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高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线


高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条 曲线叫 做方程的曲线. 2.

圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 2 2 2 x +y =r (2)一般方程 2 2 当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0

D E D 2 ? E 2 - 4F 叫做圆的一般方程,圆心为 (,- ,半径是 . 配方,将方程 2 2 2
x +y +Dx+Ey+F=0 化为 (x+
2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 - 4F ) +(y+ ) = 2 2 4
2 2

当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点 (2 2

D E ,- ); 2 2

当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上, |MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|= (x 0 - a) ? (y 0 - b) .
2 2

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定
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(i)判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方 向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅 仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的 变换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在 新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐 标是(h,k),则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系

二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是 在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的 曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.

三、 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求:
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. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查 的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考 查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为 数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面 的能力, 重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着 重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价 转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌 握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综 合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定 在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大 小. 【例题】 【例1】 双曲线
x2 y2 ? 2 =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2

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∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 又∵c2=4+b2< 答案:1

17 , 3

5 17 ,∴b2< ,∴b2=1. 3 3
20 ,椭圆 C2 的方程为 3

【例2】 已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?
x2 a
2

?

y2 b
2

?1

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2

恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e ? 设椭圆方程为
2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 2 a 2
x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1.

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.
y



2 x1

2b 2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2 2b
2

?

2 y2

b2 ?

? 1, ? 0.
F2 O

A

两式相减,得

2 2 x1 ? x2

2 2 y1 ? y2

b2

C1

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,

F1 B

x

又 x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得

y1 ? y 2 ? ?1. x1 ? x 2

? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2)..

即 y ? ?x ? 3 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b
2

?

y2 b2

? 1, 得

3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.

由 AB ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

20 . 3

得 2?

24b 2 ? 72 ? 3
b 2 ? 8.

20 . 3

解得

故所有椭圆方程

x2 y2 ? ? 1. 16 8

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【例3】 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 C 相交于 A、B 两点,直线 y=

2 的椭圆 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦 2

点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 解法一:由 e=
a2 ? b2 1 c 2 ? ,从而 a2=2b2,c=b. ,得 ? 2 2 a 2 a

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2 y0
B

y y= 1 2 x

1 1 又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0, 2 2

于是-

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? ?x? ? 1 ? x? ? b 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y? ? ? x? ? b ? 1 ?2 2 ?

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a ? . 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 ? 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 ? 2k 2

.

直线 l:y=

x ? x2 y1 ? y2 ?k 1 2k 2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 , , 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2

解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一.

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解法 3:设椭圆方程为

x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) (1)

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y ? 故可设直线 l的方程为y ? k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中点矛盾。 2

(2)代入(1)消y整理得: (k 2 a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 (3)
设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 ? x 2 ?

2k 2 a 2 k 2a2 ? b2

又y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2k代入上式得:
k 2a2 ? b2 1 b2 1 2k 1 2 ? ? k ? k ? ? , 又e ? , ? , ? k ? 2k ? 2 2 2 2 2 x1 ? x2 2 2 2k a ka

k?

?k ? ?

2b 2 a2

??

2(a 2 ? c 2 ) a2

? ?2 ? 2e 2 ? ?1 ,?直线l的方程为y ? 1 ? x ,

此时a 2 ? 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2b 2 ? 0 , ? ? 16 ? 24(1 ? b 2 ) ? 8(3b 2 ?1) ? 0

?b ?

3 , 椭圆C的方程可写成: x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (4) , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 , 3

? 右焦点 F (b, 0) , 设点F关于直线 l的对称点( x0,y 0 ) ,

? y0 ?x ? b ?1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 ? 1 ? b , ? y 0 ? 1 ? x0 ? b ? 2 ?2
又点(1, 1 ? b)在椭圆上,代入 (4)得: 1 ? 2(1 ? b) ? 2b 2 ,? b ?
3 3 ? , 4 3

?b 2 ?

9 , 16

a2 ?

9 8
x2 y2 ? ?1 9 9 8 16

所以所求的椭圆方程为:

【例4】 过椭圆 C:

y2 a
2

?

x2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 上一动点 P 引圆 O: x2 +y2 =b2 的两条切

线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点 坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;(2) 若椭圆的短轴长为 8,并且
a2 | OM |
2

?

b2 | ON |
2

?

