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YALE 1.1 空间几何体的结构LECTURE NOTES解析版


第一章
本章教材分析

空间几何体

柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体,复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组 合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础.本章研究空 间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计 算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质. 本章

中的有关概念,主要采用分析具体实例的共同特点,再抽象其本质属性空间图形而 得到.教学中应充分使用直观模型,必要时要求学生自己制作模型,引导学生直观感知模型, 然后再抽象出有关空间几何体的本质属性,从而形成概念. 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如,对于棱柱,在义务教育阶段直观 认识正方体、长方体等的基础上,进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积.因此,在 教材内容安排中,特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接. 值得注意的是在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透空间想象能力面的训练.由于受有关 线面位置关系知识的限制,在讲解空间几何体的结构时,少问为什么,多强调感性认识.要准 确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单几 何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的重要作用.为了体现教材的选择性,在练习 题安排上加大了弹性,教师应根据学生的实际,合理地进行取舍. 1.1 1.1.1 空间几何体的结构 柱、锥、台、球的结构特征

整体设计 教学分析 本节教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等,让学生感受空间几何体的结构特征, 从整体上认识空间几何体,再深入细节认识,更符合学生的认知规律. 值得注意的是:由于没有点、直线、平面的有关知识,所以本节的学习不能建立在严格 的逻辑推理的基础上,这与以往的教材有较大的区别,教师在教学中要充分注意到这一点. 本节教学尽量使用信息技术等手段,向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体,增 强学生的感受. 三维目标 1.掌握柱、锥、台、球的结构特征,学会观察、分析图形,提高空间想象能力和几何直观能 力. 2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会建立几何模型研究空间图形,培养数学建模的
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思想. 重点难点 教学重点:柱、锥、台、球的结构特征. 教学难点:归纳柱、锥、台、球的结构特征. 课时安排:1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.从古至今,各个国家的建筑物都有各自的特色,古有埃及的金字塔,今有各城市大厦 的旋转酒吧、旋转餐厅,还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等.它们都是独具匠心、整体 协调的建筑物,是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物 呢?引出课题:柱、锥、台、球的结构特征. 思路 2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑 的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.引 出课题:柱、锥、台、球的结构特征. 推进新课 新知探究 提出问题 1.观察下面的图片,请将这些图片中的物体分成两类,并说明分类的标准是什么?

