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放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)


2010 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜 能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数 列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1.(1)求

?
n

2 4k
2

的值;
?1
? 2

(2)求证:

k ?1

?

n

1 k
2

?

k ?1

5 . 3

解析:(1)因为

2 4n ? 1
2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
4

?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

,所以

?

n

2 4k
2

k ?1

?1

?1?

1 2n ? 1

?

2n 2n ? 1

(2)因为

1 n
2

?
2

1 n ? 1 4

?

1 ? ? 1 ? 2? ? ? 2 2n ? 1 2n ? 1 ? 4n ? 1 ?

,所以

?

n

1 k
2

k ?1

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

奇巧积累:(1)

1 n
2

?

4 4n
2

?

4 4n ? 1
2

1 ? ? 1 ? 2? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)
1

1 C n ?1 C n
2

?

2 ( n ? 1) n ( n ? 1)

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ( n ? 1)

(3) T

r ?1

? Cn ?
r

1 n
r

?

n! 1 1 1 1 1 ? r ? ? ? ? (r ? 2) r ! ( n ? r )! n r ! r ( r ? 1) r ?1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ?
n

1 2 ?1
? 1 2
n

?

1 3? 2

?? ?

1 n ( n ? 1)

?
1

5 2
? n?2 ? n

(5)
n

1 2 ( 2 ? 1)
n

?

1 2 ?1
n

(6)

n?2

(7) 2 ( n ? 1 ? (9) (10)
1 k (n ? 1 ? k )
n ( n ? 1) ! ?

n) ?

1 n

? 2( n ?

n ? 1)

(8)

1 1 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ?? n ? n ?1 n ( 2 n ? 1) ? 2 ( 2 n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2

1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ?1? n n ?1? k ? ? n ?1? k
1 n! ? 1 ( n ? 1) !

(11)

1 n

?

2 ( 2n ? 1 ?

2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

? n? 1 2

2 ? n? 1 2

(11)
n

2

n 2

( 2 ? 1)

?

2
n

n n

( 2 ? 1)( 2 ? 1)

?

2
n

n n

( 2 ? 1)( 2 ? 2 )

?

2
n

n ?1 n ?1

( 2 ? 1)( 2

? 1)

? 2

1
n ?1

?1

?

1 2 ?1
n

(n ? 2)

(12)

1 n
? ? ? ?
3

?

1 n?n
?
2

?

1 n ( n ? 1)( n ? 1)
n ?1 ? 2 n

? ? ? ? ?
?

1 n ( n ? 1)
1 n ?1

?

? 1 ?? n ( n ? 1) ? ?
1 n ?1

1 n ?1 ? n ?1

1 n ?1

1 ? ?? n ?1?
n

n ?1

?

(13) (14)

2

n ?1

? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 3 ? 3 ( 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 1 ?
n n n n

2

n

?

1 2 ?1
n

?

2

n

3
k ? 2 k !? ( k ? 1)! ? ( k ? 2 )! ? 1 ( k ? 1) ! ? 1 (k ? 2) !

3

(15)

1 n ( n ? 1)
i? j

?

n ?

n ? 1(n ? 2)

(15)

i ?1 ?
2

j ?1
2

i? j

?

i ? j
2 2

2

( i ? j )( i ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i ?1 ?
2

j ?1
2

?1

例 2.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 ( 2 n ? 1)
2

?

7 6

?

1 2 ( 2 n ? 1)

(n ? 2)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2
4 16 36 4n 2

4n
2n ? 1 ? 1

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

(4) 求证: 2 ( 解析:(1)因为

n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

2 ( 2 n ? 1 ? 1)

1 ( 2 n ? 1)
2

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?

n

1 ( 2 i ? 1)
2

?1?

i ?1

1 1 1 1 1 1 ( ? ) ?1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)
2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

?

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

?

n?2 ?

进行裂项,最后就可以得到答案
n

(4)首先

1 n

? 2( n ? 1 ?

n) ?

2 n ?1 ? n

,所以容易经过裂项得到

2 ( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

再 证
1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 1 2 2 ? n? 1 2

而 由 均 值不 等 式知 道 这 是 显 然成 立 的, 所 以

1?

1 2

?

1 3

?? ?
6n

1 n

?
1 4

2 ( 2 n ? 1 ? 1)
1 9 1 n
2

例 3.求证:

( n ? 1)( 2 n ? 1)

? 1?

?

?? ?

?

5 3

解析:一方面:因为

1 n
2

?
2

1 n ? 1 4

?

1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

,所以

?

n

1 k
2

k ?1

1 1 1 2 5 ?1 ? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3

另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2
4 9 n

1 2?3

?

1 3? 4

?? ?

1 n ( n ? 1)

? 1?

1 n ?1 1 9

?

n n ?1 1 n
2

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时,
6n

n n ?1

?

6n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

,当 n ? 1 时,
1 4 1 9 1 n
2

6n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

? 1?

1 4

?

?? ?

,

6n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

? 1?

?

?? ?

,所以综上有

( n ? 1)( 2 n ? 1)

? 1?

1 4

?

1 9

?? ?

1 n
2

?

5 3
? 1 . a n ?1 ? f ( a n )

例 4.(2008 年全国一 卷 ) 设函数 f ( x ) ? x ? x ln x .数列 ? a n ? 满足 0 ? a 明: a k ?1 ? b . 解析:由数学归纳法可以证明 ? a n ? 是递增数列,故存在正整数 m
a k ?1 ? a k ? b

1

.设 b ? ( a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b a 1 ln b

.证

? k

,使 a m

? b

,则

,否则若 a m

? b ( m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? a m ? b ? 1 知

a m ln a m ? a1 ln a m ? a1 ln b ? 0 , a ? a k ? a k ln a k ? a 1 ? k ?1

?a
m ?1

k

m

ln a m

,因为

?a
m ?1

k

m

ln a m ? k ( a 1 ln b )

,

于是 a k ? 1

? a 1 ? k | a1 ln b |? a 1 ? ( b ? a 1 ) ? b

例 5.已知 n , m ?

N ? , x ? ? 1, S m ? 1 ? 2
m

m

?3

m

?? ? n

m

,求证:

n

m ?1

? ( m ? 1) S n ? ( n ? 1)

m ?1

? 1.

解析:首先可以证明: (1 ?
n
m ?1

x ) ? 1 ? nx
n

? n

m ?1

? ( n ? 1)

m ?1

? ( n ? 1)
m ?1

m ?1

? (n ? 2)

m ?1

?? ?1

m ?1

?0 ?

? [k
k ?1

n

m ?1

? ( k ? 1)

m ?1

]

所以要证

n

m ?1

? ( m ? 1) S n ? ( n ? 1)
m ?1 n

? 1 只要证:
? ( n ? 1)
m ?1

? [k
k ?1

n

m ?1

? ( k ? 1)

] ? ( m ? 1) ? k
k ?1

m

? 1 ? ( n ? 1)

m ?1

?n

m ?1

? n

m ?1

? ( n ? 1)

m ?1

?? ? 2

m ?1

?

1m ? 1

?

? [( k
k ?1

n

? 1)

m ?1

?k

m ?1

]

故只

要证

? [k
k ?1

n

m ?1

? ( k ? 1)

m ?1

] ? ( m ? 1) ? k
k ?1

n

m

?

? [( k
k ?1

n

? 1)

m ?1

?k

m ?1

]

,即等价于
m ?1 k m ?1 k

k

m ?1

? ( k ? 1)

m ?1

? ( m ? 1) k

m

? ( k ? 1)

m ?1

?k

m

,即等价于 1 ?

? (1 ?

1 k

)

m ?1

,1 ?

? (1 ?

1 k

)

m ?1

而正是成立的,所以原命题成立. 例 6.已知 a n 解析: T 所以
Tn ? 2 4 3
n n

? 4 ?2
n

n

,T

n

?

2

n

a1 ? a 2 ? ? ? a n
n 1 2

,求证: T

1

? T 2 ? T3 ? ? ? T n ?

3 2

.

n

? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ?
1 2 3 n

4 (1 ? 4 )
n

1? 4

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

?

4 3

( 4 ? 1) ? 2 (1 ? 2 )
n n

n

?
n

2 4
n ?1

n

?
n ?1

2 4
n ?1

n

? ?2
n ?1

3?2 4
n ?1

n n ?1

( 4 ? 1) ? 2 (1 ? 2 )
n

? 3

4 3

? 2?2

? 3

2 3

? 3?2

? 2

?

3 2

?

2
n 2

n n

2 ? (2 ) ? 3 ? 2 ? 1

?

3 2

?

2 (2 ? 2
n

? 1)( 2

? 1)

?

3? 1 1 ? ? n ?1 ? n ? 2?2 ?1 2 ? 1?

从而 T

1

? T 2 ? T3 ? ? ? T n ?

3? 1 1 1 1 1 3 ? ? n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? n ? ? 2? 3 3 7 2 ?1 2 ?1? 2

例 7.已知 x1
1
4

n ( n ? 2 k ? 1, k ? Z ) ? 1,x ? ? ? n ? n ? 1( n ? 2 k , k ? Z )
?
4

,求证:

1 x 4 ? x5
?
4

x 2 ? x3
1
4

?? ?
4

1 x2 n x2 n ?1
?
4

?

2 ( n ? 1 ? 1)( n ? N *)

证明:

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

1 4n ? 1
2

?
4

1 4n
2

?

1 2? ? n

?

2 2 n

,因为

x 2 n x 2 n ?1
n ?

2 n ?

n ?1

,所以
4

1 x 2 n x 2 n ?1
1
4

?

2 2 n
?

?

2 n ? n ?1

2( n ?1 ?

n)

所以
4

1 x 2 ? x3

?
4

1 x 4 ? x5

?? ?

2 ( n ? 1 ? 1)( n ? N *)

x2 n x2 n ?1

二、函数放缩
n 例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3 n ? 5 n ? 6 ( n ? N * ) . n

2

3

4

3

6

解析:先构造函数有 ln x ? 因为 1
2 1 3 1 3
n

x ?1 ?

ln x x

? 1?

