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2.1指数函数的图象与性质


2.1 指数函数的图象与性质
一、【知识解读】
1.指数幂的有关概念: (1)正整数指数幂 a n ? a? a ? a ? ? ? a (n ? N ? ) ;(2)零指数幂 a ? 1 (a ? 0) ;(3)负整数指数幂
0

??n个? ? ?

a ? m / n ? 1/ a m / n ? 1/

n a m ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ;(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 2.指数幂的运算性质

a ? n ? 1/ a n ? a ? 0, n ? N ? ? ;(4)正分数指数幂 a m / n ? n a m ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ;(5)负分数指数幂

(1) a a ? a 3.根式的内容
r s

r ?s

(a ? 0) ;(2) (a r ) s ? (a s )r ? a rs (a ? 0) ;(3) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0)

(1)根式的定义:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N ,n a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫被开方数。 a?0 ?a n n (2)根式的性质: ①当 n 是奇数,则 a ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? ; a?0 ?? a n ② ( n a ) ? a ;③负数没有偶次方根;④零的任何次方根都是零。 4.指数函数 y=a x (a>0,且 a≠1)的图象与性质 x (1)指数函数:①定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ;3)当 0 ? a ? 1 时为减函数,当 a ? 1 时为增函数。 ②函数图像:

?

?

?

1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限; 2) 图象都以 x 轴为渐近线 (当 0 ? a ? 1 时, 向右无限接近 x 轴, a ? 1 时, 当 图象向左无限接近 x 轴) ; x ?x 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a 与y ? a 的图象关于 y 轴对称。 ③函数值的变化特征: 0<a<1 ① x>0 时,0<y<1 ② x=0 时, y=1 ③ x<0 时, y>1 二、【典例剖析】 〖例 1〗求值:(1) (0.027 )
? 1 3

a>1 ① x>0 时,y>1 ② x=0 时, y=1 ③ x<0 时, 0<y<1

1 7 ? (? ) ? 2 ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) 0 7 9

1

(2) [(3 )

3 8

?

2 3

? ? 4 (5 ) 0.5 ? (0.008 ) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625 0.25 9

2

1

1

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〖例 2〗求下列函数的定义域和值域:(1) y ? 2

3? x

;(2) y ? 0.7 ;(3) y ? ( )5 x ;

1 x

1 2

(4) y ? ( ) x ;(5) y ? 3

1 2

1

x?2

1 ;(6) y ? 8 2 x ?1 ;(7) y ? 1 ? ( ) x 2

1

1 〖例 3〗已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=( )x-1。 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)画出此函数的图象。

〖例 4〗已知 x ? [-3,2],求 f(x)=

1 1 ? x ? 1的最小值与最大值。 x 4 2

〖例 5〗对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a∈R)。 2 ?1
x

(1)探索函数 f(x)的单调性;

(2)是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数?(3) 在(2)的条件下,求函数 f(x)的值域。

三、【思维训练】 | x| 1、函数 y ? a (a>1)的图象是(



2、函数 y= (2 ? 1) /(2 ? 1) 是( ) A.奇函数 B.偶函数
x x

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

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3、若函数 y=ax-2(a>0,且 a?1)的图象恒过点 P,则点 P 的坐标为 ( A.(3,0)
x 2

). D.(0,3) D.既奇且偶函数 )函数 D.偶,减

B.(-1,0)
?x

C.(0,-1) C.非奇非偶函数 C.奇,减 )

4、下列 f ( x) ? (1 ? a ) · a A.奇函数
x

是(



B.偶函数 B.偶,增

5、设 f(x)= 0.5 ,x∈R,那么 f(x)是( )函数,且在(0,+∞)上是( A.奇,增

? 2e x ?1 , x<2 6、设 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2 ?