25 ,求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所 16

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引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在的条件;若不存在,请说明理由。 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x1 x ? y1 y ? b 2 ,PB: x2 x ? y2 y ? b 2 ∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 ? y1 y0 ? b 2 ∴直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b 2 ( x0 y0 ? 0) (2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(
b2 ,0);令 x=0,则 N(0, x0

x 2 x0 ? y 2 y 0 ? b 2

b2 ) y0



a2 | OM | 2

?

b2 | ON | 2

?

2 2 a 2 y 0 x0 a 2 25 ( ? ) ? ? b 2 a 2 b2 b 2 16



∵2b=8

∴b=4

代入①得 a2 =25, b2 =16 (注:不剔除 xy≠0,可不扣分)

∴椭圆 C 方程:

y2 x2 ? ? 1( xy ? 0) 25 16

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| 又∵P 点在椭圆 C 上
2 ? 由①②知 x 0

2 2 ∴ x0 ? y0 ? 2b 2



2 2 ∴ a 2 x0 ? b 2 y0 ? a 2b 2
2 , y0 ?



b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a2 ? b2

a 2b 2 a2 ? b2

∵a>b>0

∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆 所引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点 【例5】 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- 3 ,0) 、F2( 3 ,0) ,点 F1 到相应的准 线的距离为 |F2B|=3|F2A|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解: (1)依题意,椭圆中心为 O(0,0) ,c ? 3
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3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,使得 3

2 点 F1 到相应准线的距离为 b ? 3,? b 2 ? 3 ? 3 ? 1 ,

c

3

a2=b2+c2=1+3=4
2 ∴所求椭圆方程为 x ? y 2 ? 1 4

y

l P A M x N

(2) 设椭圆的右准线 l ? 与 l 交于点 P, 作 AM⊥ l ? , AN⊥ l ? , 垂足 分别为 M、N. 由椭圆第二定义, 得 | AF2 | ? e ?| AF2 |? e | AM | | AM | 同理|BF2|=e|BN| 由 Rt△PAM~Rt△PBN,得 | PA |?
? cos ?PAM ? | AM | 1 ? ? | PA | 2e 1 2? 3 2
B F1 O

F2

1 2

| AB |? 2 | F2 A |? 2e | AM | ?9 分
? 3 ? l 的斜率 k ? tan ?PAM ? 2 . 3

∴直线 l 的方程 y ? 2 ( x ? 3) 【例6】 已知曲线
x2 a2 ?

即 2x ? y ? 6 ? 0
y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ? 2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、 3

B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 (Ⅰ)求双曲线的方程;

3 . 2

(Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的方程.

解: (Ⅰ)依题意, l方程 x ? y ? 1, 即bx ? ay ? ab ? 0, 由原点 O 到 l 的距离 a ?b 为 3 ,得
2

ab a ?b
2 2

?

ab 3 ? c 2

又e ? c ? 2 3
a 3

?b ? 1, a ? 3

故所求双曲线方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 )是方程组
? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 6 ? 0
2


6k 6 , x1 x 2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

依设, 1 ? 3k ? 0, 由根与系数关系,知 x1 ? x 2 ?

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OM ? ON ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1)
2 2 = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1= 6(1 ? k ) ? 6k ? 1 2 2

3k ? 1

3k ? 1

=

6 3k ? 1
2

?1

? OM ? ON ? ?23



6 3k ? 1
2

? 1 =-23,k=±

1 2

当 k=±

1 时,方程①有两个不等的实数根 2

故直线 l 方程为 y ? 1 x ? 1, 或y ? ? 1 x ? 1 2 2 【例7】 已知动点 P 与双曲线 值,且
cos ?F1 PF2 的最小值为 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定 2 3

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范 围. 解: (1)由已知可得: c ? 5 , ∴ a2 ? 9 ∴
, b2 ? a2 ? c2 ? 4
a 2 ? a 2 ? (2c) 2 2a 2 ?? 1 9

所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

(2)方法一: 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的 方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
5 . 9

由判别式 ? ? (54k ) 2 ? 4 ? (4 ? 9k 2 ) ? 45 ? 0 ,得 k 2 ? 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有

DM ? ( x1 , y1 ? 3) ? ? DN ? ?( x2 , y2 ? 3) ? (?x2 , ?( y2 ? 3)) ,得
? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 ? x2 ? ?

54k 4 ? 9k
2

, x1 x2 ?

45 4 ? 9k 2



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将 x1 ? ?x2 代入②式并消去 x 2 可得
324? 5(1 ? ? )
2

?

4 k
2

? 9 ,由前面知, 0 ? ? 81 ,解得 5

4 k
2

?

36 5

∴ 9?