1 x

,从而 ln 2
2

?

ln 3 3

?

ln 4 4

?? ?

ln 3 3
n

n

? 3 ?1? (
n

1 2

?

1 3

?? ?

1 3
n

)

?

?? ?

1 1 ? ?1 1? ?1 1 1 1 1 1? ? 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ?? n ? n ?? ? n ? 2 ?1 3 ? ?2 3? ?4 5 6 7 8 9? ?2

?

n ?1 ? 3 n ?1 9 ? 3 ?3 3? ? 9 ?? ? ??? ? ? n ??? ?? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? 2 ?3

5

? 5n ? ? ? 6 ?

n 所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3 n ? 1 ? 5 n ? 3 n ? 5 n ? 6 n

2

3

4

3

6

6

例 9.求证:(1) ? ? 2 , ln 2 ?
2

?

?
?

ln 3 3
?
?

?

?

?? ?

ln n n
?

?

?

2n ? n ? 1
2

2 ( n ? 1)
n
2 2

(n ? 2)
1 n ( n ? 1)

解析:构造函数

f (x) ?

ln x x

,得到 ln n
n
?

ln n n
2

2

,再进行裂项 ln
n
? 1( ? ? 2 )

?1?

1 n
2

?1?

,求和后可以得到答案

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln 例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ?
2 3

n

? n

?

1 n ?1

? ln( n ? 1) ? 1 ?

1 2

?? ?

1 n

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln n ? 1 ? n
n

n ?1

?? ?

2 1

? ln

n ?1 n

? ln

n n ?1

? ? ? ln 2

函数构造形式:

ln x ? x , ln x ? 1 ?

1 x

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 首先:
f (x) ? 1 x
n

y

,
n

S ABCF ?

x n?i
? ln

?

1

,从而, 1
n

?i ?

n?i

?

1 x

? ln x | n ? i ? ln n ? ln( n ? i )
n

E F

D C B n
1 2 ?

取 i ? 1 有, 1
n

, n ? ln( n ? 1)

O

A n-i

x
1 3 ?? ? 1 n ?1 ? ln( n ? 1)

所以有 1
2

? ln 2

, 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln( n ? 1) , 1
3
n

n

n ?1

? ln( n ? 1) ? ln n ,相加后可以得到:

另一方面

S ABDE ?

n?i

?

1 x

,从而有

1 n?i

n

?i ?

n?i

?

1 x

? ln x | n ? i ? ln n ? ln( n ? i )
n

取 i ? 1 有,

1 n ?1

? ln n ? ln( n ? 1)

,

所以有 ln( n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1
2 n

?

1 3

?? ?

1 n ?1

? ln( n ? 1) ? 1 ?

1 2

?? ?

1 n

2

例 11.求证: (1 ?

1 2!

)( 1 ?

1 3!

) ? ? ? (1 ?

1 n!

)? e



(1 ?

1 9

)( 1 ?

1 81

) ? ? ? (1 ?

1 3
2n

)?

e

.

解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: (1 ? 1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ) ? ? ? [1 ? n ( n ? 1)] ? e 2 n ? 3 解析:
3 n ( n ? 1) ? 1

ln[ n ( n ? 1) ? 1] ? 2 ?

,叠加之后就可以得到答案

函数构造形式:

ln( x ? 1) ? 2 ?

3 x ?1

( x ? 0) ?

1 ? ln( 1 ? x ) x

?

3 x ?1

( x ? 0)

(加强命题)

例 13.证明: ln 2
3

?

ln 3 4

?

ln 4 5

?? ?

ln n n ?1

?

n ( n ? 1) 4

( n ? N *, n ? 1)

解析:构造函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ( x) ?
'

1 x ?1

?1 ?

2? x x ?1

,令 f ' ( x ) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x ) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x ) ? f ( 2 ) ? 0 ,所以 ln( x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n 2 ? 1 有, ln n 2 ? n 2 ? 1 所以 ln n
n ?1 ? n ?1 2

,所以 ln 2
3

?

ln 3 4

?

ln 4 5

?? ?

ln n n ?1

?

n ( n ? 1) 4

( n ? N *, n ? 1)

例 14. 已知 a 解析:

1

? 1, a n ? 1 ? (1 ?

1 n ?n
2

)an ?

1 2
n

.

证明 a n ,

? e

2

.

a n ? 1 ? (1 ?

1 n ( n ? 1)

)a n ?

1 2
n

? (1 ?

1 n ( n ? 1)

?

1 2
n

)a n

然后两边取自然对数,可以得到 然后运用 ln( 1 ? 放缩思路:
a n ? 1 ? (1 ? n
2

ln a n ? 1 ? ln( 1 ?

1 n ( n ? 1)

?

1 2
n

) ? ln a n

x ) ? x 和裂项可以得到答案)
1 ? n ? 1 2
n

)a n ?

ln a n ? 1 ? ln( 1 ?

1 n ?n
2

?

1 2
n

) ? ln a n ?

? ln a n ?
n ?1

1 n
2

? n

?

1 2
n

。于是
1 i ?i
2

ln a n ? 1 ? ln a n ?

1 n ?n
2

?

1 2
n



?

(ln a i ? 1 ? ln a i ) ?

i ?1

?

n ?1

(

?

1 2
i

) ? ln a n ? ln a 1 ? 1 ?

1 n

?

i ?1

1 n ?1 1? ( ) 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln a n
2
n

? ln a 1 ? 2 ? a n ? e .
2

注:题目所给条件 ln (1 ? x ) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论
? n ( n ? 1)( n ? 2 ) 来放缩:
a n ? 1 ? (1 ? 1 n ( n ? 1) )a n ? 1 n ( n ? 1) ?
1 n ( n ? 1)
a n ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 n ( n ? 1) )( a n ? 1) ?

ln( a n ? 1 ? 1) ? ln( a n ? 1) ? ln( 1 ?

)?

1 n ( n ? 1)

.

?

? [ ln( a
i?2

n ?1

i ?1

? 1) ? ln( a i ? 1)] ?

?

n ?1

1 i ( i ? 1)

? ln( a n ? 1) ? ln( a 2 ? 1) ? 1 ?

1 n

?1



i?2

即 ln( a n ? 1) ? 1 ? ln 3 ? a n ? 3 e ? 1 ? e 2 . 例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x ) 是在 ( 0 , ?? ) 上处处可导的函数,若 x ? (I)求证:函数
g (x) ? f (x) x

f '( x) ? f ( x)

在 x ? 0 上恒成立.

上是增函数;
在 ( 0 , ?? )

(II)当 x 1 求证:

? 0 , x 2 ? 0时 , 证明 : f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ? x 2 ) ;
x 在 x ? ? 1且 x ? 0 时恒成立,
ln 4 ? ? ?
2

(III)已知不等式 ln( 1 ? x ) ?
1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

1 ( n ? 1)
2

ln( n ? 1)

2

?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).
*

解析:(I)

g '(x) ?

f '(x) x ? f ( x) x
2

? 0

,所以函数

g (x) ?

f (x) x

在 ( 0 , ?? )

上是增函数

(II)因为
f ( x1 ) x1
f (x2 ) x2 ?

g (x) ?

f (x) x

在 ( 0 , ?? )

上是增函数,所以

?

f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2
f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

? f ( x1 ) ?

x1 x1 ? x 2
x2

? f ( x1 ? x 2 )

? f (x2 ) ?

x1 ? x 2

? f ( x1 ? x 2 )

两式相加后可以得到 (3)
f ( x1 ) x1 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 )
? f ( x1 ) ? x1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )

f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n

f (x2 ) x2

?

f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n

? f (x2 ) ?

x2 x1 ? x 2 ? ? ? x n

? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )

……

f (xn ) xn

?

f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n

? f (xn ) ?

xn x1 ? x 2 ? ? ? x n

? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )

相加后可以得到:
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )

所 以 x 1 ln x 1 ? x 2 ln x 2 ? x 3 ln x 3 ? ? ? x n ln x n ? ( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ) l n x 1 ? x 2 ? ? ? x n ) (
? 1 1 1 1 2 2 2 2 ? ? 2 ln 2 ? 2 ln 3 ? 2 ln 4 ? ? ? ln( n ? 1) 2 ? 3 4 ( n ? 1) ?2
? 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 3 4 ( n ? 1) ?2
? 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 3 ( n ? 1) ?2



xn ?

1 (1 ? n )
2

, 有

? ?? ? ?
? ? ? ?

? ? 1 1 1 ? ? ln ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 ( n ? 1) ? ?2

? ? 1 ? 1 1 ? ? ln ? ? ? ? ?? ? ? ? ( n ? 1) n ? ? 2 ?1 3? 2 ?

1 ?? 1 1 ? n ? ? ?? ?? ? ? ? ? n?2? 2 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? n ? 1 ?? 2

所以

1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
ln 4
2

ln( n ? 1)

2

?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).
*

(方法二) ln( n ? 1)
( n ? 1)
2

2

?

ln( n ? 1)

2

( n ? 1)( n ? 2 )

?

( n ? 1)( n ? 2 )

1 ? ? 1 ? ln 4 ? ? ? ? n ?1 n ? 2 ?

所以

1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

1 ? n ln 4 ?1 2 ln( n ? 1) ? ln 4 ? ? ?? ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ?

1 n ?1

,所以

1 2
2

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

ln( n ? 1)

2

?

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).
*

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x ) ? x ln x . 若 a ? 0 , b ? 0 , 证明 解析:设函数 g ( x ) ?
? f ( x ) ? x ln x , ? g ( x ) ? x ln x ? ( k ? x ) ln( k ? x ), ? 0 ? x ? k. ? g ? ( x ) ? ln x ? 1 ? ln( k ? x ) ? 1 ? ln 令 g ? ( x ) ? 0 , 则有 x k ? x ?1? 2x ? k k ? x x k ? x , k 2
k 2
f ( x ) ? f ( k ? x ), ( k ? 0)

: f ( a ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? f ( b ).

? 0?

? x ? k.

∴函数
g ( x )在 [

k 2

)上单调递增,在
,k

(0,

]

上单调递减.

