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对数与对数函数讲义


对数及对数函数 1. 对数的概念 如果
的 ,N 叫做对数的 ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 。即指数式与对数式的互化: 。 。 ,其中 a 叫做对数

【例题精讲】 考点一:对数式的运算
例 1.计算 (1) 2 lg 2

2.常用对数:通常将以 10 为底的对数 log10 N 叫做常用对数,记作

自然对数:通常将以无理数 e ? 2.71828 ??? 为底的对数叫做自然对数,记作 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式
(1)对数恒等式:① a
logaN

?

?

2

? lg 2 ? lg 5 ?

? lg 2 ?

2

? lg 2 ? 1

(2) lg 5 ? lg 8 ? lg1000 ? ? lg 2

?

3

?

2

1 ? lg ? lg 0.06 6

=

(a ? 0且a ? 1, N ? 0) ② loga a N =

(a ? 0且a ? 1, N ? 0)

(2)换底公式: log a N ? (3)对数的性质:①负数和零 ③底的对数等于 对数 ,即 ② 1 的对数是 ,即 1.求值: (1) log 2 (2) log a (4) log ④ loga b ? logb c ? logc d ?

4.对数的运算性质 如果 a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
(1) log a ( MN ) ? (3) log a M n ? (5) loga b ? logb a ? ; ; ;

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 ? 1 48 2

(2) ? lg 2 ? ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25
2

M ? N
Mn ?

; 。

am

(6) loga b ? 做对数函数,其定义域为 ,值域为 . (3) ? log3 2 ? log9 2? ? ? log4 3 ? log8 3?

5.对数函数函数 y ? log a x 6.对数函数图像与性质

练习:

1.化简 lg 2 3 ? lg 9 ? 1 =
1

. . lg 2 = lg 3 .
. .

2 .计算 9 2

? log 3 9

=

3.计算(log 4 3+log 8 3) ·

4 .log( 6 + 4 2 ? 6 ? 4 2 ) =
注:对数函数 y ? log a x与y ? log 1 x(a ? 0且a ? 1) 的图像关于
a

对称。

5.已知log 3 2 =

1? a ,则log 2 3 = a

7.同真数的对数值大小关系如图 8.对数式、对数函数的理解
① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时,应抓住定义的“形式” ,像 y ? log x 2, y ? log2 2 x, y ? 3ln x 等函数均不符合形式

6.若 logπ (log3(lnx))=0,则 x=________. 7.化简 lg25+lg2·lg50=________.
8 1 8.计算log500+lg ? lg64 +50(lg2 +lg5) 2 = 5 2 .

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,因此,它们都不是对数函数
1 ③ 画对数函数 y ? log a x 的图像,应抓住三个关键点 (a,1), (1.0), ( , ?1) a

考点二:对数值的大小比较 比较大小常用的方法有:①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法, 在比较两个幂的大小时,除上述一般方法外,还应注意以下情况: 1) 对于底数相同,真数不同的两个对数的大小比较,直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同,真数相同的两个对数的大小比较,可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较,可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较,则应先根据值的大小, (特别是 0 和 1)进行分组,再比 5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时,要注意对底数进行讨论。 例 2.比较大小 (1) log 2 3.4与log 2 8.5 (2) log2 3与log3 3 较各组的大小。

(3) y ? log1 (? x 2 ? 4 x ? 5)
3

(4) y ?

log a (? x 2 ? x)

考点五:定义域或值域为 R 的问题 (1) 若 y ? loga ?? ( x)? 的定义域为 R,则对任意实数 x ,恒有 ? ( x) ? 0 。 特别地,当 ? ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 时,要使定义域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0

(3) log7 6与log6 7

1 2 (4) log a ? b ? b ? 1? ? b ? R ?与log a 2

(2) 若 y ? loga ?? ( x)? 的值域为 R,则 ? ( x) 必需取遍 ? 0 , ? ?? 内所有的数。 特别地,当 ? ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 时,要使值域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0 例 5. 对于函数 f ( x) ? log1 ( x ? 2ax ? 3) ,解答下述问题:
2 2

【举一反三】

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;
? 1 2

(2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3) log0.3 0.1和log0.2 0.1 (3)若函数在 [?1,??) 内有意义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ,求实数 a 的值; (5)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (6)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围.

?1? (1) log0.3 0.7与log0.4 0.3 (2) log0.6 0.8, log3.4 0.7和? ? ? 3?