图1 2.你能给出多面体和旋转体的定义吗? 活动:让学生分组讨论,根据初中已有的知识,学生很快就能分成两类,对没有思路的学生, 教师予以提示.
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1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类. 2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体,利用动态的观点来定义旋转体. 讨论结果: 1.通过观察,可以发现, (2 ) 、 (5) 、 (7) 、 (9) 、 (13) 、 (14) 、 (15) 、 (16)具有同样的特点: 组成几何体的每个面都是平面图形, 并且都是平面多边形, 像这样的几何体称为多面体; ( 1) 、 (3 ) 、 (4) 、 (6) 、 (8) 、 (10) 、 (11) 、 (12)具有同样的特点:组成它们的面不全是平面图 形,像这样的几何体称为旋转体. 2.多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形 叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 按围成多面体的面数分为:四面体、五面体、六面体、……,一个多面体最少有 4 个面,四 面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面体. 旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转 体,这条定直线叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体. 提出问题 1.与其他多面体相比,图片中的多面体(5) 、 (7 ) 、 (9)具有什么样的共同特征? 2.请给出棱柱的定义? 3.与其他多面体相比,图片中的多面体(14) 、 (15)具有什么样的共同特征? 4.请给出棱锥的定义. 5.利用同样的方法给出棱台的定义. 活动:学生先思考或讨论,如果学生没有思路时,教师再提示. 对于 1、3,可根据围成多面体的各个面的关系来分析. 对于 2,利用多面体(5) 、 (7 ) 、 (9)的共同特征来定义棱柱. 对于 4,利用多面体(14) 、 (15)的共同特征来定义棱锥. 对于 5,利用图片中的多面体(13) 、 (16)的共同特征来定义棱台. 讨论结果: 1.特点是:有两个面平行,其余的面都是平行四边形.像这样的几何体称为棱柱. 2.定义:两个平面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体称为棱柱.棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余各 面叫做棱柱的侧面; 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶 点. 表示法:用表示底面各顶点的字母表示棱柱.
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分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3.其中一个面是多边形,其余各面是三角形,这样的几何体称为棱锥. 4.定义:有一面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的多面体叫 做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各 侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 表示法:用顶点和底面各顶点的字母表示. 分类:按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 5.定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的 底面和截面叫做棱台的下底面和上底面;其他各面叫做棱台的侧面;相邻侧面的公共边叫做 棱台的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点. 表示法:用表示底面各顶点的字母表示棱台. 分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 提出问题 1.与其他旋转体相比,图片中的旋转体(1) 、 (8)具有什么样的共同特征? 2.请给出圆柱的定义. 3.其他旋转体相比,图片中的旋转体(3) 、 (6)具有什么样的共同特征? 4.请给出圆锥的定义. 5.类比圆锥和圆柱的定义方法,请给出圆台的定义. 6.用同样的方法给出球的定义. 讨论结果: 1.静态的观点:有两个平行的平面,其他的面是曲面;动态的观点:矩形绕其一边旋转形成 的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆柱. 2.定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫 做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,圆柱的侧面又称为圆柱面,无论转到什么位置,不垂 直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 表示:圆柱用表示轴的字母表示. 规定:圆柱和棱柱统称为柱体. 3.静态的观点:有一平面,其他的面是曲面;动态的观点:直角三角形绕其一直角边旋转形 成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆锥. 4.定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转而形成的面所围成
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的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底 面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面,圆锥的侧面又称为圆锥面,无论 转到什么位置,这条边都叫做圆锥侧面的母线. 表示:圆锥用表示轴的字母表示. 规定:圆锥和棱锥统称为锥体. 5.定义:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围 成的几何体叫做圆台.还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截面与底面之间的 部分.旋转轴叫做圆台的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面;不垂直于旋 转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面,无论转到什么位置,这条边都叫做圆台侧面的母 线. 表示:圆台用表示轴的字母表示. 规定:圆台和棱台统称为台体. 6.定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面,球面 所围成的旋转体称为球体,简称球.半圆的圆心称为球心,连接球面上任意一点与球心的线段 称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径. 表示:用表示球心的字母表示. 知识总结:1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较,如下表所示: 结构特征 棱柱 两个平面互相平行,其余各 面都是四边形,并且每相邻 定义 两个四边形的公共边都互相 平行,这些面围成的几何体 称为棱柱 底面 侧面 侧棱 平行于底面 的截面 过不相邻两 两底面是全等的多边形 平行四边形 平行且相等 与两底面是全等的多边形 平行四边形 棱锥 有一面为多边形,其余 各面是有一个公共顶点 的三角形,这些面围成 的几何体叫做棱锥 棱台 用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部 分,这样的多面体叫 做棱台 两底面是相似的多边 形 梯形 延长线交于一点 与两底面是相似的多 边形 梯形

多边形 三角形 相交于顶点 与底面是相似的多边形 三角形

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侧棱的截面 2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较,如下表所示: 结构特征 圆柱 以矩形的一边所 在的直线为旋转 定义 轴,其余各边旋 转而形成的曲面 所围成的几何体 叫做圆柱 两底面是平行且 半径相等的圆 矩形 平行且相等 与两底面是平行 且半径相等的圆 矩形 圆锥 以直角三角形的 一条直角边为旋 圆台 以直角梯形垂直于 底边的腰所在的直 球 以半圆的直径所 在的直线为旋转 轴,将半圆旋转一 周所形成的曲面 称为球面,球面所 围成的几何体称 为球体,简称球 无

转轴,其余各边旋 线为旋转轴,其余 转而形成的曲面 所围成的几何体 叫做圆锥 各边旋转而形成的 曲面所围成的几何 体叫做圆台 两底面是平行但半 径不相等的圆 扇环 延长线交于一点 与两底面是平行且 半径不相等的圆 等腰梯形

底面 侧面展开 图 母线 平行于底 面的截面 轴截面



扇形 相交于顶点 平行于底面且半 径不相等的圆 等腰三角形

不可展开 无 球的任何截面都 是圆 圆

3.简单几何体的分类:
? ?棱柱 ? ? 多面体 ?棱锥 ? ?棱台 ? ? ? ? 简单几何体 ? ?圆柱 ? ? ?旋转体?圆锥 ? ? ?圆台 ? ?球 ? ? ?