∴ g ( x ) 的最小值为 而g(k ) ?
2

k g( ) 2

,即总有 g ( x ) ?

k g ( ). 2

k k k f ( ) ? f ( k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2 ) ? f ( k ) ? k ln 2 , 2 2 2

? g ( x ) ? f ( k ) ? k ln 2 ,

即 令x

f ( x ) ? f ( k ? x ) ? f ( k ) ? k ln 2 .
? a, k ? x ? b,

则k

? a ? b.

? f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ( a ? b ) ln 2 .
? f ( a ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? f ( b ).

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m ( b ? a ? 0 , m ? 0 ) 和 b ? b ? m ( a ? b ? 0 , m ? 0 )
a a? m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)( 1 ? 1 )( 1 ?
3
(1 ? 1 2
2 ? 4 ? 6 ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)

1 5

) ? (1 ?

1 2n ? 1

)?

2n ? 1



)( 1 ?

1 4

)( 1 ?

1 6

) ? (1 ?

1 2n

)?

1 2n ? 1

也可以表示成为

?

2n ? 1

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)
2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n
? b? m a? m

?

1 2n ? 1

解析: 利用假分数的一个性质 b
a

(b ? a ? 0 , m ? 0 )

可得

2 1
? (

?

4 6 2n ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n

1 2

?

3 5 2n ? 1 ? ? ? ( 2 n ? 1) 4 6 2n

2 1

?

1 1 1 4 6 2n 2 )? ? ? ) ? 2 n ? 1 即 (1 ? 1)( 1 ? )( 1 ? ) ? (1 ? 3 5 2n ? 1 3 5 2n ? 1

2 n ? 1.

例 20.证明: (1 ? 1)( 1 ?

1 4

)( 1 ?

1 7

) ? (1 ?

1 3n ? 2

)?

3

3 n ? 1.

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ?? ? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 1 ? 5 4 ? 8 7 ?? ? 3n ? 1 3n ? 2 ? 4 7 10 3n ? 1 . ? ?? ? ? 3 6 9 3n

(加 1)

(加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? ?2 5 8 ? ? ? ?? ? ? 3n ? 2 ? ?1 4 7
2

?

4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 . ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ( 3 n ? 1) 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1

所以有 (1 ? 1)( 1 ? 四、分类放缩 例 21.求证: 1 ?
1 2 ? 1 3

1 4

)( 1 ?

1 7

) ? (1 ?

1 3n ? 2

)?

3

3 n ? 1.

?? ?

1 2 ?1
n

?

n 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 2 ?1
n

?1?

1 2

?(

1 4

?

1 4

)?(

1 2
3

?

1 2
3

?

1 2
3

?

1 2
3

)?? ?

(

1 2
n

?

1 2
n

?? ?

1 2
n

)?

1 2
n

?

n 2

? (1 ?

1 2
n

)?

n 2
n

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ? A ? 与曲线 y 列 ?B n ? 满足 OA
n

?

2x

( x ≥0)上的点

? OB

n

?

1 n
N

,直线 A n B n 在 x 轴上的截距为 a n .点 B n 的横坐标为 b n , n ?
?

N

?

. < n ? 2008 .

(1)证明 a n > a n ? 1 >4, n ?

; (2)证明有 n 0
? 1 ? 0, ? n

? N

?

,使得对 ? n

? n0

都有 b 2
b1

?

b3 b2

?? ?

bn b n ?1

?

b n ?1 bn

解析:(1) 依题设有: A

n

? ? , B n bn , ?

?

2 bn , ? bn ? 0 ?

?

,由 O B

n

?

1 n

得:

bn ? 2 bn ?
2

1 n
2

,? b n ?

1 n
2

? 1 ? 1, n ? N

*

,又直线 A

n

Bn 在

x 轴上的截距为 a n 满足
? 2 n b n ? 1 ? n b n ? 0, b n ? 2 ?
2 2 2

? an

? ? 0?? ?

2 bn ?

1? ? 1? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

an ?

bn 1 ? n 2 bn

1 n bn
2

? an ?

bn 1 ? n 2 bn

?

bn 1 ? n 2 bn 1 ? 2 n bn
2

?

?

?

1 n bn
2

?

2 n bn
*

? bn ? 2 ?

2 bn ? 4 ? a n ?

1 n
2

?1 ?1?

2?2

1 n
2

?1

显然,对于 1
n

?

1 n ?1

? 0

,有 a n

? a n ? 1 ? 4, n ? N

(2)证明:设
1 cn ? n
2

cn ? 1 ?

bn ?1 bn

,n? N

*

,则

?1 ? 1 n 1
2

1

? n ? 1?
?1 ?1

2

?1

? 1 1 ? n ? 2 ? 2 ?n ? n ? 1? ?
2

? ? ? ?

1 n 1 n
2 2

?1 ?1 1 ?1

?1 ?

? n ? 1?

2

?

2n ? 1

n 2

2

?1 ?1 ? 1 n
2

2n ? 1

? n ? 1?

2

?1

? n ? 1?

2

? ? 1 ? ? ?2 2 ? ?
2

? ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2 ? n ? 1? 1 ?1 ? 2 n ? 1

? ? 2 n ? 1 ? ? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1 ? ? n ? 0,? c n ?

1 n?2

,n? N

*

设 S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n , n ? N * ,则当 n ? 2 k ? 2 ? 1 ? k ? N * ? 时,
Sn ? 1 3
1 2
2

?

1 4

?? ?
1 2
3

1 2 ?1
k

?

1 2
k

1 ? ? 1 1 ? ?1 1? ? 1 ? ? ? ??? 2 ? ? ? 3 ? ? ? k ?1 ?? ? k ? 2 ? ?2 ?1 2 ? ? 3 4 ? ? 2 ?1
1 ? k ?1 。 2
0

? 2?

?2 ?
2

?? ? 2

k ?1

?

2

k

所以,取 n 0 ? 2 4 0 0 9 ? 2 ,对 ? n ? n 都有:
? ? b ? b b ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? 1 ? n ?1 ? ? b1 ? ? b2 ? bn ? ? ? ? ? ? 4017 ? 1 ? ? Sn ? Sn ? ? 2008 0 ? 2 ?

故有 b 2 ? b 3 ? ? ? b n ? b n ? 1 < n ? 2008 成立。
b1 b2 b n ?1 bn

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c ( b ? 1, c ? R ) ,若 f ( x ) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].

若数列 { b n } 满足 b 证明你的结论。 解析:首先求出

n

?

f (n) n
3

(n ? N )
*

,记数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ,问是否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 T n

? A

?并

2 2 f ( x ) ? x ? 2 x ,∵ b ? f ( n ) ? n ? 2 n ? 1 n 3 3

n

n

n

∴ T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,…
2 3 n
3 4 4 2 5

6

7

8

8

2

1 2
k ?1

?1

? 2

1
k ?1

?2

?? ?

1 2
k

? 2

k ?1

?

1 2
k

?

1 2

k ,故当 n ? 2 时, T ? k ? 1 , n

2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m ? 2 时,必有 T 故不存在常数 A 使 T n
? 2m ? 2 2 ?1? m ? A.

n

? A

对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 表示的平面区域为 D ,设 D 内整数坐标点的个数为 a n .设
n n

例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? x ? 0 ,

? ? y ? 0, ? y ? ? nx ? 3 n ?

Sn ?

1 a n ?1

?

1 a n?2

?? ?

1 a 2n

,
7 n ? 11 36
1 a3 1 a 2n 7 n ? 11 36

当 n ? 2 时,求证: 解析:容易得到 a n
1 2 1 3 1 4

1 a1

?

1 a2

?

1 a3

?? ?

1 a 2n

?

. 只要证 S
1 2
n

? 3 n ,所以,要证 1
a1

?

1 a2

?

?? ?

?

2

n

?1?

1 2

?

1 3

?? ?

1 2
n

?

7 n ? 11 12

,因为

S2n ? 1 ?

?(

?

)?(

1 5

?

1 6

?

1 7

?

1 8

)?? ? ( 2

1
n ?1

?1

? 2

1
n ?1

?2

?? ?

? 1?

1 2

? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ?

3 2

?

7 12

( n ? 1) ?

7 n ? 11 12

,所以原命题得证.

五、迭代放缩 例 25. 已知 x
n ?1

?

xn ? 4 xn ? 1

, x1 ? 1

,求证:当 n ? 2 时,

?|x
i ?1

n

i

? 2|? 2 ? 2

1? n

解析:通过迭代的方法得到 x ? 2 ? n 例 26. 设 S 解析:
sin 1! 2
1

1 2
n ?1

,然后相加就可以得到结论 1 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|< n

n

?

?

sin 2! 2
2

?? ?

sin n ! ,求证:对任意的正整数 2
n

| S n ? k ? S n |? |

sin( n ? 1)! 2
n ?1

?

sin( n ? 2 )! 2
n?2

?? ?

sin( n ? k ) 2
n?k

|

?|

sin( n ? 1)! 2
n ?1

|?|

sin( n ? 2 )! 2
n?2

| ?? ? |

sin( n ? k ) 2
n?k

|? 2

1
n ?1

? 2

1
n?2

?? ? 2

1
n?k

?

1 2
n

(

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
k

) ?

1 2
n

? (1 ?

1 2
k

)?

1 2
n

又2n

? (1 ? 1)

n

? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n
0 1 n

所以

| S n ? k ? S n |?

1 2
n

?

1 n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1
2 ? 1?3 2?4 ? 1?3 ?5 2?4?6 ?? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n ? 2n ? 2 ? 1

解析: 设 a

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n



a n ?1 ?

2n ? 1 2 ( n ? 1)

a n ? 2 ( n ? 1) a n ? 1 ? 2 na n ? a n

,从而

a n ? 2 ( n ? 1) a n ? 1 ? 2 na n ,相加后就可以得到
a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 ( n ? 1) a n ? 1 ? 2 a 1 ? 2 ( n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1
2

?

1?3 2?4

?

1?3 ?5 2?4?6

?? ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

?