324? 5(1 ? ? ) 2

1 ?? ?5. 5 1 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? ? 或? ? 5 , 所以
1 ? ? ? 5 为所求。 5

方法二:同上得
? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

设点 M (3cosα ,2sinα ),N (3cosβ ,2sinβ ) 则有 ?
?cos? ? ? cos ? ?2 sin? ? 3 ? ? (2 sin ? ? 3)

由上式消去α 并整理得
sin ? ? 13?2 ? 18? ? 5 12(?2 ? ? )

,

由于 ?1 ? sin ? ? 1

∴ ?1 ?

13?2 ? 18? ? 5 12(? ? ? )
2

? 1 , 解得

1 ? ? ? 5 为所求. 5

方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1. 进而推得 ? 的取值范围为
1 ?? ?5。 5

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位 置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计 算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方 法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, 常用 “韦达定理法” 设而不求计算弦长(即

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应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关 系灵活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交 于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ? ?mx ? ny ? 1

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n



4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4

又2



由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

3 1 x2 3 2 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例2】 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, 点 A 的坐标为(5, 0), 倾斜角为

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面 积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????① ? ? y ? 4x

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0)

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设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例3】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜 率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判 断以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0??????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

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(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2) 满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围.
F1 o F2 B' A B C x y

解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4, 所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

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即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

25 y0(当 k=0 时也成立). 36 16 25 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③ 将③代入椭圆方程
x2 y2 =1,得 ? 25 9
1 (x-4)(k≠0) k

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50(k 0 ? 4) 9k ? 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一). 【例5】 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相
2 2

切. 过点 P ? ?4,0? 作斜率为

1 的直线 l , 使得 l 和 G 交于 A, B 两点, 和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx , 则由渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相切可得:
2 2

5k k2 ?1

? 5.

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所以, k ? ?

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ?

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x2 ? 4 y 2 ? m . 把直线 l 的方程 y ? 则 x A ? xB ?

8 , 3

1 ? x ? 4 ? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m x A xB ? ? (*) 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴ ? xP ? x A ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ? ,
2

即: ? xB ? 4?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 .

x2 y 2 ? ? 1. 所以,双曲线的方程为 28 7
(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 于 l 的平行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P ? x0 , y0 ? ,则

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直 28 a 2

?

?

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? 28 a 2
两式作差得:

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
28 ? a2

?0

由于

y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? ? 0, 28 a 2
x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

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又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以,

a2 1 ? .所以, 112 2

a 2 ? 56 ,椭圆 S 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 28 56

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为 横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用 到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

【例6】 设抛物线过定点 A ? ?1,0? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解: (1)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物线的定义可 知: AF ? 点A到直线x ? 1 的距离=2 .
2 2 所以, 4 x ? y ? 2 .

1 平分, 2

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ?
2

y2 ?1 4

? x ? 1? .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以, 要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? 椭圆方程得:

1 x ? b ,代入 k

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以, ? ? 即: 4k ? k b ? 1 ? 0
2 2 2

? 4k 2 ? 1 ? 2 4b2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 , 2 k2 ? k ?

(*) ? k ? 0? .

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又线段 MN 恰被直线 x ? ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM ? xN ? ? 2? ?? ?. 2 2 4k ? 1 ? 2?

所以, bk ?

4k 2 ? 1 . ?2

代入(*)可解得: ?

3 3 ?k? 2 2

? k ? 0? .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? .

? 1 ? 2

? ?

在l : y ? ?

1 1 1 1 4k 2 ? 1 x ? b 中,令 x ? ? ,可解得: y0 ? ?b ? ? ? ?2k . k 2 2k 2k 2k

将点 P ? ? , ?2k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ?

? 1 ? 2

? ?

3k . 2

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 4 4

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它 参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的 另一种解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知:

? 1 ? 2

? ?

?4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? . ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4
两 式 相 减 得 :

4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? yN ?? yM ? yN ? ? 0
又 由 于 B

? 1? xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1, ? 2?
y ,代入上式得: k ? ? 0 . 2
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yM ? yN ? 2 y0 ,

yM ? yN 1 =? xM ? xN k
P M



B'

又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, y0 ? ? 所以, m ? y0 ?

? 1 ? 2

? ?

1 k ? m. 2

1 3 k ? y0 . 2 4 1 与椭圆的交点,如图) ,所以, 2

由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 x ? ?

? 1 ? 2

? ?

yB ' ? y0 ? yB .
也即: ? 3 ? y0 ? 3 . 所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨 论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥 曲线相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0” 与 “弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的.

? 1 ? 2

? ?

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