A.0 B.1 C.2 D.3 ? x ?1 x 7、函数 y ? 2 ? 2 的图象可以由函数 y ? 0.5 的图象经过怎样的平移得到。答:先向( )平移 1 个单 位,再向( )平移 2 个单位( A.左,上 ) C.右,上
2 2

B.左,下

D.右,下
b
1/ 3

8、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3) (1/ a) ? (1/ b) ;(4) a a b (5) (1/ 3) ? (1/ 3) 中恒成立的有( )
a

? b1/ 3 ;

A.1 个
x

B.2 个 )

C.3 个

D.4 个

9、函数 y ? 1/(2 ?1) 的值域是( A.(- ?,1 ) C.(-1,+ ? )
1 2? x

B.(- ?, 0)∪(0,+ ? ) D.(- ? ,-1)∪(0,+ ? )
+

10、下列函数中,值域为 R 的是( A.y=5 B.y= ( )



1 3

1? x

C.y= ( ) x ? 1 )
b

1 2

D.y= 1 ? 2

x

11、当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是( A.(1-a) A. (1/ 2)
1/ b

>(1-a)

b

B.(1+a) >(1+b) )

a

C.(1-a)b>(1-a)

2/b

D.(1-a)a>(1-b)b

12、下列关系中正确的是(
2/ 3 2/ 3

1/ 3 2/ 3 2/ 3 ? (1/ 5) ? (1/ 2)1/ 3 B. (1/ 2) ? (1/ 2) ? (1/ 5) 2/ 3 1/ 3 2/ 3 2/ 3 2/ 3 1/ 3 C. (1/ 5) ? (1/ 2) ? (1/ 2) D. (1/ 5) ? (1/ 2) ? (1/ 2) x 13、若函数 y ? (log 0.5 a ) 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是 (



A.(0,1/2) 14、若函数 f ( x) ? e
x
? ( x ? ? )2

B.(1/2,1)

C.(1/2,+∞)

D.(1,+∞)

的最大值是 m ,且 f ( x) 是偶函数,则 m ? ? ? ________ 15、函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 a/2,则 a 的值为 16、函数 y=lg

10 x ? 2 的定义域是

四、【高考探究】 1、若 0<a<1,b<-1,则函数 f(x)=ax+b 的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、 F ( x) ? (1 ?

2 ) f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) 2 ?1
x
x

A.是奇函数 B.可能是奇函数,也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 3、若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有( ) A. f (2) ? f (3) ? g (0) B. g (0) ? f (3) ? f (2) C. f (2) ? g (0) ? f (3) D. g (0) ? f (2) ? f (3) x x ?1 4、设关于 x 的方程 4 ? 2 ? b ? 0(b ? R)。(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。

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五、达标检测 一、选择题 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ? C. y ? a



x2
loga x

B. y ?

x2 x
x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? log a a ) ③y?

2.下列函数中是奇函数的有几个( ①y? A. 1

ax ?1 a x ?1
B. 2
x

②y?

lg(1 ? x 2 ) x?3 ?3

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

C. 3
?x

D. 4 )

3.函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 4.已知 x ? x A. 3 3 5.函数 y ?
?1

B. y 轴
3 2

C.直线 y ? x
3 ? 2

D.原点中心对称

) ? 3 ,则 x ? x 值为( B. 2 5 C. 4 5 D. ?4 5

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2



2 2 2 C. [ ,1] D. ( ,1] 3 3 3 6 0.7 6 log 6.三个数 0.7 , , 0.7 6 的大小关系为( )
A. [1, ??) B. ( , ??) A. 0.7 ? log 0.7 6 ? 6
6 0.7

B. 0.7 ? 6
6

0.7

? log 0.7 6
6 0.7

C. log 0.7 6 ? 6

0.7

? 0.7

6

D. log 0.7 6 ? 0.7 ? 6 )

7.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A. 3ln x 二、填空题 1. 2 , 3 2 , 5 4 , 8 8 , 9 16 从小到大的排列顺序是 B. 3ln x ? 4 C. 3e
x

