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填空题的解法


专题二:填空题的解法 一、题型特点: 数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,是高考数学中的三种常考题型之 一,填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是 数学高考命题改革的试验田,创新型的填空题将会不断出现. 因此,我们在备考时,既要关注这一新动向, 又要做好应试的技能准备.解题时,要有合理的分析和判断,要

求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要 求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题, 绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题, 应答时必须按规则进行切 实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准” 、 “巧” 、 “快”上下功夫。下面 是一些常用的方法。 二、例题解析 (一)定义法 有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。

例 1.

的值是_________________。

解:从组合数定义有:

又 代入再求,得出 466。

例 2. 到 椭 圆

右焦点的距离与到定直线 x=6 距离相等的动点的轨迹方程是

_______________。 解:据抛物线定义,结合图 1 知:

图1

轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数 P=2 且开口方向向左的抛物线,故其方程为: (二)直接法 这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、 运算等过程,直接得到结果。 例 3 设 a ? (m ? 1)i ? 3i, b ? i ? (m ? 1) j, 其中 i,j 为互相垂直的单位向量,又 (a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m= 。

解 : a ? b ? (m ? 2)i ? (m ? 4) j, a ? b ? mi ? (m ? 2) j. ∵ (a ? b) ? (a ? b) , ∴ (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ∴

m(m ? 2) j 2 ? [?(m ? 2) 2 ? m(m ? 4)]i ? j ? (m ? 2)(m ? 4) j 2 ? 0 ,而 i,j 为互相垂直的单位向量,故可
得 m(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 4) ? 0, ∴ m ? ?2 。

f ( x) ?
例 4 已知函数

ax ? 1 x ? 2 在区间 (?2,??) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是



f ( x) ?
解:

ax ? 1 1 ? 2a 1 ? 2a ?a? g ( x) ? x?2 x ? 2 ,由复合函数的增减性可知, x ? 2 在 (?2,??) 上为增函数,∴ a? 1 2。

1 ? 2a ? 0 ,∴

例 5 现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部 13 场足球比赛,每场比赛有 3 种结果:胜、平、负,13 长 比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其它不设奖,则某人获得特等奖的概率为 。

1 解:由题设,此人猜中某一场的概率为 3 ,且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件,故某人全部猜中 1 13 即获得特等奖的概率为 3 。

(三)特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊值 代替,即可以得到正确结果。 例 6 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c 。 若 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 , 则

cos A ? cos C ? 1 ? cos A cos C



3 3 cos A ? , cos C ? 0 5 解:特殊化:令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,则△ABC 为直角三角形, ,从而所求值为 5 。
例 7 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点,若线段 PF、FQ 的长分别为 p、
2

1 1 ? ? q,则 p q



分析:此抛物线开口向上,过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P、Q,当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管 PF、FQ 不定,但其倒数和应为定值,所以可以针对直 线的某一特定位置进行求解,而不失一般性。

(0,
解:设 k = 0,因抛物线焦点坐标为

1 1 1 ), y? x? 4a 把 直 线 方 程 4a 代 入 抛 物 线 方 程 得 2a , ∴

| PF |?| FQ |?

1 1 1 ? ? 4a 2a ,从而 p q 。
2 2 ? 2 ?

例 8 求值 cos a ? cos (a ? 120 ) ? cos (a ? 240 ) ?



3 分析:题目中“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值,于是不妨令 a ? 0 ,得结果为 2 。
?

例 9 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 f(1),f(2),f(4)的大小关系是 。 解: 由于 f(2+t)=f(2-t), 故知 f(x)的对称轴是 x=2。 可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。 ∴f(2)<f(1)<f(4)。

a1 ? a3 ? a9 a ? a 4 ? a10 的值是 例 10 已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 2

--。

a1 ? a3 ? a9 13 a ? a 4 ? a10 = 16 。 解: 考虑到 a1,a3,a9 的下标成等比数列,故可令 an=n 满足题设条件,于是 2
x2 y2 例 11 椭圆 9 + 4 =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范
围是 。

3
解: 设 P(x,y),则当∠F1PF2=90°时,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=5,由此可得点 P 的横坐标 x=±

5,

又当点 P 在 x 轴上时,∠F1PF2=0;点 P 在 y 轴上时,∠F1PF2 为钝角,由此可得点 P 横坐标的取值范围

3
是-

3

5 <x< 5 。

(四)数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结 果。 例 12 是
2 如果不等式 4 x ? x ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实数 a 的取值范围



解:根据不等式解集的几何意义,作函数 y ?