考点三:与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样,但应注意真数大于 0 且不等 于 1,若遇到底数含有参数,则应对参数进行讨论。 例 3. 求下列函数的定义域 (2) y ? loga (4 ? x2 ) ; (3) y ? log a . ?1? y ? loga x2 ; 4? x 考点六:对数函数的综合问题

x

例 1、设 f ( x)=log 1 ⑴求 a 的值;

1-ax 为奇函数, a 为常数. 1 2 x-

,+?) 内单调递增; ⑵求证: f ( x ) 在 (1
⑶若对于 [3, 4] 上的每一个 x 的值,不等式 f ( x ) ? ( ) +m 恒成立,求实数 m 的取值范围。
x

1 2

考点四:与对数函数有关的值域问题 (1) 型如 y ? f (loga x) :采用换元法,令 t ? loga x ,根据定义域先求 t ? loga x 值域,再求 y ? f (t ) 的值域。 (2) 型如 y ? loga f ( x) :由真数 f ( x) ? 0 求出定义域,再求出 y ? f ( x) 的值域,再根据 a 的值确定复合函数的值 域. 例 4.求下列函数的定义域、值域: (1) y ?

2?x

2

?1

?

1 4

(2) y ? log2 ( x ? 2 x ? 5)
2

例 2、已知 f ( x)=log a

x?b (a ? 0且a ? 1, b ? 0) x-b

例 7、函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x +2,则 f(x)·g(x)的图象只可能是

2

⑴求函数 f ( x ) 的定义域; ⑵讨论函数 f ( x ) 的奇偶性; ⑶讨论函数 f ( x ) 的单调性. A 练习:(一)选择题 B C D

例 3、已知函数 y=log 1 ( x ? ax+a) 在区间 (??,2) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2 2

1.函数y = log (a 2 -1) x是减函数,实数a的取值范围是 ( )

A.0<a<1 C.a> 2 或a<- 2
2 .设log a

B.a>1 D.- 2 <a<-1或1<a< 2

2 <1,则实数a的取值范围是 ( ) 3

例 4、对于函数 f ( x ) 定义域中任意的 x1, x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ ? 0 ;④ f ( 1 2 ) ? 2 2 x1 ? x2
当 f ( x) ? lg x 时,上述结论中正确结论的序号是

3.已知a = log 0.5 0.6 b=log 2 0.5 c = log
A.a<b<c B.b<a<c

3

5,则 ( )
C.a<c<b D.c<a<b

4 .若|log a

1 1 |= log a ,则|log b a|= -log b a,则a、b满足关系 ( ) 4 4
B.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 )
D.log2 <log2 am an

A.a>1,b>1 例 5、设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的解的个数. C.a>1 且 0<b<1

5.若 m>n>1,且 0<a<1,则下面四个结论中不正确的是( A.m-a<n-a B.am<a-n
C.m?a <na

7.设 f(x)=|lgx|,则其递减区间是( A.(0,1) 例 6 、已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? x ,则方程 y ? f ( x) 与
2

) C.(0,+∞) D.不存在

B.(1,+∞)

8.已知偶函数f(x) 在[2,4]上单调递减,那么f(log 1 8) 与f( -π ) 的大小关系是
2

y ? log5 x 的实根个数为

.

A.f(log 1 8) >f( -π )
2

B.f(log 1 8) = f( -π )
2

C.f(log 1 8) <f( π )
2

D.不能确定

9.函数y = log 1 (x 2 -3x+2) 的递增区间是 ( )
2

A.(-∞,1)

B.(2,+∞)

3 C. ( -∞, ) 2

3 D. ( ,+∞ ) 2

10.如图 2.8-11 所示,已知 0<a<1,则在同一坐标系中,函数 y=a-x,和 y=loga(-x)的图像只可能是( )

(二)填空题 1. 函数 f ( x) ? ax ? log , 2? 上的最大值与最小值之和为 ? a x在区间 ?1 于 。

3 1 ,最大值与最小值之积为 ? ,则 a 等 8 4

2 .函数y =

1 的定义域是 lg(x ? 1)



3.函数 y=log2(2-x2)的值域是________.

4.已知函数f(x) =(log 1 x) 2 -log 1 x+5,x∈[2,4],则当x ?
4 4

________时,f(x)有最大值________.当 x=________时,f(x)有最小值________. 5.函数 f(x)的定义域是(-∞,1),则 f(log2(x2-1))的定义域是________. 6.不等式 log 2 ( x ?
x

1 ? 6) ? 3 的解集为 x

。 。

7.若 f ( x) ? lg(5 ?

4 ? m) 的值域为 R,则 m 的取值范围是 5x


8.如果log a

2 <1,则a的取值范围是 5


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