ?BI AC ? 90? ? 1 ?A, ?BI B C ? ?BI C C ? 1 ?A, (对于顶角 B,C 也有
2 2

类似的式子) ; (2) ?I AI B I C
1 ? (?A ? ?C ) ; 2

(3)设 AI A 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DI A ? DB ? DC (对于 BI B , CIC 有 同样的结论) ; (4) △ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形, 且△IAIBIC 的外接圆半径 R' 等于△ABC 的直径为 2R.

28. 三
S ?ABC ?















1 1 abc a2 ? b2 ? c2 aha ? ab sin C ? ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? 2 2 4R 4(cot A ? cot B ? cot C )

? pr ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,其中 ha 表示 BC 边上的高, R 为外接圆半径, r 为内

切圆半径, p ? 1 (a ? b ? c) .
2

29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:
r ? 4R sin
ra ?

A B C A B C A B C A B C sin sin ; ra ? 4R sin cos cos , rb ? 4R cos sin cos , rc ? 4R cos cos sin ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

r r r 1 1 1 1 ,r ? ,r ? ; ? ? ? . B C b A C c A B ra rb rc r tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2

30. 梅涅劳斯(Menelaus)定理:设△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线 和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有
BP CQ AR ? ? ?1. (逆定理也成立) PC QA RB

31. 梅涅劳斯定理的应用定理 1: 设△ABC 的∠A 的外角平分线交边 CA 于 Q, ∠C 的平分线交边 AB 于 R,∠B 的平分线交边 CA 于 Q,则 P、Q、R 三点共 线. 32. 梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的 外接圆的切线,分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线. 33. 塞瓦(Ceva)定理:设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点, 则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是 · · =1. 34. 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的

AZ BX CY ZB XC YA

交点分别是 D、E,又设 BE 和 CD 交于 S,则 AS 一定过边 BC 的中点 M. 35. 塞瓦定理的逆定理: (略) 36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线交于一点,三角形 的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点. 37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设△ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T,则 AR、BS、CT 交于一点. 38. 西摩松(Simson)定理:从△ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、

CA、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别是 D、E、R,则 D、E、R 共线,
(这条直线叫西摩松线 Simson line) . 39. 西摩松定理的逆定理: (略) 40. 关于西摩松线的定理 1:△ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角 形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上. 41. 关于西摩松线的定理 2(安宁定理) :在一个圆周上有 4 点,以其中任 三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线 交于一点. 42. 史坦纳定理: 设△ABC 的垂心为 H, 其外接圆的任意点 P, 这时关于△ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心. 43. 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、

AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条(与西摩松线平行的)直线上.这
条直线被叫做点 P 关于△ABC 的镜象线. 44. 牛顿定理 1: 四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对

角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线. 45. 牛顿定理 2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点 共线. 46. 笛沙格定理 1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点 (A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相 交,则这三个交点共线. 47. 笛沙格定理 2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应 顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长 线相交,则这三个交点共线. 48. 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R,则 P、Q、

R 关于△ABC 交于一点的充要条件是:弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 ? ) .
49. 波朗杰、腾下定理推论 1:设 P、Q、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若

P、Q、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点,则 A、B、C 三点关于△PQR 的的
西摩松线交于与前相同的一点. 50. 波朗杰、腾下定理推论 2:在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A、B、 C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的 垂心的连线段的中点. 51. 波朗杰、 腾下定理推论 3: 考查△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于△ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,则三点 P、Q、

R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点.
52. 波朗杰、腾下定理推论 4:从△ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线,

设垂足分别是 D、E、F,且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、N,则 D、

E、F、L、M、N 六点在同一个圆上,这时 L、M、N 点关于关于△ABC 的西摩
松线交于一点.

53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点 P,引与△ABC 的三边 BC、CA、

AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、PF,与三边的交点分别是 D、E、F,
则 D、E、F 三点共线. 54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与 △ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N,在△ABC 的外接圆上取一点 P,则

PL、PM、PN 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,
则 D、E、F 三点共线. 55. 清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边

BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线.
56. 他拿定理:设 P、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点 P 的关于三 边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,这时,如果 QU、QV、QW 和边 BC、

CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. (反点: P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点,如果 OC2=OQ×OP 则称 P、Q
两点关于圆 O 互为反点) 57. 朗古来定理:在同一圆周上有 A1、B1、C1、D1 四点,以其中任三点作三 角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线,再从 P

向这 4 条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上. 58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线, 这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心. 59. 一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-1 个点的重心,向该圆周的在其 余一点处的切线所引的垂线都交于一点. 60. 康托尔定理 1:一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-2 个点的重心向 余下两点的连线所引的垂线共点. 61. 康托尔定理 2:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点,则 M 和 N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC 中的每一个的两条西摩松 线的交点在同一直线上.这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托 尔线. 62. 康托尔定理 3:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点,则 M、

N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康
托尔线、 M、 L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点. 这个点叫做 M、

N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点.
63. 康托尔定理 4:一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点,则

M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在
一条直线上.这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康 托尔线. 64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切. 65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相

得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常 被称作莫利正三角形. 66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F,则这三线共点. 67. 帕斯卡(Paskal)定理:圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延长线的)交点共线. 68. 阿波罗尼斯(Apollonius)定理:到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:

n(值不为 1)的点 P,位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为
直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆. 69. 库立奇*大上定理: (圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中 任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过 这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆. 70. 密格尔(Miquel)点: 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、

D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,
则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点. 71. 葛尔刚(Gergonne)点:△ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、

E、F,则 AE、BF、CD 三线共点,这个点称为葛尔刚点.
72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的 任意一点,过 M 向三边作垂线,三个垂足形成的三角形的面积,其公式:
S ?DEF | R2 ? d 2 | . ? S ?ABC 4R 2


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