4x ? x 2 和

函数 y ? (a ? 1) x 的图象(如图) ,从图上容易得出实数 a 的取 值范围是 a ? ?2,??? 。

y 例 13 已知实数 x 、 y 满足 ( x ? 3) ? y ? 3 ,则 x ? 1 的最大值
2 2





y 2 2 解: x ? 1 可看作是过点 P(x,y)与 M(1,0)的直线的斜率,其中点 P 的圆 ( x ? 3) ? y ? 3 上,如 y 图,当直线处于图中切线位置时,斜率 x ? 1 最大,最大值为 tan? ? 3 。
(五)等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果。

x ? ax ?
例 14 不等式

3 2 的解集为(4,b) ,则 a= at 2 ? t ?

,b=



解:设 x ? t ,则原不等式可转化为:

3 3 ? 0, at 2 ? t ? ? 0 2 2 ∴a > 0,且 2 与 b (b ? 4) 是方程

1 a ? , b ? 36 8 的两根,由此可得: 。
2 2 2 例 15 不论 k 为何实数,直线 y ? kx ? 1 与曲线 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 4 ? 0 恒有交点,则实数 a 的

取值范围是


2 2

解: 题设条件等价于点 (0, 1) 在圆内或圆上, 或等价于点 (0, 1) 到圆 ( x ? a) ? y ? 2a ? 4 , ∴ ?1 ? a ? 3。 例 16 函数 y ?

4x ? 1 ? 2 3 ? x 单调递减区间为



1 x ? [ ,3], y ? 0. 2 2 4 解:易知 ∵y 与 y2 有相同的单调区间,而 y ? 11? 4 ? 4 x ? 13x ? 3 ,∴可得结果为

[

13 ,3] 8 。

总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空题的关键。 (六) 淘汰法 当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。

例 17. 已知

,则



同时成立的充要条件是____________。

解:按实数 b 的正、负分类讨论。

当 b>0 时

,而等式不可能同时成立;

当 b=0 时,

无意义;

当 b<0 时,若 a<0,则两不等式不可能同时成立,以上三种情况均被淘汰,故只能为 a>0,b<0,容易验证, 这确是所要求的充要条件。 三、练习 1 已知函数 f ?x ? ? 讲解 由 3 ?

. x ? 1 ,则 f ?1 ?3? ? _______ f ?1 ?3? ? x ? 4 ,应填 4.
? ? ? ? . ? 的真子集的个数是 ______
,显然集合 M 中有 90 个元素,其真子集的

x ? 1,得

? 1 ? M ? ?x ? 1 ? log 1 10 ? ? , x ? N 2 ? x ? 集合
讲解

M ? ?x 1 ? lgx ? 2, x ? N?? ?x 10 ? x ? 100, x ? N ?
90

个数是 2

? 1 ,应填 2 90 ? 1 .

??? ? ??? ? ???? ??? ? O ? ABC BC OA ? a , OB ? b , OC ? c , D OE ? E AD 3.在四面体 中, 为 的中点, 为 的中点,则
1 1 1 a? b? c 2 4 4

(用 a,b,c 表示) .
2

1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的 4.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,
焦点,则该抛物线的准线方程是
x?? 5 4



5.设变量 x, y 满足约束条件

? x ? y ? 3 ≥ 0, ? ? x ? y ≥ 0, ??2 ≤ x ≤ 3, ?

则目标函数 2 x ? y 的最小值为

?

3 2.