2n ? 2 ? 1

例 28. 求证: 1
2

?

1?3 2?4

?

1?3 ?5 2?4?6

?? ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

?

2n ? 1 ? 1

解析: 设 a
2n ? 1 2 ( n ? 1)

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

则 ,从而

a n ?1 ?

a n ? [ 2 ( n ? 1) ? 1] a n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n ? a n ? 1

a n ? 1 ? [ 2 ( n ? 1) ? 1] a n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n ,相加后就可以得到
a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( 2 n ? 1) a n ? 1 ? 3 a 1 ? ( 2 n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 2 ? 2n ? 1 ? 1

例 29. 若 a 1 解析:

? 1, a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ,求证:

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

? 2 ( n ? 1 ? 1)

a n ? 2 ? a n ?1 ? n ? 2 ? a n ? a n ?1 ? 1 ?

1 a n ?1

? a n?2 ? a n

所以就有 七、分类讨论

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 a1

? a n ?1 ? a n ? a 2 ? a 1 ? 2 a n ?1 a n ? a 2 ? 2 n ? 1 ? 2

例 30.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n
m ? 4

? 2 a n ? ( ? 1) , n ? 1 . 证明:对任意的整数
n

,有

1 a4

?

1 a5

?? ?

1 am

?

7 8

解析:容易得到 a

n

?

2 3

?2

n?2

? ( ? 1)

n ?1

?. ,

由于通项中含有 ( ? 1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:
n

当 n ? 3 且 n 为奇数时
? 3 2 ? 2
n?2

1 an

?

1 a n ?1

?

1 1 3 2 ?2 ( n?2 ? n ?1 ) ? ? 2n?3 n ?1 n?2 2 2 2 2 ?1 2 ?1 ?2 ?2 ?1 3

n?2

n ?1

?2
2 n?3

n ?1

?

3 2

?( 2

1
n?2

? 2

1
n ?1

)

(减项放缩) ,于是
1 ? 1 a5 ?? ? 1 am ?

2

①当 m ? 4 且 m 为偶数时
? 1 2 ? 3

1 a4

? (

1 a5

?

1 a6

)?? ? (

1 a m ?1

?

1 am

)

a4

1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am ? 1 ? 1 ?? ? 1 ?
a4 a5 am 1 a m ?1

②当 m ? 4 且 m 为奇数时 八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 解析:由
f (x) ? 2x ?1 x ?2
2

(添项放缩)由①知

1 a4

?

1 a5

?? ?

1 am

?

1 a m ?1

?

7 8

由①②得证。
.

.若对一切 x ? R , ? 3 ? af ( x ) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
? ( x ? 2 ) ( x ? 1)
2 2

( f (x) ?

1 2

)( f (1) ? 1) ?



2( x ? 2)
2

2

( f ( x) ?

1 2

)( f (1) ? 1) ? 0



?

1 2

? f ( x )? 1

由此再由

f ( x ) 的单调性可以知道

f ( x ) 的最小值为 ?

1 2

,最大值为 1

因此对一切 x ? R , ? 3 ? af ( x ) ? b ? 3 的充要条件是, ? ? 3 ? ? 1 a ? b ? 3 ?
2 ? ??3 ? a ? b ? 3 ?

即 a , b 满足约束条件 ? a ? b ? ? 3
? a ? ? ?? ? ? ?? ? ?b?3 1 2 1 2 a?b?3 a ? b ? ?3



由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 S n
? 1? 2 ? 2 ?3 ?? ? n ( n ? 1) . 求证 n ( n ? 1)
2 ? Sn ? ( n ? 1) 2
2

.

解析: 此数列的通项为 a
?k ? k ( k ? 1) ?

k

?

k ( k ? 1) , k ? 1, 2 , ? , n .

k ? k ?1 2

? k ?
( n ? 1) 2

1 2


?

?k
k ?1

n

? Sn ?

? (k ?
k ?1

n

1 2


)

即 n ( n ? 1)
2

? Sn ?

n ( n ? 1) 2

?

n 2

2

?

.
a?b 2

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
Sn ?

,若放成

ab ?

k ( k ? 1) ? k ? 1

则得

? ( k ? 1) ?
k ?1

n

( n ? 1)( n ? 3 ) 2

?

( n ? 1) 2

2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 a1 ?? ? 1 an ?
n

a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n n

?

a1 ? ? ? a n
2

2

n

其中, n ? 2 , 3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33.已知函数 f ( x ) ? 解析:
? (1 ?
f (x) ? 4
x x

1 1? a ?2
1 1? 4
x

,若
bx

f (1) ?

4 5

,且

f ( x ) 在[0,1]上的最小值为

1 2

,求证:

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ) ? n ? 2

1
n ?1

?

1 2

.

1? 4

?1?

?1?

1 2?2
x

( x ? 0 ) ? f (1) ? ? ? f ( n ) ? (1 ?

1 2?2

)

1 2?2
2

) ? ? ? (1 ?

1 2?2
n

)? n?

1 4

(1 ?

1 2

?? ? 2

1
n ?1

)? n? 2

1
n ?1

?

1 2

.

例 34.已知 a , b 为正数,且 1
a

?

1 b

?1

,试证:对每一个 n ? N ? , ( a ? b ) n ? a n ? b n ? 2 2 n ? 2 n ? 1 .
? 1 b )? 2? a b ? b a ? 4 ,故 ab

解析: 由 1
a

?
n

1 b

? 1 得 ab
1 n ?1

? a ? b ,又 ( a ? b )( 1
a
r n?r

? a ? b ? 4 ,而

(a ? b)

n

? Cna
0

? Cna

b ? ? ? Cna

r n n b ? ? ? Cnb ,

1 令 f ( n ) ? ( a ? b ) n ? a n ? b n ,则 f ( n ) = C n a n ?1 b ? ? ? C nr a n ? r b r ? ? ? C nn ?1 ab n ?1 ,因为 C ni

? Cn

n?i

,倒序相加得

2 f (n ) = C (a
1 n

n ?1

b ? ab

n ?1

) ? ? ? C (a
r n

n?r

b ?a b
r r

n?r

)?? ?C

n ?1 n

( ab
n

n ?1

?a

n ?1

b) ,

而 a n ?1 b ? ab n ?1 ? ? ? a n ? r b r ? a r b n ? r ? ? ? ab n ?1 ? a n ?1 b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n ? 1 ,
1 则 2 f ( n ) = ( C n ? ? ? C nr ? ? ? C nn ?1 )( a r b n ? r ? a n ? r b r ) ? ( 2 n ? 2 )( a r b n ? r ? a n ? r b r )

? (2 ? 2) ?
n

2

n ?1

,所以

n f (n ) ? (2 ? 2) ? 2

n

,即对

每一个 n ? N ? , ( a ? b ) n ? a n ? b n ? 2 2 n ? 2 n ? 1 .
n ?1 1 例 35.求证 C n ? C n2 ? C n3 ? ? ? C nn ? n ? 2 2

( n ? 1, n ? N )
n ?1

1 3 解析: 不等式左 C n ? C n2 ? C n ? ? ? C nn ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
n 2

n ?1

? n ? 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2
n 2

n ?1

=n ?2

2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x ) ? e ? e
x ?x
n

,求证: f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( n ) ? ( e n ? 1 ? 1) 2
)? e
x1 ? x 2

解析: f ( x

1

) ? f ( x 2 ) ? (e

x1

?

1 e
x1

) ? (e

x2

?

1 e
x2

?

e e

x1 x2

?

e e

x2 x1

? e

1
x1

?e

x2

? e

x1 ? x 2

?1

n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( n ) ? ( e n ? 1 ? 1) 2

例 37.已知 f ( x ) ? 解析:
(k ? 1 k

x?

1 x

,求证: f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2 n ) ? 2 n ( n ? 1) n
1 k 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k 1 k (2n ? 1 ? k )

)( 2 n ? 1 ? k ?

2n ? 1 ? k

) ? k (2n ? 1 ? k ) ?

?

?

? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2

其中: k 所以 ( k

? 1, 2 , 3 , ? , 2 n
? 1 k

,因为 k ? 2 n ? k (1 ? k ) ? 2 n
1 2n ? 1 ? k ) ? 2n ? 2

? ( k ? 1)( 2 n ? k ) ? 0 ? k ( 2 n ? 1 ? k ) ? 2 n

)( 2 n ? 1 ? k ?

从而 [ f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2 n )] 2 ? ( 2 n ? 2 ) 2 n ,所以 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2 n ) ? 2 n ( n ? 1) n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: S ? 1 ? n
n 1 n ?1 1 nk ? 2 ? 1 n?2 ?? ? 1 n?2 1 nk ? 1 1 nk ? 3 ? 3. 2 1 nk ? 1 ? 1 n )

解析: 2 S ? ( 1 ? n
n

1 nk ? 1

)?(

1 n ?1

?

)?(

?

)?? ? (

因为当 x ? 0 , y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ?
x y

2 xy

,所以 ( x ? y )( 1 ? 1 ) ? 4 ,所以 1 ? 1 ?
x
4 n ? nk ? 1 ? 4 n ( k ? 1) n ? nk ? 1

4 x? y

,当且仅当 x ? y 时取到等号.

y

x

y

所以 2 S 所以

n

?

4 n ? nk ? 1

?

4 n ? 1 ? nk ? 2

?

4 n ? 2 ? nk ? 3

?? ?

Sn ?

2 ( k ? 1) 1? k ? 1 n

?

2 ( k ? 1) k ?1

? 2?

4 k ?1

?

3 2

所以

Sn ?

1 n

?

1 n ?1

?

1 n?2

?? ?

1 nk ? 1

?

3 2

例 39.已知 f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,求证: f ( 0 ) ? f (1) ? 解析:
f ( 0 ) ? f (1) ? a [ x1 (1 ? x1 )][ x 2 (1 ? x 2 )] ?
2

a

2

.

16
2

a

.