应用示例 思路 1 例1 下列几何体是棱柱的有( )

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图2 A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

活动:判断一个几何体是哪种几何体,一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征,注意定义中 的特殊字眼,切不可马虎大意. 棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面是平行四边形;这些平行四边形面 中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个 几何体才是棱柱.很明显,几何体② ④ ⑤ ⑥ 均不符合,仅有① ③ 符合. 答案:D 点评:本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体② 也是棱柱,其原因是忽视了棱 柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结 构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形 就想到文字叙述. 变式训练 1.下列几个命题中, ① 两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ② 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③ 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④ 分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所得到的两个圆柱是两个不同 的圆柱. 其中正确的有__________个.( A.1 B.2 ) C.3 D.4

分析:① 中两个底面平行且相似,其余各面都是梯形,并不能保证侧棱会交于一点,所以① 是错误的;② 中两个底面互相平行,其余四个面都是等腰梯形,也有可能两底面根本就不相 似,所以② 不正确;③ 中底面不一定是正方形,所以③ 不正确;很明显④ 是正确的. 答案:A 2.下列命题中正确的是( )
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A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 答案:D 3.下列命题中正确的是( )

A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 分析:以直角梯形垂直于底的腰为轴,旋转所得的旋转体才是圆台,所以 B 不正确;圆锥仅 有一个底面,所以 C 不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的 母线长,所以 D 不正确.很明显 A 正确. 答案:A 思路 2 例1 (2007 宁夏模拟,理 6)长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1,从 A 到 C1 沿长 ) C. 3 2 D. 2 3

方体的表面的最短距离为( A. 1 ? 3

B. 2 ? 10

活动:解决空间几何体表面上两点间最短线路问题,一般都是将空间几何体表面展开,转化 为求平面内两点间线段长,这体现了数学中的转化思想. 解:如图 3,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1.

图3 如图 4 所示,将侧面 ABB1A1 和侧面 BCC1B1 展开,

图4 则有 AC1= 52 ? 12 ? 26 ,即经过侧面 ABB1A1 和侧面 BCC1B1 时的最短距离是 26 ; 如图 5 所示,将侧面 ABB1A1 和底面 A1B1C1D1 展开, 则有 AC1= 32 ? 32 ? 3 2 ,即经过侧面 ABB1A1 和底面 A1B1C1D1 时的最短距离是 3 2 ;
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图5 如图 6 所示,将侧面 ADD1A1 和底面 A1B1C1D1 展开,

图6 则有 AC1= 42 ? 22 ? 2 5 ,即经过侧面 ADD1A1 和底面 A1B1C1D1 时的最短距离是 2 5 . 由于 3 2 < 2 5 , 3 2 < 26 , 所以由 A 到 C1 在正方体表面上的最短距离为 3 2 . 答案:C 点评: 本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想.求表面上最短距离可把图形展成平面 图形. 变式训练 1.图 7 是边长为 1 m 的正方体,有一蜘蛛潜伏在 A 处,B 处有一小虫被蜘蛛网粘住,请制作 出实物模型,将正方体剪开,描述蜘蛛爬行的最短路线.

图7

图8

分析:制作实物模型(略).通过正方体的展开图 8 可以发现,AB 间的最短距离为 A、B 两点间 的线段的长 22 ? 12 ? 5 .由展开图可以发现,C 点为其中一条棱的中点.具体爬行路线如图 9 中的粗线所示,我们要注意的是爬行路线并不唯一. 解:爬行路线如图 9(1)—(6)所示:

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图9 2.(2006 江西高考,理 15)如图 10 所示,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1, 高为 8,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长为 .. _________.

