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等差数列求和公式课件


等差数列求和公式

一、巩固与预习

1. {an}为等差数列? an+1- an=d 为等差数列? 为等差数列 ? an=a1+(n-1)d an=an+b ?
a、b为常数 、 为常数

, ,d=
an ? am n? m

an=am+(n-m)d 更一般的, 更一般的,

.

2. a、b、c成等差数列?b为a、c 的 等差中项 成等差数列? 为 、 、 、 成等差数列
a+c b= 2 ?

?

2b= a+c .

3.

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若m + n = p + q则a m +a n =a p +a q
在等差数列{an}中a1+an 在等差数列{ a3+ an-2 = …
=

a2+ an-1

=

列 数 {an }的 n项 为: 前 和

sn = a1 + a2 + a3 + ... + an sn?1 = a1 + a2 + a3 + ... + an?1 sn ? sn?1 = an

sn

一、引例:1+2+3+…+100=? 10岁的高斯(德国)的算法: 10岁的高斯(德国)的算法: 首项与末项的和:1+100=101 首项与末项的和:1+100=101 第2项与倒数第2项的和:2+99=101 项与倒数第2项的和:2+99=101 第3项与倒数第3项的和:3+98=101 项与倒数第3项的和:3+98=101 ……………………………………… 第50项与倒数第50项的和: 50项与倒数第50项的和: 50+51=101 ∴101×(100/2)=5050 101× 100/

二、学习新课
n(a1 + an ) n(n ?1) na1 + d 2 2 等差数列前n 项和S = . ㈠等差数列前 项和 n =
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Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1

(1) (2)

(1)+ (2)得 得 2Sn=n(a1+ an)

三、公式的应用: n(n ?1) n(a1 + an ) d...(2) Sn = ....(1) Sn = na1 + 2 2
根据下列各题中的条件, 例1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an} 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列{ 的 Sn

(1)a1=5,an=95,n=10 ) (2)a1=100,d=-2,n=50 ) -

S10=500 S50=2550

等差数列- ,- ,-6, 例2. 等差数列-10,- , -2,2,…前 , , 前 多少项和是54? 多少项和是 解:∵a1=-10, d=-6-(-10)=4 d=∴-10n+[n(n-1) /2] ×4=54 10n+[n(n解得: 解得: n=9,n=-3(舍 n=9,n=-3(舍)

∴前9项的和是54 项的和是54
n(a1 + an ) LL(1) ∴Sn = 2

n(n ?1) Sn = na1 + d LL(2) 2

如图,一个堆放铅笔的V形架的最下 例3 如图,一个堆放铅笔的 形架的最下 面一层放1支铅笔 支铅笔, 面一层放 支铅笔,往上每一层都比它下面 一层多放一支,最上面一层放120支.这个 这个V 一层多放一支,最上面一层放 支 这个 形架上共放着多少支铅笔? 形架上共放着多少支铅笔?

练习: 练习: (1)等差数列 ,4,3,2,…前多少 )等差数列5, , , , 前多少 项的和 是-30? 15项 项 (2)求等差数列13,15,17,…81的各 )求等差数列 , , , 的各 项和 1645 (3)在等差数列 an}中, )在等差数列{ 中 已知 a2+a5 + a12 + a15 = 36 求S16

你能求出S (4)已知 a6=20 ,你能求出 11吗? ) 你能求出 吗

课堂小结: 课堂小结: 1.会用两公式 1.会用两公式

na 2.若 2.若d=0,an=a,则Sn=______ =a,

n(a1 + an ) L (1 L ) Sn = 2 n(n ?1) Sn = na1 + d LL(2) (2 2

3.推导公式的方法是用倒序相加法 3.推导公式的方法是用倒序相加法

思考: +bn, 思考:若Sn=an2+bn,则{an}是等差数 列吗? 列吗?

作业:习题2.3.

2.


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