16

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n-2n 1· n)≥2n(2n-2). f’(x 解析: 由已知得
f ?( x ) ? 2 x ? 2 x ( x ? 0)




(1)当 n=1 时,左式= ( 2 x ? 2 ) ? ( 2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ? ( x )] n ? 2 n ?1 ? f ? ( x n ) ? ( 2 x ? 2 ) n ? 2 n ?1 ? ( 2 x n ? 2 ) n
x x
? 2 (C n x
n 1 n?2

? Cn x
2

n?4

?? ? Cn

n?2

1 x
1
n?4

? Cn

n ?1

1 x
1
n?2

).

令S

? Cnx
1

n?2

? Cn x
2

n?4

? ? ? Cn

n?2

x

n?4

? Cn

n ?1

x

n?2

由倒序相加法得:
2S ? C n (x
1 n?2

? x
2

1
n?2

) ? Cn (x
2

n?4

? x

1
n?4

) ?? ? Cn

n ?1

( x

1
n?2

? x

n?2

)

? 2 (C n ? C n ? ? ? C n
1

n ?1

) ? 2(2 ? 2) ,
n

所以 S ? ( 2 n ? 2 ). 所以 [ f ? ( x )] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? 2 n ( 2 n ? 2 ) 成立 . 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x ) ?
a
x

?

? x ( a ? 1)

(1)求函数 f ( x ) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 (2)令 S ( n ) ? C n f ' (1) ? C n2 f ' ( 2 ) ? ? ? C nn ?1 f ' ( n ? 1) 求证: S ( n ) ? ( 2
' n ? 2) ? f ( ) 2

n

( 2 ) S ( n ) ? C n ( a ln a ? 1) ? C n ( a ln a ? 1) ? ? ? C n
1 2 2

n ?1

(a

n ?1

ln a ? 1) )
n

(1)由 f ( x ) ? a ln a ? 1, f ( x ) ? 0 , 即: a ln a ? 1,? a
' x ' x

x

?

1 ln a

, 又 a ? 1 ? x ? ? log

a

ln a

? (C a ? C a
1 n 2 n

2

?? ?C
2 n

n ?1 n 2

a

n ?1

) ln a ? ( C
n?2

1 n

?C
n ?1 n

2 n

?? ? Cn
n ?1

n ?1

同理: f ( x ) ? 0 , 有 x ? ? log
'

a

ln a , ? log
a

?
ln a , ?? ) 上递增;

1 2

[C ( a ? a
1 n n n

n ?1

) ? C (a
n

?a

)?? ?C

(a

? a )] ln a ? ( 2 ? 2 )

所以 f ( x ) 在 ( ?? , ? log
'

a

ln a ) 上递减,在( ln a ) ? 1 ? ln ln a ln a

所以 f ( x ) min ? f ( ? log 若 f ( x ) min ? 0 , 即 ? a 的取值范围是

? a 2 ( 2 ? 2 ) ln a ? ( 2 ? 2 )
n

a

1 ? ln ln a ln a

? 0 , 则 ln ln a ? ? 1,? ln a ?
1

1 e

? ( 2 ? 2 )( a
n

2

n ' n ln a ? 1) ? ( 2 ? 2 ) f ( ), 2

1? a ? ee

所以不等式成立。

★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f (x) ?

f

?x? ?

1 1? x

?

1 1? a

?

ax ax ? 8

, x ? ? 0 , ? ? ? .对任意正数 a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .

,
1 1? x ? 1 1? a ? 1 1? 8 ax

若令 b ? 8 ,则
ax

abx ? 8

① ,而

f

?x? ?
1 1? x

1 1? x

?

1 1? a

?

1 1? b

② ,

(一) 、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

1 1? x

?



1 1? a

?

1 1? a



1 1? b

?

1 1? b

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2 a ? 2 bx ? 4 4 2 abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以
f

?x? ?

1 1? x

?

1 1? a

?

1 1? b

?

1 1? x

?

1 1? a

?

1 1? b

?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x )(1 ? a )(1 ? b )
?1.

?

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x )(1 ? a )(1 ? b )

?

1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx (1 ? x )(1 ? a )(1 ? b )

(二) 、再证 f ? x ? ? 2 ;由①、②式中关于 x , a , b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为 ,此时
1 1? b
1 1? x ? 1 1? a ? 2 1? 5 ?1

?1

, .

f

?x? ?
8 ab

1 1? x
1 1? x

?

1 1? a
ab ab ? 8

?

1 1? b

? 2

(ⅱ) 、当 a ? b ? 7 ③,由①得 , 因为 同理得

x ?



?

, ④ ⑥

1 1? b

?1 ?

b 1? b

?

b

2 2

4 (1 b ) ?

?[ 1 ?

b 2 ( 1b ?

2

]

所以
)

1 1? b

? 1?

b 2 (1 ? b )

1 1? a

? 1?

a 2 (1 ? a )

⑤ ,于是

f

?x? ?

2?

1? a b ? ?2 ? 2 ?1? a 1? b ?

ab ? ? ab ? 8 ? ?

今证明

a 1? a

?

b 1? b

? 2

ab ab ? 8

⑦, 因为

a 1? a

?

b 1? b

? 2

ab (1 ? a )(1 ? b )



只要证

ab ,即 a b ? 8 ? (1 ? a )(1 ? b ) ,也即 a ? b ? 7 ,据③,此为显然. ? ( 1? a ) ( 1 b ) a b ? 8 ?
f (x) ? 2

ab

因此⑦得证.故由⑥得



综上所述,对任何正数 a , x ,皆有 1 ? f ? x ? ? 2 . 例 43.求证: 1 ? 解析:一方面:
1 n ?1 ? 1 n?2 ?? ? 1 3n ? 1 ? 2

1 n ?1

?

1 n?2

?? ?

1 3n ? 1

?

1 2

1 2 ?1 1? ?? ? ? ? ? ?1 2 4 ?3 4?

(法二)

1 n ?1

?

1 n?2

?? ?

1 3n ? 1

?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?? ? ? ? ??? ??? ?? ?? 2 ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ? ? 3n ? 1 n ? 1 ??

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? 2 ? ( 3 n ? 1)( n ? 1) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1)( 3 n ? 1) ?

? 1 1 1 ? ?2 n ? 1? ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 2 ? ( 2 n ? 1) ? ( n ? 1) ( 2 n ? 1) ? n ? ( 2 n ? 1) ? n

? ( 2 n ? 1) ? ? ?1 2 ? ( 2 n ? 1) ?
2

另一方面: 十、二项放缩
2
2
n

1 n ?1

?

1 n?2

?? ?

1 3n ? 1

?

2n ? 1 n ?1

?

2n ? 2 n ?1

? 2

? (1 ? 1)
0

n

0 1 n 1 ? C n ? C n ? ? ? C n , 2 n ? C n0 ? C n ? n ? 1 ,

n

? Cn ? Cn ? Cn ?
1 2

n

2

? n ? 2 2
1 n ?n
2

2

n

? n ( n ? 1)( n ? 2 )

例 44. 已知 a

1

? 1, a n ? 1 ? (1 ?

)an ?

1 2
n

.

证明 a n
1

?e

2

解析:

a n ? 1 ? (1 ?

1 n ( n ? 1)
1

)a n ?
1

n ( n ? 1)
. ?

? a n ? 1 ? 1 ? (1 ?

1 n ( n ? 1)

)( a n ? 1) ?

ln( a n ? 1 ? 1) ? ln( a n ? 1) ? ln( 1 ?

n ( n ? 1)

)?

n ( n ? 1)

? [ ln( a
i?2

n ?1

i ?1

? 1) ? ln( a i ? 1)] ?

?

n ?1

1 i ( i ? 1)

? ln( a n ? 1) ? ln( a 2 ? 1) ? 1 ?

1 n

?1



i?2

即 ln( a n ? 1) ? 1 ? ln 3 ? a n ? 3 e ? 1 ? e 2 . 例 45.设
a n ? (1 ? 1 n )
n

,求证:数列 { a n } 单调递增且 a n ? 4 .

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n ? 1 ? a n ? 1 ? ( n ? 1) b n ( b ? a ) (证略) 整理上式得 a n ? 1 ? b n [( n ? 1) a ? nb ]. ( ? ) 以a
?1? 1 n ?1 ,b ? 1 ? 1 n

代入( ? )式得 (1 ?

1 n ?1

)

n ?1

? (1 ?

1 n

) .

n

即 { a n } 单调递增。 以
a ? 1, b ? 1 ? 1 2n

代入( ? )式得 1 ?

(1 ?

1 2n

) ?
n

1 2

? (1 ?

1 2n

)
1 n

2n

? 4.

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有
(1 ? 1 n )
n

(1 ?

)

n

? 4

,又因为数列 { a n } 单调递增,所以对一切正整数 n 有

? 4



注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3 . 简证如下:
n

利用二项展开式进行部分放缩: a ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? C 1 ? 1 ? C 2 ? 1 ? ? ? C n 1 . n n n n 2 n
n n n n

只取前两项有 a
Cn
k

n

?1? C ?
1 n

1 n

?

2 . 对通项作如下放缩:

1 n
k

?

1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k! n n n k! 1 ? 2? 2 2
2 2 2 2 1 ?1/ 2

n ?1 故有 a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2 ) ? 3 . n 2 n ?1

②上述数列 { a n } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景: 已知 i , m , n 是正整数,且 1 ?
i ? m ? n . (1)证明 n i A i ? m i A i ; (2)证明 (1 ? m ) m n
1 n

n

? (1 ? n ) . (01 年全国卷理科第 20 题)
m
1

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b 且1 ?
i ? m ? n,

} : b n ? (1 ? n ) n

是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列 {( 1 ? n ) n } 递减,

故 (1 ? m )

1 m

1

? (1 ? n ) n ,

即 (1 ? m ) n ? (1 ? n ) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概 率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 2 1 ? n . 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a , 从而
?1 ? ?1 ? ?? ?d? ?? ?d? ?2 ? ?2 ?
n n 1? n

1 2

, b 成等差数列,设 a

?

1 2

? d,b ?

1 2

?d



a

n

?b

n

? 2

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n
3

?