图 10 分析:将正三棱柱 ABC—A1B1C1 沿侧棱 AA1 展开,其侧面展开图如图 11 所示,则沿着三棱 柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长就是图 11 中 AD+DA1.延长 A1F 至 M,使得 .. A1F=FM,连接 DM,则 A1D=DM,如图 12 所示.

图 11

图 12

则沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长就是图 12 中线段 AM 的长.在图 12 .. 中,△AA1M 是直角三角形,则 AM= AA12 ? A1 M 2 ? 8 2 ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1) 2 =10. 答案:10 知能训练 1.(2007 广东中山二模,文 2)如图 13,观察四个几何体,其中判断正确的是( )

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图 13 A.(1)是棱台 C.(3)是棱锥 B.(2)是圆台 D.(4)不是棱柱

分析:图(1)不是由棱锥截来的,所以(1)不是棱台;图(2)上下两个面不平行,所以 (2)不是圆台;图(4)前后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公 共边平行,所以(4)是棱柱;很明显(3)是棱锥. 答案:C 2.下面几何体中,过轴的截面一定是圆面的是( A.圆柱 B.圆锥 C.球 ) D.圆台

分析:圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,球的 轴截面是圆面,所以 A、B、D 均不正确. 答案:C 3.(2007 山东菏泽二模,文 13)一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,如图 14 所示,A、 B、C 是展开图上的三点,则在正方体盒子中∠ ABC=____________.

图 14 分析:如图 15 所示,折成正方体,很明显点 A、B、C 是上底面正方形的三个顶点, 则∠ ABC=90° .

图 15 答案:90° 4.(2007 山东东营三模,文 13)有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母,如图 16 所 示.从 3 种不同角度看同一粒骰子的情况,请问 H 反面的字母是___________.

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图 16 分析:正方体的骰子共有 6 个面,每个面都有一个字母,从每一个图中都看到有公共顶点的 三个面,与标有 S 的面相邻的面共有四个,由这三个图,知这四个面分别标有字母 H、E、O、 p、d,因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面,p 与 d 是一个字母;翻转图② ,使 S 面调整 到正前面,使 p 转成 d,则 O 为正下面,所以 H 的反面是 O. 答案:O 5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm2,母线与轴的 夹角是 45° ,求这个圆台的高、母线长和底面半径. 分析:这类题目应该选取轴截面研究几何关系. 解:圆台的轴截面如图 17,

图 17 设圆台上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm,延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S. 在 Rt△SOA 中,∠ ASO=45° ,则∠ SAO=45° . 所以 SO=AO=3x.所以 OO1=2x. 又
1 (6x+2x)· 2x=392,解得 x=7, 2

所以圆台的高 OO1=14 cm,母线长 l= 2 OO1= 14 2 cm,而底面半径分别为 7 cm 和 21 cm, 即圆台的高 14 cm,母线长 14 2 cm,底面半径分别为 7 cm 和 21 cm. 6.(2005 全国高中数学竞赛浙江预赛,4)正方体的截平面不可能 是 ... ① 钝角三角形;② 直角三角形;③ 菱形;④ 正五边形;⑤ 正六边形. 下述选项正确的是: ( A.① ② ⑤ B.① ② ④ ) C.② ③ ④ D.③ ④ ⑤

分析:正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角 形、直角三角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边形、菱形、 矩形,但不可能是直角梯形(证明略) ;对五边形来讲,不可能是正五边形(证明略) ;对六

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边形来讲,可以是六边形(正六边形). 答案:B 拓展提升 1.有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗? 分析:如图 18 所示,此几何体有两个面互相平行,其余各面是平行四边形,很明显这个几 何体不是棱柱,因此说有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

图 18 由此看,判断一个几何体是否是棱柱,关键是紧扣棱柱的 3 个本质特征:① 有两个面互 相平行;② 其余各面都是四边形;③ 每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这 3 个特征缺一 不可,图 18 所示的几何体不具备特征③ . 2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗? 剖析: 如图 19 所示, 将正方体 ABCD—A1B1C1D1 截去两个三棱锥 A—A1B1D1 和 C—B1C1D1, 得如图 20 所示的几何体.

