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2012一轮复习《高考调研》全套复习课件和练习10-3


高考调研 · 新课标高考总复习

第十章 · 第3课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

第3课时

几何概型

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/>课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

2011· 考纲下载
1.了解几何概型的意义. 2.了解日常生活中的几何概型.

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请注意!
?纵观近几年高考涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关,

这就要求抓好破势训练,从不同角度,不同侧面对题目进行分析,查找思
维的缺陷.

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?

课前自助餐
课本导读
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型中 事件A的概率计算公式 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

?

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? 3.要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点: ? (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; ? (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. ? 4.几何概型的试验中 ? 事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积和体积)成正比, 而与A的位置和形状无关. ? 5.求试验中几何概型的概率 ? 关键是求得事件所占区域和整个区域Ω 的几何度量,然后代入公式即可 求解.

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教材回归
1.在区间[1,3]上任取一数,则这个数 大于等于1.5的概率 ( A.0.25 C.0.6 ) B.0.5 D.0.75

答案

D

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解析

本题为几何概型问题,在[1.5,3]内任取一

数,则此数大于等于1.5,因此所求此数大于等于1.5 的概率 区间[1.5,3]长度 1.5 3 P= = = =0.75. 2 4 区间[1,3]长度

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2.某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点 的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( ) 3 A. 5 2 C. 5 4 B. 5 1 D. 5

答案

A
此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点,设A=

解析

{某乘客候车时间不超过3分钟}. 区间[2,5]的长度 3 则P(A)= = . 区间[0,5]的长度 5

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3.如图所示,在一个边长为a,b(a>b>0)的矩形内画一 1 1 个梯形,梯形上、下底分别为 a与 a,高为b.向该矩形内 3 2 随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 ________.
答案 5 12

解析

1 a a ( + )b 2 2 3 5 P= = . ab 12

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4.(09·福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定 点.若在该圆周上随机取一点B,则劣弧A B 的长度小于1的 概率为__________.
答案 2 3

解析

设事件M为“劣弧A B 的长度小于1”,则满足事

件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的 2 弧上随机取一点,由几何概型的概率公式得:P(M)= . 3

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5.如图所示在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边 上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为 ______.

答案

1 6

解析

如题图,视射线OA在坐标系内是等可能分布的,

60 1 则OA落在∠yOT内的概率为 = . 360 6
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授人以渔
题型一
例1

与长度有关的几何概型

(2010·湖南卷,理)在区间[-1,2]上随机取一

个数x,则|x|≤1的概率为________. 【解析】 由|x|≤1得,-1≤x≤1,故易知所求概

1-(-1) 2 率为 = . 2-(-1) 3

【答案】

2 3
在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过

思考题1

这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接的等边 三角形边长的概率是________.
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【解析】

记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形

的边长”, 如图,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直 径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是 等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦 的距离小于OF,而OF=OC·sin30°= 1 ×2 2 1 得:P(A)= = . 2 2 1 ,由几何概型公式 2

【答案】

1 2

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例2

(1)(2011·山东滨州一模)在区域 2≤0, 2≥0, 内任取一点P,则点P落在单

?x+y- ? ?x-y+ ?y≥0 ?
2

位圆x +y =1内的概率为( π A. 2 π C. 6

2

) π B. 8 π D. 4

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【解析】

区域为△ABC内部(含边界),则概率为 π 2

π P= = = ,故选D. 1 4 S△ABC ×2 2× 2 2
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S半圆

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第十章 · 第3课时

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(2)两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到 者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独 立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的, 求两人在约定时间内相见的概率. 【思路分析】 钟,即 两人不论谁先到都要等迟到者40分

2 小时.设两人分别于x时和y时到达约见地点,要 3

2 使两人在约定的时间范围内相见,当且仅当- ≤x-y 3 2 ≤ ,因此转化成面积问题,利用几何概型求解. 3
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【解析】

设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使

两人能在约定时间范围内相见, 2 2 当且仅当- ≤x-y≤ . 3 3

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两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内
(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x,y) 的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的 可能性的大小,也就是所求的概率为

1 2 1-( ) S阴影 3 8 P= = = . 12 9 S单位正方形

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第十章 · 第3课时

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? 探究1

(1)“面积比”是几何概率的一种重要概型,既有实际面积比也有

可转化为面积比的问题. ? (2)会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型,难点是把两个 时间分别为x、y表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型几何概型问题. ? 思考题2 (1)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点

的距离至少有一个小于1的概率是____. ? 【解析】 以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,

? 当P落在其内时符合要求.