D. 3e ? 4
x



2.化简

810 ? 410 的值等于__________。 8 4 ? 411
2

3.计算: (log 2 5) ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2
2 2

1 = 5
x



4.已知 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y ) 的值是_____________。

1 ? 3? x ? 3 的解是_____________。 5.方程 1 ? 3x
6.函数 y ? 8 2 x ?1 的定义域是______;值域是______.
1

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7.判断函数 y ? x lg( x ?
2

x 2 ? 1) 的奇偶性



三、解答题 1.已知 a ?
x

6 ? 5 (a ? 0), 求

a 3 x ? a ?3 x 的值。 a x ? a ?x

2.计算 1 ? lg 0.001 ?

lg 2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值。 3

3.已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。 ? log 2 x 1? x

4.(1)求函数 f ( x) ? log 的定义域。 2 x ?1 3 x ? 2

(2)求函数 y ? ( )

1 3

x 2 ?4 x

, x ? [0,5) 的值域。

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六、课外练习 一.选择题 1、 下列各式中,正确的是___.(填序号) ① ? a ? (?a) 2 ;② a
1
? 1 3

a 3 a ? ? 3 a ;③ a 2 ? ?a(a ? 0) ;④ ( ) 4 ? 3 ( ) 4 (a、b ? 0) . b b
(a ? b) (a ? b) 2 ? ?(b ? a) 2
C. a ? b
2 3 5

2、 已知 a、b ? R ,则等式

成立的条件是___.

A. a ? b B. a ? b 3、下列运算正确的是___. A. (?a ) ? (?a )
2 3 3 2

D. a ? b C. (?a ) ? a
2 3 5

B. (?a ) ? ?a

D. (?a ) ? ?a
2 3

6

4、下列关系式中正确的是()

2 ? 1 ?3 A. ? 2?1.5 ? ? ? 3 ?2?

1

? 1 ?3 ? 1 ?3 B. ? ? ? ? ? ?2? ?2?
x

1

2

C. 2

?1.5

? 1 ?3 ? 1 ?3 ?? ? ?? ? ?2? ?2?


2

1

D.2

?1.5

? 1 ?3 ? 1 ?3 ?? ? ?? ? ? 2? ? 2?

1

2

5、当 x ? ?? 1,1?时函数 f ( x) ? 3 ? 2 的值域是(

? 5 ? A. ? ? ,1? ? 3 ?
x

B.? ?1,1?

? 5? C. ?1, ? ? 3?

D.?0,1?
)

6、函数 y ? a 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 3,则 a =( A.

1 2

B.2
x ?2

C.4

D.

1 4
) y y y y

7.函数 y ? a

? 1.( a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点(

A.(0,1) B.(1,1) C.( 2,0) D.( 2,2)
8.y=a (a>1)的图象是 ( ) 9、x ? [?2,2) ,则 y=3x-1 的值域是( A.( ? 10. 若10 A. ?
2x
x

o ) C.(

1 x A

o

1 x B

o C

x

o

1

x D

8 ,8] 9

B. [ ?

8 ,8) 9


1 ,9] 9

D.[

1 ,9) 9

? 25, 则10 ? x ? (
B.

1 5

1 5

C.

1 50

D.

1 625

二.填空题 1.设 y1 ? 40.9 , y2 ? 80.48 , y3 ? ( ) ?1.5 ,则 y1 , y2 , y3 的大小关系是___. 2.函数 f ( x) 的定义域为[1,4],则函数 f (2 ) 的定义域为___.
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?x

1 2

参考答案 一、选择题 1. D

y ? x 2 ? x ,对应法则不同; y ?

x2 , ( x ? 0) x

y ? a loga x ? x, ( x ? 0) ; y ? log a a x ? x( x ? R)
2. D 对于 y ?

ax ?1 a? x ? 1 a x ? 1 , f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ,为奇函数; a x ?1 a ?1 1? a x

对于 y ?

x lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ,显然为奇函数; y ? 显然也为奇函数; x ?3 ?3 x x

对于 y ? log a 3. 4.