图 19

图 20

图 20 所示的几何体有一个面 ABCD 是四边形,其余各面都是三角形的几何体,很明显 这个几何体不是棱锥,因此说有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱 锥. 由此看,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 3 个本质特征:① 有一个面是 多边形;② 其余各面都是三角形;③ 这些三角形面有一个公共顶点.这 3 个特征缺一不可,图 18 所示的几何体不具备特征③ . 课堂小结 本节课学习了柱体、锥体、台体、球体的结构特征. 作业 1.如图 21,甲所示为一几何体的展开图.

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图 21 (1)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图. (2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为 6 cm 的正方体?请在图乙棱长为 6 cm 的 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中指出这几个几何体的名称. 答案:(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,如图 22 甲所示.

图 22 (2)需要 3 个这样的几何体,如图 22 乙所示.分别为四棱锥:A1—CDD1C1,A1—ABCD, A1—BCC1B1. 2.如图 23,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4.M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一 点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29 ,设这条最短路线与 CC1 的交 点为 N,求 P 点的位置.

图 23 分析:把三棱锥展开后放在平面上,通过列方程解应用题来求出 P 到 C 点的距离,即确定了 P 点的位置. 解:如图 24 所示,把正三棱锥展开后,设 CP=x,

图 24 根据已知可得方程 22+(3+x)2=29.解得 x=2.
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所以 P 点的位置在离 C 点距离为 2 的地方. 设计感想 本节教学设计,充分体现了新课标的精神,按课程标准的要求:降低逻辑推理,通过直 观感受和操作确认来设计.在使用时,建议使用信息技术来处理图片和例题,否则会造成课时 不足的矛盾. 1.1.2 简单组合体的结构特征

整体设计 教学分析 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科,只有把我们周围的物 体形状正确迅速分解开, 才能清醒地认识几何学, 为后续学习打下坚实的基础.简单几何体 (柱 体、 锥体、 台体和球) 是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、 锥、台、球的基础上,运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征. 三维目标 1.掌握简单组合体的概念,学会观察、分析图形,提高空间想象能力和几何直观能力. 2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会通过建立几何模型来研究空间图形,培养学生 的数学建模思想. 重点难点 描述简单组合体的结构特征. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.在我们的生活中,酒瓶的形状是圆柱吗?我们的教学楼的形状是柱体吗?钢笔、圆珠 笔呢?这些物体都不是简单几何体,那么如何描述它们的结构特征呢?教师指出课题:简单 几何体的结构特征. 思路 2.现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外,还有 大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体,这节课学习的课题 是:简单几何体的结构特征. 推进新课 新知探究 提出问题

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① 请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

图1 ② 观察图 1,结合生活实际经验,简单组合体有几种组合形式? ③ 请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系? 活动:让学生仔细观察图 1,教师适当时候再提示. ① 略. ② 图 1 中的三个组合体分别代表了不同形式. ③ 学生可以分组讨论,教师可以制作有关模型展示. 讨论结果:① 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中,我们看到的物体 大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图 1(1)是一个四棱锥和一个 长方体拼接成的, 这是多面体与多面体的组合体; 图1 (2) 是一个圆台挖去一个圆锥构成的, 这是旋转体与旋转体的组合体;图 1(3)是一个球和一个长方体拼接成的,这是旋转体与多 面体的组合体. ② 常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋 转体的组合.其基本形式实质上有两种:一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图 1 (1)和(3)所示的组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体, 如图 1(2)所示的组合体. ③ 常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征:1° 长方体的八个顶点在同一个球 面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的 直径;2° 一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;3° 一球 与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径. 应用示例 思路 1 例1 请描述如图 2 所示的组合体的结构特征.

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图2 活动:回顾简单几何体的结构特征,再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球 的结构特征依次作出判断. 解:图 2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体; 图 2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体; 图 2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体. 点评:本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力. 变式训练 如图 3 所示,一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线 l 旋转 180° ,想象并说出它形成 的几何体的结构特征.