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1 π 2 3×( × ×1 ) 3π 2 3 ∴P= = . 6 3 2 ×2 4
【答案】 3π 6

(2)在区间(0,1)上随机抽取两个数m、n,求关于x的 一元二次方程x - nx+m=0有实根的概率.
2

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第十章 · 第3课时

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【解析】

如图所示,在平面直角坐标系中,以m、n分

别表示横、纵坐标,因为m、n是(0,1)内的任意值,与图中 正方形内的点一一对应.即正方形内的所有点构成全部试验 结果的区域.设事件A表示方程x - 件A=
2

n x+m=0有实根,则事

? ? ?? ? ?

m、n?

??n-4m≥0? ? ??0<m<1 ? ?? ? ??0<n<1 ? ?

1 所对应的区域为图中的阴影部分,面积为 . 8

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S阴影 1 ∴由几何概型P(A)= = . S正方形 8 1 2 ∴一元二次方程x - nx+m=0有实根的概率为 . 8

题型三
例3

与体积有关的几何概型
(2011·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S-ABC的 1 2

底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC< VS-ABC的概率是( 7 A. 8 1 C. 2 3 B. 4 1 D. 4 )

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【解析】

当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正

1 7 三棱台内时符合要求,由内何概型知,P=1- = ,故选 8 8 A.

【答案】

A
(2010·福建卷,文)如图,在长方体ABCD

思考题3

-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重 合),且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别 为F,G.

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第十章 · 第3课时

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设AB=2AA1=2a,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取 一点,记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p. 当点E,F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a,求p的 最小值. 【解析】 解法一 设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D1
2

的体积V=AB·BC·AA1=2a b, 1 几何体EB1F-HC1G的体积V1=( EB1·B1F)·B1C1= 2 b 2 2 2 EB1·B1F.∵EB1+B1F =a , 2
2 EB1+B1F a 2 ∴EB1·B1F≤ = ,当且仅当EB1=B1F= a时 2 2 2 2 2

ab 等号成立.从而V1≤ . 4
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2

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2

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ab V1 4 7 2 ∴p=1- ≥1- 2 = , 当且仅当 EB1=B1F= a 时等 V 2a b 8 2 7 号成立.所以 p 的最小值等于 . 8 解法二 设 BC=b,则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积
2

V=AB·BC·AA1=2a b, 几何体 EB1F-HC1G 的体积 1 b V1=( EB1·B1F)·B1C1= EB1·B1F. 2 2 设∠B1EF=θ(0°≤θ<90°),则 EB1=acos θ, B1F=asin θ.

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a 故EB1·B1F=a sin θcos θ= sin 2
2

2

a 2θ≤ ,当且 2

2

仅当sin

2θ=1,即θ=45°时等号成立.
2

ab 从而V1≤ . 4 ab V1 4 7 ∴p=1- ≥1- 2 = ,当且仅当sin V 2a b 8 即θ=45°时等号成立. 7 所以p的最小值等于 . 8
2

2θ=1,

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? 题型四 ? 例4

与角度有关的几何概型

在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求

使|AM|>|AC|的概率. ? 【思路分析】 ? 如图所示,在AB上取点C′,使|AC′|=|AC|,因为过一点作射线是均匀 的,因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落 在∠ACB内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合 几何概型的条件.

? 【解析】

设A为|AM|>|AC|的事件.

? 在AB上取点C′,使|AC′|=|AC| ? ∵∠A=30° ? ∴∠ACC′=75°,∠ACB=90°,∠BCC′=15° ? 当CM在∠BCC′内即符合条件.
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第十章 · 第3课时

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15° 1 ∴P(A)= = . 90° 6 思考题4 已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)在线段BC上任取一点M,求使∠CAM<30°的概率; (2)在∠CAB内任作射线AM,求使∠CAM<30°的概率. 【解析】 (1)设CM=x,则0<x<a,(不妨设BC=a). 3 a, 3

若∠CAM<30°,则0<x< 故∠CAM<30°的概率为

3 区间(0, a)的长度 3 3 P(A)= = . 3 区间(0,a)的长度

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(2)设∠CAM=θ,则0°<θ<45°. (0°,30°)的长度 2 故∠CAM<30°的概率为P(B)= = . (0°,45°)的长度 3

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本课总结

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? 1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能
结果不是有限个.它的特点是试验结果在一个区域内的分布,所以 随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,只与该

区域的大小有关.
2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方式与技巧,必须熟练 掌握. ?

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课时作业(50)

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