8 ( n ? 1)( n ? 2 )

. ,展开得
n 2 ? n ( n ? 1) 8 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 6 , 8

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到
3

3 n 1 n ( ) ? (1 ? ) 2 2

(1 ?

1 2

)

n

? 1? Cn ?
1

1 2

? Cn ?
2

1 2
2

? Cn ?
3

1 2
3

?? ?1?

即 (1 ?

1 2

)

n

?

( n ? 1)( n ? 2 ) 8

,得证.

例 48.求证: ln 3 ? ln 2
n

? ln( 1 ?

1 2n

)?

ln 2 n

.

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x ), x ? N * , y ? N * ,满足: ①对任意 a , b ? N * , a ? b ,都有 af ( a ) ? bf ( b ) ? af ( b ) ? bf ( a ) ; ②对任意 n ? N * 都有
f [ f ( n )] ? 3 n
*

.

(I)试证明: f ( x ) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f ( 6 ) ? f ( 28 ) ; (III)令 a n
? f (3 ), n ? N
n *

,试证明:.

n 4n ? 2



1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af ( a ) ? bf ( b ) ? af ( b ) ? bf ( a ) ,所以可以得到 ( a ? b ) f ( a ) ? ( a ? b ) f ( b ) ? 0 , 也就是 ( a ? b )( f ( a ) ? f ( b )) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f ( a ) ? f ( b ) ,也就是说 f ( x ) 为 N 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 ( a ? b )( f ( a ) ? f ( b )) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到
( f ( x ) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到 1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2
*

① ②

接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f ( 2 ) ? f [ f (1)] ? 3 , f ( 3 ) ? f [ f ( 2 )] ? 6 , f ( 6 ) ? f [ f ( 3 )] ? 9 在此比较有技巧的方法就是:
81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f ( 28 ) ? 55
f ( 9 ) ? f [ f ( 6 )] ? 18 , f (18 ) ? f [ f ( 9 )] ? 27 , f ( 27 ) ? f [ f (18 )] ? 54 , f ( 54 ) ? f [ f ( 27 )] ? 81



当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f ( 6 ) ? f ( 28 ) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 { a n } 的通项公式时也会遇到困难.
f [ f ( 3 )] ? 3
n n ?1 n ?1 n n n ) ? f { f [ f ( 3 )]} ? 3 f ( 3 ), ? a n ? 1 ? 3 a n , 所 以 数 列 a n ? f (3 n ), n ? N * 的 方 程 为 a n ? 2 ? 3 , 从 而

, f (3
?

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

1 4

(1 ?

1 3
n

),

1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3 n ? (1 ? 2 ) n ? C n0 ? 2 0 ? C n ? 2 1 ? 2 n ? 1 n

4

3

4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n
4 3 4
n 4n ? 2 ≤ 1 a1 ? 1 a2 ?? ?

1 2n ? 1
1 an ?

)?

1

2n n ,所以,综上有 ? ? 4 2n ? 1 4n ? 2

1 4

.

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x ? [0,1],总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1 ? ? 4 ;

② 若x

1

? 0, x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 1, 则有

f

? x1 ?

x2 ? ? f

? x1 ? ?

f ( x 2 ) ? 3.

(Ⅰ)求 f?0?的值; (Ⅱ)求证:f?x?≤4; (Ⅲ)当 x ? ( 1
3
n

, 3

1
n ?1

]( n ? 1, 2, 3, ? ? ?)

时,试证明: f ( x ) ? 3 x ? 3 .

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x 2 ? 0 , 由①对于任意 x ? [0,1],总有 f

?x? ? 3 ,

∴ f (0 ) ? 3

又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f (0) ? 3. (Ⅱ)解:任取 x1 , x 2 ? [0,1], 且设 x1 ? x 2 , 则 f ( x 2 ) ? f [ x1 ? ( x 2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 3, 因为 x 2
1

? x1 ? 0 ,所以 f ( x 2 ? x1 ) ? 3 ,即 f ( x 2 ? x1 ) ? 3 ? 0,
f ( x2 )

∴ f (x ) ?

.
f ( x ) ? f (1) ? 4

∴当 x ? [0,1]时,

.

(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: f ( 1 ) ? 1 ? 3( n ? N *) n ?1 n ?1
3 3

(1) (2) 由

当 n=1 时,

f(

1 3
0

) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ?

1 3
0

? 3 ,不等式成立;

假设当 n=k 时, f (
3

1
k ?1

)? 3

1
k ?1

? 3( k ? N *)

f( 3

1
k ?1

)? f[

1 3
k

?(

1 3
k

?

1 3
k

)] ? f (

1 3
k

)? f(

1 3
k

?

1 3
k

)?3

? f(

1 3
k

)? f(

1 3
k

)? f(

1 3
k

)?6

得3 f ( 1
3

k

)? f( 3

1
k ?1

)?6? 3

1
k ?1

? 9.

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1)(2)可知,不等式 、
f( 3 1
n ?1

)? 3

1
n ?1

? 3 对一切正整数都成立.

于是,当 x ? (

1 3
n

, 3

1
n ?1

]( n ? 1, 2, 3, ? ? ?)

时, 3 x ? 3 ? 3 ?

1 3
n

?3? 3

1
n ?1

?3? f( 3

1
n ?1

)



而 x ? [0,1], f ? x ? 单调递增 ∴
f( 1 3
n

)? f( 3

1
n ?1

)

所以,

f (x) ? f ( 3

1
n ?1

) ? 3 x ? 3.

例 50. 已知: a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1, a i ? 0 求证:
a1
2

( i ? 1, 2 ? n )
an
2

a1 ? a 2

?

a2

2

a2 ? a3

?? ?

a n ?1 a n ?1 ? a n
2 1

2

?

an ? a 1
2 2

?

1 2

解析:构造对偶式:令 A
B ? a
2 2

?

a

a1 ? a 2

?

a

a2 ? a3

?? ?

a n ?1 a n ?1 ? a n
2 1

2

?

an

2

a n ? a1

a1 ? a 2

?

a

2 3

a2 ? a3

?? ?

a

2 n

a n ?1 ? a n

?

a

a n ? a1

2 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? B ? a 1 ? a 2 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n ? a n ? a 1

a1 ? a 2

a2 ? a3

a n ?1 ? a n

a n ? a1

= ( a 1 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a 3 ) ? ? ? ( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a 1 ) ? 0 ,? A ? B

又?
? A ?

ai ? a
2

2 j j

ai ? a

?

1 2

(a i ? a j )
2 2

( i , j ? 1, 2 ? n )
2 2 2 2 2 2

1 2

(A ? B) ?

a2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1 1 a1 ? a 2 ( )? ?? ? ? 2 a1 ? a 2 a2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1

?

1 4

?( a 1

? a 2 ) ? ( a 2 ? a 3 ) ? ? ? ( a n ?1 ? a n ) ? ( a n ? a 1 ) ? ?

1 2

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在 ? a , b ? 上的可积函数 f ? x ? ? ? ? ? 0 ,则 b f ? x ? d x ? ? ? ? 0 . ?a 例 51.求证: ? e
?e
?

.

? 解析: ? e ? e ? ? ln ? ? ln e ,∵ ln ? ? ln e ? ? ln x ? ? ? x ? ? e ? e ? ?e

?

?
e

? ln x ? d? ? ? ? x ?

?

?
e

1 ? ln x x
2

dx



x ? ? e,?

? 时, 1 ? ln x 2
x

?0


?

?

?
e

1 ? ln x x
2

dx ? 0



∴ ln ?
?

?

ln e e

,?

e

?e .

利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 n ? 1 ? 1 , ? n ? 1, n ? N ? . ? ?
2 3 n

解析: 考虑函数

f

?x? ?

1 x

在区间 ? i , i ? 1? ? i ? 1, 2, 3, ? , n ? 上的定积分.
1 x
1 x dx ?

如图,显然 1 ? 1 ? 1 ?
i i
1 i ?

?

i ?1 i

d x -①
n ?1

对 i 求和,

?

n

i ?1

??
i ?1

n

i ?1 i

?

1 x

dx

1

? ?2 ?

x? ?1

n ?1

? 2

?

n ?1 ?1 .
1 n?2 1 n?3 1 2n 7 10

?

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 1 ?
n ?1

?

?? ?

?

.

解析:考虑函数 f ? x ? ? ∵

1 1? x
i

在区间 ? i ? 1

i ? ? n ,n? ? ?

? i ? 1, 2, 3, ? , n ? 上的定积分.

1 n?i

?

1 n

?

1 1? i n

?

?

n i ?1 n

1 1? x

d x -②



?

n

1 n?i ?

i ?1

?

n

1 n

?

1 1? i n

?

??
i ?1

n

i n i ?1 n

1 1? x

dx ?

?

1 0

1 1? x

1 d x ? ? ln ? 1 ? x ? ? ? ln 2 ? 7 ? ?0

.

10

i ?1

例 54. (2003 年全国高考江苏卷) a ? 0 , 设 如图, 已知直线 l : y ? ax 及曲线 C :y ? x 2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a 1 ( 0 ?

a1 ? a

) .

从 C 上的点 Q ? n ? 1 ? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn ? 1 ,再从点 Pn ? 1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Q n ? 1 . Q n ? n ? 1, 2, ? , n ? 的横
n

坐标构成数列 ? a n ? . (Ⅰ)试求 a n ? 1 与 a n 的关系,并求 ?a n ? 的通项公式;

(Ⅱ)当 a

? 1, a 1 ?

1 2

时,证明

? (a
k ?1

n

k

? a k ?1 ) a k ? 2 ?

1 32



n (Ⅲ)当 a ? 1 时,证明 ? k ?1

( a k ? a k ?1 ) a k ? 2 ?

1 3

.

解析: a n ? a (

a1 a

n ?1

)

2

(过程略).
1 2

证明(II) :由 a ? 1 知 a n ? 1 ? a n2 ,∵ a ∵当 k ? 1 时, a ∴
n

1

?

,∴ a

2

?

1 4

, a3 ?

1 16

.

k?2

? a3 ?