1? x 1? x 1? x , f (? x) ? log a ? ? log a ? ? f ( x) ,为奇函数; 1? x 1? x 1? x
?x
?x

D 由 y ? ?3 得 ? y ? 3 , ( x, y) ? (? x, ? y ) ,即关于原点对称; B

x ? x?1 ? ( x 2 ? x 2 )2 ? 2 ? 3, x 2 ? x

1

?

1

1

?

1 2

? 5

x ?x
5. D

3 2

?

3 2

? ( x ? x )( x ? 1 ? x?1 ) ? 2 5
2 ? x ?1 3

1 2

?

1 2

log 1 (3x ? 2) ? 0 ? log 1 1, 0 ? 3 x ? 2 ? 1,
2 2

6.

D

0.76 ? 0.70 =1,0.7 ? 60 =1, 0.7 6 ? 0 6 log

当 a, b 范围一致时, log a b ? 0 ;当 a, b 范围不一致时, log a b ? 0 注意比较的方法,先和 0 比较,再和 1 比较 7. D 由 f (ln x) ? 3x ? 4 ? 3e 二、填空题 1.
3 ln x

? 4 得 f ( x) ? 3e x ? 4

2 ? 8 8 ? 5 4 ? 9 16 ? 2
1 1 2 3 4

2 ? 2 2 , 3 2 ? 23 , 5 4 ? 2 5 , 8 8 ? 28 , 9 16 ? 2 9 ,


1 3 2 4 1 ? ? ? ? 3 8 5 9 2
810 ? 410 230 ? 220 220 (1 ? 210 ) ? 12 ? 12 ? 28 ? 16 4 11 22 10 8 ?4 2 ?2 2 (1 ? 2 )

2.

16

3. 4.

?2 原式 ? log 2 5 ? 2 ? log 2 5?1 ? log 2 5 ? 2 ? log 2 5 ? ?2
0
( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 0, x ? 2且y ? 1 , log x ( y x ) ? log 2 (12 ) ? 0

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5.

?1

3? x ? 3x ? 3? x ? 3? x ? 3, x ? ?1 x 1? 3
1? ? , ? y | y ? 0, 且y ? 1? 2?

6.

? ?x | x ? ?
奇函数

2 x ? 1 ? 0, x ?

1 1 ; y ? 8 2 x ?1 ? 0, 且y ? 1 2

7.

f (? x) ? x 2 lg(? x ? x 2 ? 1) ? ? x 2 lg( x ? x 2 ? 1) ? ? f ( x)

三、解答题 1.解: a ? 6 ? 5, a
x ?x

? 6 ? 5, a x ? a ? x ? 2 6

a 2 x ? a ?2 x ? (a x ? a ? x )2 ? 2 ? 22

a 3 x ? a ?3 x (a x ? a ? x )(a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) ? ? 23 a x ? a? x a x ? a?x
2.解:原式 ? 1 ? 3 ? lg 3 ? 2 ? lg 300

? 2 ? 2 ? l g 3? l g ? 3 ?6
3.解: x ? 0 且

2

1? x ? 0 , ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 ,即定义域为 (?1,0) ? (0,1) ; 1? x 1 1? x 1 1? x f ( ? x) ? ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) 为奇函数; ?x 1? x x 1? x 1 2 和 , 1) f ( x) ? ? log 2 (1 ? ) 在 (? 1 , 0 ) ( 0上为减函数。 1 x ?1 x

?2 x ? 1 ? 0 2 2 ? 4.解:(1) ? 2 x ? 1 ? 1 , x ? , 且x ? 1 ,即定义域为 ( ,1) ? (1, ??) ; 3 3 ?3 x ? 2 ? 0 ?
5 ?4 (2)令 u ? x ? 4 x, x ? [0,5) ,则 ?4 ? u ? 5 , ( ) ? y ? ( ) ,
2

1 3

1 3

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