6. 某地球仪上北纬

纬线的长度为

,则该地球仪的表面积是___________

答案:

cm2

7.如果函数

f ?x ? ?

x2 1 ? x 2 ,那么

?1? f ?1? ? f ?2? ? f ? ? ? f ?3? ? ?2?

?1? f ? ? ? f ?4? ? ? 3?

?1? f ? ? ? _____. ? 4?

?1? f ?t ? ? f ? ? ? 1 ?t ? 讲解 容易发现 ,这就是我们找出的有用的规律,于是
f ?1? ? 3 ? 7 7 . 2 ,应填 2

原式=

8.下面有五个命题:

①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? .

k? ,k ? Z ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= 2 |.
③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.

? ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6 ④把函数 ? y ? sin( x ? )在〔0,?〕上是减函数 . 2 ⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④

9.

如果函数 y ? sin 2 x ? a cos2 x 的图象关于直线

x??

?
8 对称,那么 a ? _____ .

讲解

y ? 1 ? a 2 sin?2 ? ? ? ,其中 tan ? ? a .

?

x??

?
8 是已知函数的对称轴,

? ? ?? ? 2? ? ? ? ? ? k? ? 2, ? 8?
? ? k? ?


3? ,k ? Z 4 ,

于是

3? ? a ? tan? ? tan? k? ? 4 ?

? ? ? ?1. ? 故应填 ? 1 .

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? , , OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120° , OA 与 OC 的夹角为 30 ° ,且 10. 如图,平面内有三个向量 OAOB
??? ? ??? ? OA ? OB ? 1



???? OC ? 2 3

???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB (?,? ? R) ,则 ? ? ? 的值为 .若
C B

6



?a ? S 11.已知 n 是公差不为零的等差数列,如果 n 是


?an ?的前 n 项和,那
O A

lim
n ??

nan ? _____. Sn

n?n ? 1? Sn ? a ? n 2 ,于是有 讲解 特别取 n ,有
故应填 2. 12.以下四个命题:

lim
n ??

nan 2n 2 ? lim ? lim Sn n ?? n?n ? 1? n ??

2 1? 1 n

? 2.



2n〉 2n ? 1

?n ? 3?; ?n ? 1?; ?n ? 3?;



2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n ? n 2 ? n ? 2 f ?n ? ? ?n ? 1??

③凸 n 边形内角和为

④凸 n 边形对角线的条数是 其中满足 “假设

f ?n ? ?

n?n ? 2? 2

?n ? 4?.

n ? k ?k ? N , k ? k0 ? 时命题成立, n ? n0( n0 是 则当 n=k+1 时命题也成立’’.但不满足 “当
.
3

题中给定的 n 的初始值)时命题成立”的命题序号是 讲解 ①当 n=3 时, 2 ? 2 ? 3 ? 1 ,不等式成立; 当 n=1 时, 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,但假设 n=k 时等式成立,则
2

2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2?k ? 1? ? k 2 ? k ? 2 ? 2?k ? 1? ? ?k ? 1? ? ?k ? 1? ? 2 ;
2



f ?3? ? ?3 ? 1?? ,但假设 f ?k ? ? ?k ? 1?? 成立,则 f ?k ? 1? ? f ?k ? ? ? ? ??k ? 1? ? 1??;
f ?4 ? ? 4?4 ? 2 ? k ?k ? 2 ? f ?k ? ? 2 2 ,假设 成立,则



f ?k ? 1? ? f ?k ? ? ?k ? 3? ?

?k ? 1???k ? 1? ? 2? .
2

故应填②③. 13.某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是不同的奇 数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为 .

讲解
3

中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有

P53 种方法,偶位数字上排偶数的方法

有 5 ,从而中奖号码共有

P53 ? 53 种,于是中奖面为
P53 ? 5 3 ? 100% ? 0.75%, 1000000

故应填 0.75 %. 14.

?x

2

. ? 1 ?x ? 2? 的展开式中 x 3 的系数是 __________
7 2

?