1 16



k ?1

? ( a k ? a k ?1 ) a k ? 2 ?

1 16

k ?1

? (a k ? a k ? 1 ) ?

n

1 16

( a1 ? a n ? 1 ) ?

1 32

.

证明(Ⅲ) :由 a ∴ (ak 显然 ∴

? 1 知a

k ?1

? ak

2

.
2

? a k ? 1 ) a k ? 2 ? ( a k ? a k ? 1 ) a k ? 1 恰表示阴影部分面积,
( a k ? a k ?1 ) a k ?1 ?
2

?

ak a k ?1

x dx

2

④ .

? (a
k ?1

n

k

? a k ?1 ) a k ? 2 ?

? (a
k ?1

n

k

? a k ?1 ) a k ?1 ?
2

??
k ?1

n

ak a k ?1

x dx

2

?

?

a1 0

x dx ?

2

1 3

a1 ?
3

1 3

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ①
1 i ??

?

i ?1 i

1 x

; dx ? 2 ? i ? 1 ? i ?
? ? i ? i ?1? ? ? ? ln ? 1 ? ? n? n ? ?

② 1
n?i

i

?

?

n i ?1 n

1 1? x

d x ? ln ? 1 ?
sin ? i sin ? i ?1

; ;

③ s in ? i ? s in ? i ? 1
1 ? s in ? i ? 1
2

?

?

1 1? x
1 3
2

d x ? ? i ? ? i ?1

④ (a

k

? a k ?1 ) a k ?1 ?
2

?

ak a k ?1

x dx ?
2

?a

3 k

? a k ?1 ?
3

.

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证:
1 3?1
1 3?1 ? 1 3? 2 ?1 ?? ? 1 3?2
n ?1

?1

?

4 7

解析:

?

1 3? 2 ?1
1

?? ?

1 3?2
n ?1

?1

?

1 4

?

1 7

?? ?

1 3?2
n ?1

?1

?

11 28

?

1 3?2
2

?? ?

1 3?2
n ?1

?

11 28

?

1 3

?

4 1? 1 2

?

47 84

?

48 84

?

4 7

例 56. 设 a 解析:

n

?1?

1 2
a

?

1 3
a

a

?? ?
1 n
a

1 n
a

, a ? 2 . 求证: a n ? 2 .
1 2
2

an ? 1 ?

1 2
a

?

1 3

?? ?

?1?

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

.

又k 2 于是 a
1 2
2

? k ? k ? k ( k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k

变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ? 1 ? , 2
k
1 n ) ? 2?

1 k ( k ? 1)

?

1 k ?1

?

1 k



n

?1?

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

? 1 ? (1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n

? 2.

2 例 57. 设 数 列 ?a n ? 满 足 a n ? 1 ? a n ? na n ? 1? n ? N ? ? , 当 a 1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1,

有 (i ) a n ? n ? 2 ;

( ii )

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

?? ?

1 1 ? an

?

1 2

解析: (i ) 用数学归纳法:当 n 利 用 上 述

? 1 时显然成立,假设当 n

? k 时成立即 a k ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时
结 论
1 ak ? 1 ? 2

a k ? 1 ? a k ( a k ? k ) ? 1 ? a k ( k ? 2 ? k ) ? 1 ? ( k ? 2 ) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii )











a k ?1 ? 2 a k ? 1
1
k ?1

















a k ? 1 ? 1 ? 2 ( a k ? 1) ? a ? 1 ? ? ? 2 k ? 1 ( a ? 1 ) ? 2 k ? 1 ? 4 ? 2 k ? 1 ? k 1
1 n 1? ( ) 1 2 ? ? ? . 1 4 2 1? 2 1

.

?

n

1 1? ai

?

i ?1

?

n

1 2
i ?1

i ?1

注:上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: a k ? 1 ? ( k ? 2 )( k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接 使用了部分放缩的结论 a k ? 1 ? 2 a k ? 1 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |? | x | ( x ? R ) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |? | x | (ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
2

y P A

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ? | sin x |? | x | 当 x ? ? 时 | sin x |? | x |
2

O

T

B

x

所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |? | x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |? | x | 所以综上有 | sin x |? | x | ( x ? R ) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 f ( x ) ? A ,只要证明 f ( x ) ? A ? B ( B ? 0 ) ,其中 B 通过 寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n ( n ? N *) ,都有 ?
n

1 k k
1

? 3.

k ?1

解析:
k

1 k

?

1 k
3

?

1 k ( k ? 1)
2

?

( k ? 1) k ( k ? 1)

? ? ? ? ?

1 ( k ? 1) k

?

? 1 ?? k ( k ? 1) ? ?

1 k ?1 ? k ?1

? ? ? ? ?

1 ( k ? 1) k

?

? ?? k ( k ? 1) ? ? 1

1 k ?1 ? k ?1

?

1 ? ? k ?

1 k ?1

?

1 ? ?? k ?1?

k ?1 ? 2

k ?1

?

1 ? ? k ?

1 k ?1
1 k k

?

1 ? ?? k ?1 ?
1 1 ? 1 3 ?

2k 2
1 2

?

1 k ?1
1 4 ? 1

?

1 k ?1
? 1 5 ?? ? 1 k ?1 ? 1 k ?1 ? 1? 2 2 ? 1 k ? 1 k ?1 ? 3

从而

?

n

? 1?

?

k ?1

3

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 k k ? k 1 k ?1 ? 1 k ? k ? k ?1 ? ? ? ? ? 1 k ( k ? 1) ? 1 k
2

? ?? ? ?

1 k ? k ?1

?

1 k

?

k ? 1

k ?1 ? ?? ?

1 k ?1

?

1 ? ? k ?

? ? 2?? ?

1 k ?1

?

1 ? ? k ?

所以

?

n

1 k k

? 1?

k ?1

?

n

1 k k

? 1 ? 2 (1 ?

1 k

)? 3.

k?2

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其 基本原理为: 欲证明 A ? f ( x ) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x ) ? B ? C ( C ? 0 , A ? B ) . 例 60.已知数列 { a n } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 2 n ? 1 ? a n ? 1 n ?1 n
an

3 n ? 2 ( n ? 2 ).

解析:
2

? 1 2 a n ? ? a n ?1 ? ? a n ?1 ?
2 2

? 2 ? ? a k ?1 ? 2 ? ?
2 2

2

,从而 a n 2 ? a n ?1 2 ? 2 ,所以有
2 2 2

a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 ? 2 ( n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 1 ,所以 a n ?

2n ? 1



an
2

2

? 1 ? ? a n ?1 ? ? a n ?1 ?
2 2

? ,所以 a n 2 ? a n ?1 2 ? 3 ,所以有 2 ? ? a k ?1 ? 3 ? ?
2 2 2 2 2

2

an

? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 ? 3 ( n ? 1) ? 1 ? 3 n ? 2 所以 a n ?

3n ? 2

所以综上有 2 n ? 1 ? a n ?

3 n ? 2 ( n ? 2 ).

引申:已知数列 { a n } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 1 n ?1 n ? a
n

1 ak

?

2n ? 1

.

n

k ?1

解析:由上可知 a n 从而

?

2 n ? 1 ,又

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2

2n ? 3

,所以

1 an

?

1 2n ? 1

?

2 2n ? 1 ? 2n ? 3

?

2n ? 1 ?

2n ? 3

?

n

1 ak

?1?

3?

1?

5?

3 ?? ?

2n ? 1 ?

2n ? 3 ?

2n ? 1(n ? 2)

k ?1

n 1 又当 n ? 1 时, 1 ? 1 ,所以综上有 ? ?

2n ? 1 .
? 0 , a n ?1 ? a n ?1 ? 1 ? a n ( n ? N )
2 2 ?

a1

k ?1

ak

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?a ? , a n ? 0 , a 1
n

.

记 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , T (1) a n
? a n ?1 ;

n

?

1 1 ? a1

?

1 (1 ? a 1 )( 1 ? a 2 )

?? ?

1 (1 ? a 1 )( 1 ? a 2 ) ? (1 ? a n )

.求证:当 n ? N 时.
?

(2) S n

? n ? 2;

★(3) T n ? 3 .

解析:(1) a n ?1 2 ? a n 2 ? 1 ? a n ?1 ,猜想 a n ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时, a 1 ? 1 ,结论成立; (ii)假设当 n ? k ( k ? 1) 时, a k ? 1 ,则 n ? k ? 1( k ? 1) 时, a k ?1 2 ? a k ?1 ? 1 ? a k 2 从而 a k ?1 2 ? a k ?1 ? 2 ? a n ?1 ? 1 ,所以 0 ? a k ?1 ? 1 所以综上有 0 ? a n ? 1 ,故 a n ?1 2 ? a n 2 ? 0 ? a n ?1 ? a n (2) 因 为 a n ?1 2 ? a n 2 ? 1 ? a n ?1 则 a 2 2 ? a 1 2 ? 1 ? a 2 , a 3 2 ? a 2 2 ? 1 ? a 3 , … , a n ?1 2 ? a n 2 ? 1 ? a n ?1 , 相 加 后 可 以 得 到 :
2 2 2 a n ?1 ? a 1 ? n ? ( a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ) ? S n ?1 ? n ? a n ?1 ,所以

S n ? n ? 1 ? a n ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2

2

(3)因为 a n ?1 2 ? a n ?1 ? 1 ? a n 2 ? 2 a n ,从而 a ? 1 ? 2 a n ,有 n ?1
a n ?1
1 (1 ? a 3 ) ? (1 ? a n )( 1 ? a n ? 1 ) 1 (1 ? a 1 )( 1 ? a 2 )( 1 ? a 3 ) ? (1 ? a n )( 1 ? a n ? 1 ) ? a n ?1 2an ? an 2 a n ?1 ? 2 ? a3 2a2 a n ?1
n ?1

1 1 ? a n ?1

?

a n ? 1 ,所以有 2an

? 2 ?

a n ?1
n ?1

,从而
a n ? 1 ,所以 n ?1 2

a2 1 ?

a2 1 ? a2

1 (1 ? a 1 )( 1 ? a 2 )( 1 ? a 3 ) ? (1 ? a n )
Tn ? 1 ? 1 1 ? a2 ? a3 2 ? a4 2
2

? 2
an

an
n 21

a 1 ? ? n n 2 ,所以 ? a2 1 ? a2 2
1 1 ? a2 ? 1 2 ? 1 2
2

?? ?