图3 答案:一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球. 例2 连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点) ,

所得的一个几何体是几面体?并画图表示该几何体. 活动:先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图 形如图 4(1),再作出判断.

(1) 图4

(2)

解:如图 4(1),正方体 ABCD—A1B1C1D1,O1、O2、O3、O4、O5、O6 分别是各表面的中心. 由点 O1、O2、O3、O4、O5、O6 组成了一个八面体,而且该八面体共有 6 个顶点,12 条棱. 该多面体的图形如图 4(2)所示. 点评:本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形,并且以每个顶 点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合 底面后而得到的,而且中间一个四边形 O2O3O4O5 还是正方形,当然其他的如 O1O2O6O4 等

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也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体的放置应稍许“倾斜”些,并 且“后面的”线,即被前面平面所遮住的线,如图中的 O1O5、O6O5、O5O2、O5O4 应画成虚线. 变式训练 连接上述所得的几何体的相邻各面的中心,试问所得的几何体又是几面体? 答案:六面体(正方体). 思路 2 例1 已知如图 5 所示,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,且 AD<BC,当梯形 ABCD 绕 BC 所在

直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.

图5

图6

活动:让学生思考 AB、AD、DC 与旋转轴 BC 是否垂直,以此确定所得几何体的结构特征. 解:如图 6 所示,旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体. 点评:本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体. 变式训练 如图 7 所示,已知梯形 ABCD 中,AD∥ BC,且 AD<BC,当梯形 ABCD 绕 AD 所在直 线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.

图7

图8

答案:如图 8 所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体. 例2 如图 9(1) 、 (2)所示的两个组合体有什么区别?

图9 活动:让学生分组讨论和思考,教师及时点拨和评价学生.

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解:图 9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱,也就是一个长方体和一个 圆柱拼接成的组合体;而图 9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构 成的组合体. 点评:考查空间想象能力和组合体的概念. 变式训练 如图 10,说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成?

图 10 答案:图 10(1)中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成;图 10(2)中的 螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体. 知能训练 1.(2005 湖南数学竞赛,9)若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是( A.64 B.66 C.68 ) D.70

分析:由 2、3、5 的最小公倍数为 30,由 2、3、5 组成的棱长为 30 的正方体的一条对角线 穿过的长方体为整数个,所以由 2、3、5 组成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小长 方体的个数应为 3 的倍数. 答案:B 2.图 11 是一个奖杯,可以近似地看作由哪几种几何体组成?

图 11 答案:奖杯的底座是一个正棱台,底座的上面是一个正四棱柱,奖杯的最上部,在正棱柱上 底面的中心放着一个球. 拓展提升 1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形? 活动: 静止是相对的, 运动是绝对的, 点动成线, 线动成面.用运动的观点看几何问题的形成,

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容易建立空间想象力,这样对于分割和组合图形是有好处的. 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程,以及柱、锥、台的 相互关系,对于我们正确的割补图形也是有好处的. 对于正方体的分割,可通过实物模型,实际切割实验,还可借助于多媒体手段进行切割实验. 对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明,从而判断出各个截面的形状. 探究:本题考查立体几何的空间想象能力,通过尝试、归纳,可以有如下各种肯定或否定性 的答案: (1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、一般三角形. (2)截面三角形是锐角三角形,截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形. (3)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为四 边形时,这个四边形至少有一组对边平行. (4)截面不能是直角梯形. (5)截面可以是五边形:截面五边形必须有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面 五边形不可能是正五边形. (6)截面可以是六边形:截面六边形必须有分别平行的边,同时有两个角相等. (7)截面六边形可以是等角(均为 120° )的六边形,即正六边形. 截面图形如图 12 中各图所示:

图 12 课堂小结: 作业: 设计感想 本节教学设计依据课程标准的要求:利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形,认 识简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构.在教学时,尽 量多给学生一些图片,以便学生形成直观感知,初步获得感性认识. 本节课学习了简单组合体的概念和结构特征. A组 第 3 题;B 组 第 2 题.

习题 1.1

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