3 讲解 由 x ? 1 ?x ? 2? ? x ?x ? 2? ? ?x ? 2? 知, 所求系数应为 ?x ? 2? 的 x 项的系数与 x 项的系数的

?

?

7

2

7

7

7

和,即有
6 ?? 2? ? C74 ?? 2? ? 1008 C7 , 6 4

故应填 1008. 15. 过长方体一个顶点的三条棱长为 3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是 ________. 讲解 长方体的对角线就是外接球的直径 2 R , 即有

?2R?2 ? 4R 2 ? 32 ? 42 ? 52 ? 50,
从而

S球 ? 4?R 2 ? 50?

,故应填 50? .

16. 如右图,E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上) D A 1 1 E D ○ 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 A B C1 B1 F C

讲解 因为正方体是对称的几何体,所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为:上下、左右、 前后三个方向的射影,也就是在面 ABCD、面 ABB1A1、面 ADD1A1 上的射影. 四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同,如图○ 2 所示; 四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内, 它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段, 如图○ 3 所示. 故应填○ 2○ 3.

x2 y2 ? ?1 25 17. 椭圆 9 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐标是
_____________________. 讲解 记椭圆的二焦点为 F1,F2 ,有

PF1 ? PF2 ? 2a ? 10,
? PF1 ? PF2 ? ? ? 25. m ? PF1 ? PF2 ? ? ? ? 2 ? ?
2

则知 显然当

PF1 ? PF2 ? 5

,即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时,m 取得最大值 25.

故应填 ?? 3,0? 或 ?3,0 ?.

y?
18. 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是

x2 ?0 ? y ? 20? 2 ,在杯内放一个玻

璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________. 讲解 依抛物线的对称性可知,大圆的圆心在 y 轴上,并且圆与抛物线切于抛物线的顶点,从而可设大 圆的方程为

x2 ? ?y ? r? ? r 2 .
2

由 消去 x,得 解出

? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2, ? x2 ? y ? , ? 2 ?

y 2 ? 2?1 ? r ?y ? 0
y ? 0 或 y ? 2?1 ? r ?.

(*)

要使(*)式有且只有一个实数根 y ? 0 ,只要且只需要 2?r ? 1? ? 0, 即 r ? 1. 再结合半径 r ? 0 ,故应填 0 ? r ? 1. 19. 已知 a、b、c、d 是四条互不重合的直线,且 c、d 分别为 a、b 在平面α 上的射影,给出下面两组四 个论断: 第一组:①a⊥b,②a∥b; 第二组:③c⊥d,④c∥d。 分别从两组中各选一个论断,使一个作条件,另一个作结论,写出一个正确的命题: 。

. 答:a∥b ? c∥d 20.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)= -f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于 f(x)的 判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图像关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0)。 其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上) 。 答:①②⑤ 21.如图 14-10,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,过点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等,试写出满足这样条件的一个截 面 。 (注:只需任意写出一个) 答:截面 AB1D1,或截面 ACD1,或截面 AB1C 22.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色, 要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 390 种(用数字作答) . 23.随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

?1

0
b

1

a
E? ? 1 3 ,则 D? 的值是

c
5 9

其中 a,b,c 成等差数列,若



24.

?a ? 已 知数列 n ,
?

an ?

1 n ? n ?1
?

? n ? N? ?
,且 数列

?an ? 的 前 n 项 和为 sn ? 9 , 那么 n 的值 为
? ?

__________答:99 25. .有两个向量 e 1 ? (1, 0) , e 2 ? (0, 1) 。今有动点 P ,从 P0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e 1 + e 2 相同的方向 作匀速直线运动,速度为| e 1 + e 2 |;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ?1) 开始沿着与向量 3e1 ? 2e2 相同的方向作匀速 直线运动,速度为|3 e 1 +2 e 2 |.设 P 、 Q 在时刻 t ? 0 秒时分 别在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ? P0 Q 0 时, t ?
? ? ? ? ? ?

??

?? ?

2

秒.


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