2

n?2

?1?

?? ? 2

1
n?2

?

2 5 ?1

?1?1? 3

所以综上有 T n ? 3 . 例 61.(2008 年陕西省高考试题)已知数列 { a n } 的首项 (1)证明:对任意的 x
? 0 ,a ≥ n
a1 ? 3 5

,a

n ?1

?

3an 2an ? 1

,n

? 1,, 2 ?



1 1? x

?

1 ? 2 ? 2 ? ? x ? , n ? 1,, ; 2 ? n (1 ? x ) ? 3 ?

(2)证明: a

1

? a2 ? ? ? an ?

n

2

.
3
n n

n ?1

解析:(1)依题,容易得到 a ? n 即证 1 ?
2 3
n

2?3

?1?

3

2 ,要证 x ? 0 ,a ≥ n n

1 1? x

?

1 ? 2 ? 2 ? ? x ? , n ? 1,, , 2 ? n (1 ? x ) ? 3 ?

?

1 1? x

?

1 2 2 1 ? 2 ? ? n ? ? n ? x ? 1 ? 1? ? 2 2 2 (1 ? x ) ? 3 (1 ? x ) ? 1 ? x 3 (1 ? x )
n 2

即证 2 ?
1? x

2?3
n

3 (1 ? x )
2?3 3
n

?

2 3
n

? 1 ? 0 ,设 t ?

1 1? x

所以即证明 ? ( t ) ? ? 2 ? 3 n
3
n

? t ? 2t ?
2

2 3
n

? 1 ? 0 ( 0 ? t ? 1)

从而 ? (1) ? 0 ,即 ?

n

? 2?

2 3
n

?1 ? 0

,这是显然成立的.
1 ? 2 ? , n ? 1,, 2 ? ? x? 2 ? n (1 ? x ) ? 3 ?

所以综上有对任意的 x

?0

,

an ≥

1 1? x

?

(法二)

1 1? x

?

1 ? 2 ? 1 1 ? 2 ? ? x? ? ? ?1?1? x? 2 ? n 2 ? n (1 ? x ) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x ) ? 3 ?
2

?

1 1? x

?

2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ≤ an ? ? ? ? ? an ? ? an ? (1 ? x ) ? ? ? 2 ? a n (1 ? x ) an ? 1 ? x (1 ? x ) ? a n ? ? 1? x
1
2

,? 原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ 1 1? x
n 1? x

?

1 1 1 ?2 ? ? x?? ? 2 ? 2 (1 ? x ) ? 3 1 ? x (1 ? x ) ?

1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? x??? ? 2 3 1 ? x (1 ? x ) ? ?

? 2 ? ? n ? x? ?3 ?

?

?

1 2 2 ?2 ?. ? 2 ? ? ? n ? nx ? 2 ? (1 ? x ) ? 3 3 3 ?

?取
x?

2? 1 ? ?1 ? n ? 1?2 2 2 ? 3? 3 ? 1 ? 2 ?? ? n ? ? ? ? 1? n?3 3 3 ? n ? n ?1 ? ? 3? ?

1 ? ? ?1 ? n ? 3 ? ?




a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ 1? n 1? 1 ? ?1 ? n ? n? 3 ? ? n
2


n ?1? 1 3
n

?

n

2

n ?1

? 原不等式成立.
十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? x .若 f ( x ) 在区间 [ 0 , n ]( n ? N *) 上的最小值为 b n ,令 a n ? ln( 1 ? n ) ? b n .求 证: a1 ? a1 ? a 3 ? ? ? a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ? 1 ?
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ?? ? a2n 2an ? 1 ? 1 .

证明:首先:可以得到 a n ? n n .先证明 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

(方法一)

1? 3 3 ? 5 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 1 1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 22 ? 42 ? ? ? (2n) 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

2

所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

(方法二)因为 1
2

?

1?1 2 ?1
2

?

2 3

,

3 4

?

3?1 4 ?1

?

4 5

,? ,

2n ? 1 2n

?

2n ? 1 ? 1 2n ? 1

?

2n 2n ? 1

,相乘得:

1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1 ? ?

,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

?

1 2n ? 1

. ,因为 A<B,所以 A2<AB,

(方法三)设 A= 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ,B=
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ( 2 n ? 1)

所以 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ?
? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 ? ? 2n ? 1 ?

2

,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

?

1 2n ? 1

.

下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a 3 ? ? ? a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ? 1 ?
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ?? ? a2n

2an ? 1 ? 1

(方法一)因为
1?3 2?4

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2

2n ? 1

,所以

1 2n ? 1

?

2n ? 1 ?

2n ? 1

,所以有

1 2

?

?? ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

?

?

n

2k ? 1 ?

2n ? 1 ? 1

k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ? 令 n ? 2 n ? 1 ,可以得到

2 n?2 ? n

,因为

1 n? 2

?

2 n?2 ? n

,所以

1 n?2

?

n?2 ?

n

1 2n ? 1

?

2n ? 1 ?

2n ? 1

,所以有

1 2

?

1?3 2?4

?? ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2n

?

?

n

2k ? 1 ?

2n ? 1 ? 1

k ?1

(







)



an ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

, a n ?1 ?

2n ? 1 2n ? 2

an





2 ( n ? 1) a n ? 1 ? a n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n ? a n ? 1

,





a n ? 1 ? [ 2 ( n ? 1) ? 1 ] a n ? 1 ? ( 2 n ? 1 ) a n

,从而 a n

? ( 2 n ? 1) a n ? ( 2 n ? 1) a n ? 1
3 2

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? ( 2 n ? 1) a n ? ( 2 n ? 1) a n ? 1 ? ( 2 n ? 1) a n ? 1 ? ( 2 n ? 3 ) a n ? 2 ? ? ? 5 a 2 ? 3 a 1 ? ( 2 n ? 1) a n ?



an ?

1 2n ? 1

, 所 以

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?

2n ? 1 ?

3 2

?

2n ? 1 ? 1

(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时,左边=

?

n

1 2k ? 1

?

2n ? 1 ? 1

k ?1

1 3

,右边=
3 ?1 ? 2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

显然不等式成立;

(ii)假设 n

? k ( k ? 1) 时,

?
?

k

1 2i ? 1
1 2k ? 3

?

2k ? 1 ? 1

,则 n

? k ? 1 时,

i ?1

1 3

?

1 5

?? ?

1 2k ? 1

?

2k ? 1 ? 1 ?

1 2k ? 3

,所以要证明 k ? 1

?

1 2i ? 1

?

2k ? 3 ? 1

,只要

i ?1

证明
2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2 2k ? 1

,这是成立的.

这就是说当 n
a1 a2 ? a1 ? a 3 a2 ? a4

? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有
a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ? 1 a2 ? a4 ? a6 ?? ? a2n ? 2an ? 1 ? 1

?? ?

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 解析:因为 设 g ( x) ?
sin x 2 ? co s x

f (x) ?

sin x 2 ? co s x

.如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x ) ≤ ax ,求 a 的取值范围.
2

f (x) ?

,所以

f '(x) ?

cos x ( 2 ? cos x ) ? sin (cos x ? 2 )
2

x

?

1 ? 2 cos x (cos x ? 2 )
2

f ( x ) ? ax

,则
g '(x) ? f '(x) ? a ?

1 ? 2 cos x (cos x ? 2 )
2

? a ?

cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 (cos x ? 2 )
2

? a ?

2 cos x ? 2

?

3 (cos x ? 2 )
2

? a

, g (0 ) ? 0

因为 | cos

x |? 1 ,所以

2 cos x ? 2

?

3 (cos x ? 2 )
2

1? ? ? ? ? 1, ? 3? ?

(i)当

a ?

1 3

时,

g ' (x) ? 0

恒成立,即 g ( x ) ?
?
2

g ( 0 ) ? 0 ,所以当 a ? 1
3

时, f ( x ) ≤ ax 恒成立.

(ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ?
2

1 2

? 0 ? a ?(

)

,因此当 a ? 0 时,不符合题意.

(iii)当

0 ? a ?

1 3

时,令 h ( x ) ? sin x ? 3 a x ,则 h ?( x ) ? co s x ? 3 a 故当 x ? ? 0, 时, h ?( x ) ? 0 . arccos 3 a ?

因此 h ( x ) 在 ? 0, s 3a ? 上单调增加.故当 x ? (0, arccos 3 a ) 时, h ( x ) ? h (0) ? 0 , arcco 即 sin x ? 3 ax .于是,当 x ? (0, arccos 3 a ) 时, f ( x ) ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? 1
? ? , ?? ? ?3 ?

sin x 2 ? co s x

?

sin x 3

? ax

变式:若 0 ? x i ? arccos 3 a ,其中 i ? 1, 2 ,3 , ? , n 且0 ? a ?
x1 2

1 3

, x 1 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? arccos 3 a ,求证:
x2 2 ? tan x3 2 ? ? ? tan xn 2 ? 3a 2 arccos 3 a .

tan

? tan

证明:容易得到 tan

xi 2

?

sin x i cos x i ? 1

?

sin x i 2

由上面那个题目知道 sin x i ? 3 ax i 就可以知道 tan
x1 2 ? tan x2 2 ? tan x3 2 ? ? ? tan xn 2
1? x

?

3a 2

arccos 3 a

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 f ( x ) ? 1 ? x e ? a x .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
f ?( x ) ? ax
2

? 2?a
2

(1 ? x )

e

? ax

.

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (a?2 a

,

a?2 a

)为减函数, 故在区间(0,

a?2 a

) 内任取一点, 比如取 x

0

?

1 2

a?2 a

, 就有 x0∈(0,

1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求. (ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有
f (x) ? 1? x 1? x e
? ax

≥1 ?

x

1? x

?1

, 这时 a 满足要求.

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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