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【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题四 第1讲


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专题四 第1讲

第1讲
【高考考情解读】

空间几何体

高考对本节知识的考查主要有以下两个考向:
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1.三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题的 形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或 由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、 体积的计算等,均属低中档题. 2.对于空间几何体的表面积与体积,由原来的简单公式套用 渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,特别是 已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考 查的热点,题型一般为选择题或填空题.

主干知识梳理

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1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直 平行六面体、长方体之间的关系.
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主干知识梳理

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2.空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前 方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平
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面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正 视图一样; 侧视图放在正视图的右面, 高度和正视图一样, 宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧 一样高.看不到的线画虚线.

主干知识梳理

专题四 第1讲

3.直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、
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y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′轴与 x′轴和 y′轴所在 平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于 坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变, 平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

主干知识梳理
4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:

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①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); 1 ②S锥侧= ch′(c为底面周长,h′为斜高); 2 1 ③S台侧= (c+c′)h′(c′,c分别为上下底面的周长,h′ 2 为斜高); ④S球表=4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);

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1 ②V锥体= Sh(S为底面面积,h为高); 3 1 ③V台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 3 ④V球= πR . 3

热点分类突破

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考点一 例1
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三视图与直观图的转化 ( )

(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图, 那么该三棱锥的

侧视图可能为

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(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该 几何体的侧视图为
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(

)

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解析 (1)底面为正三角形,一侧棱垂直于底

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面.由虚线知可能有一侧棱看不见.
由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长 是 3,
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故其侧视图只可能是选项 B 中的图形. (2)如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的 投影为 B,故选 D.

答案 (1)B

(2)D

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空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、 左面、 上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图, 因此在分析空
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间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面, 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 调 整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状, 即可得到结果.

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(1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直 角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影 面,则得到的正视图可以为
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(

)

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(2)(2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该 几何体的俯视图不可能是 ( )

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解析

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(1)根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各

个点的坐标如图(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图 (2) 所示.故选 A.
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(2)根据几何体的三视图知识求解.
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由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形, 矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是 D.
答案 (1)A
(2)D

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考点二 例2 几何体的表面积及体积

专题四 第1讲

(1)某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积 ( )

中最大的是
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A.8

B. 6 2

C.10

D.8 2

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(2)(2013· 浙江)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此 几何体的体积等于________ cm3.

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解析

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(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥,

SA⊥平面 ABC,△ABC 中∠ABC=90° ,SA= AB=4,BC=3,
因此图中四个面的三角形均为直角三角形,
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SB=4 2,AC=5,S△SAC=10,S△SAB=8,S△SBC=6 2,S△ABC =6, 所以最大面积是 10. (2)由三视图可知,其直观图为: AB=4,AC=3,∠BAC=90° , ∴BC=5. 作 AH⊥BC 于 H,

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专题四 第1讲

AB· AC 12 AH= BC = . 5
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作 A1M⊥BB1 于 M,A1N⊥CC1 于 N.连接 MN. 1 12 1 V= ×(5×3)× +(3×4)× ×2=24. 3 5 2

答案 (1)C

(2)24

热点分类突破

专题四 第1讲

(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多 方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积
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转化是常用的方法, 转换原则是其高易求, 底面放在已知几何 体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规 则几何体转化为规则几何体以易于求解.

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(1)(2013· 江西)一几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为 ( )

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A.200+9π C.140+9π

B.200+18π D.140+18π

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(2)(2012· 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为________.
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解析

(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成.

1 V=10×4×5+ ×π×32×2=200+9π. 2
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(2)将三视图还原为直观图后求解. 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱, 所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π=38.
答案 (1)A (2)38

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考点三 多面体与球

专题四 第1讲

例 3 如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, BD= 2,BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD,
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使平面 ABD⊥平面 BCD, 若四面体 ABCD 的顶点在同一个 球面上,则该球的体积为 ( )

3 A. π 2

B.3π

2 C. π 3

D.2π

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专题四 第1讲

要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知 数据和空间位置关系确定球心的位置,由于△BCD是直角三
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角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶 点的距离相等,只要再证明这个点到点A的距离等于这个点 到B,C,D的距离即可确定球心,进而求出球的半径,根据 体积公式求解即可.

热点分类突破
解析 如图,取 BD 的中点 E,BC 的中点 O,

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连接 AE,OD,EO,AO. 由题意,知 AB=AD,所以 AE⊥BD. 由于平面 ABD⊥平面 BCD,AE⊥BD,
本 所以 AE⊥平面 BCD. 讲 栏 因为 AB=AD=CD=1,BD= 2, 目 开 2 1 3 关 所以 AE= ,EO= .所以 OA= .

3 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 . 2 4 33 3 所以该球的体积 V= π( ) = π.故选 A. 答案 A 3 2 2

2 1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD= BC= , 2 2

2

2

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专题四 第1讲

多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面 体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化
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为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置, 弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程 (组)求 解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2 求解.

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(1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和 侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体 的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是
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(

)

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

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(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的 所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是________.
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解析 (1)由已知条件知该几何体的直观图

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如图所示,
PA⊥面ABCD,△PAC、△PBC、△PCD
本 讲 均为直角三角形,且斜边相同, 栏 目 1 开 所以球心为PC中点O,OA=2PC=OB=OD=2 3. 关

球的表面积为S=4π(OA)2=48π.

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(2)该几何体是一个正三棱柱,底面边长为 3,高 为 2.设其外接球的球心为 O, 上、 下底面中心分 别为 B、C,则 O 为 BC 的中点,如图所示.
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2 则 AB=3×3sin 60° = 3,BO=1, ∴该棱柱的外接球半径为 R= AB2+BO2=2, ∴球的表面积是 S=4πR2=16π.
答案 (1)D
(2)16π

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专题四 第1讲

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全
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面积, 是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积, 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体的 表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球 之外,都是其侧面积和底面面积之和. 2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球 除外),因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计 算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面.

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3. 一些不规则的几何体, 求其体积多采用分割或补形的方法, 从而转化为规则的几何体, 而补形又分为对称补形(即某些 不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方法 进行补形)、 还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几
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何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求解,可根据 其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几 何体的一部分来求解). 4.长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于 外接球的直径,即 a2+b2+c2=2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R.

押题精练

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1.从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的 部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几何体
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体积的值为

(

)

A.5 2 C.9

B. 6 2 D.10

押题精练

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解析 由三视图知,其直观图为棱锥 A-BCDE.

27 1 9 本 V=27- 2 -3×3×2=9.故选 C.
讲 栏 答案 目 开 关

C

押题精练

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2.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直, 2 3 6 △ABC,△ACD,△ABD的面积分别为 , , , 2 2 2 则三棱锥A-BCD的外接球体积为 A. 6π
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( D.4 6π

)

B . 2 6π

C.3 6π

解析

如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三

棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球 恰为三棱锥的外接球,

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.

AC= 2, ?AB· ? AD= 3, 据题意?AC· ?AB· ? AD= 6,

?AB= 2, ? 解得?AC=1, ?AD= 3, ?

押题精练

专题四 第1讲

∴长方体的对角线长为 AB2+AC2+AD2= 6,
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6 ∴三棱锥外接球的半径为 . 2 4 63 ∴三棱锥外接球的体积为 V=3π·( 2 ) = 6π. 答案 A


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