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专题 均值不等式及其应用 -讲义


均值不等式及其应用
主讲教师:王春辉 数学高级教师

金题精讲
题一:(1)若正数 a,b 满足 ab= a+b+3,则 ab 的取值范围是 (2) 若正数 a,b 满足:a≥4,且 ab= a+b+3,则 ab 的取值范围是 题二:已知 a2+b2=1,m2+n2=1,求证:|am+bn|≤1. . .

1 题三:已知 a2+b2+c2=1,求证: ? ? ab ? ac ? bc ? 1 . 2

满分冲刺
题一:看下面问题的解决,对吗?若不对,应该怎么做? 已知 a>0,b>0,4a+b=1,求

1 1 ? 的最小值. a b

解:第一步:

1 1 1 ? ?2 a b ab

第二步:上式当且仅当 a=b 时取得“=” 第三步:又∵4a+b=1 第四步:∴a=b= 第五步:

1 5

1 1 ? 的最小值是 10. a b
a b ? ? 1 ,求 x+y 的最小值; x y

题二:(1) a,b 是大于 0 的常数,x>0,y>0,且 (2)x∈(0,1),a,b 是大于 0 的常数,求 y ?

a2 b2 的最小值. ? x 1? x

思维拓展
题一:若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( A.albl+a2b2 B.ala2+b1b2 C.a1b2+a2bl D. )

1 2

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均值不等式及其应用 讲义参考答案
金题精讲
题一:(1)

ab ? [9,??)

(2)

ab ? [

28 , ?? ) 3

题二:略

题三:略

满分冲刺
题一:当 a 题二:(1)当

?

1 1 1 1 , b ? 时, ? 取到最小值 9. a b 6 3

y 2a ? x2b 时,x+y 取得最小值 a ? b ? ab
? (1 ? x)a 时, y ?
a2 b2 2 2 取得最小值 a ? b ? 2ab ? x 1? x

(2) 当 xb

思维拓展
题一:A

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