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谈中学数学中的对称之美


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 谈中学数学中的对称之美 作者:吴建东 来源:《考试周刊》 2013 年第 61 期 摘 要: 对称是中学数学很多知识点的一个通性,从一个侧面体现数学的美感. 数字及代 数、多项式、简单及复杂几何形体等都展示了数学中的对称之美. 本文通过对这些知识点中的 对称进行阐述,发觉其中的自然与人文之美,引导广大中学生发现数学之

美,逐步发展数学思 维. 关键词: 中学数学 对称之美 数字多项式 几何形体 对称,物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转,对于平面的反映,等等)下,其 相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象. 自然界是简约与对称的这 种大美令人匪夷所思. 山川、河流、树木等,在严格意义上来讲都是不对称的,然而,将研究 对象扩大到整个地球、星系、宇宙,抑或缩小至晶体、分子、原子,世界又都是对称的. 可以 这么说,在与我们生活大致相同的尺度内,不对称属于自然界,而对称属于人类,是一种创造 出来的人文之美. 这些人文之美在初中的知识中有很多的体现. 1. 数字的对称 数学本身是大自然的,然而数字是人类发明的,并且人类用自己发明的数字来发现并且解 释大自然的数学. 数字从自然数开始,最开始是人类用于简单计数. 随着社会的发展,人们发明 了负数. 于是第一对数字的对称出现了:正数与负数的对称. 负数并不是自然存在的,而是人们 发明的一个概念. 正数与负数以零点为对称点,每写出一个正数,都有一个相应的负数与之对 应,其转化方法仅仅是在这个正数前面加一个负号“-”而已. 当纯数字也无法满足人们的计算要求时,代数被人类发明了出来. 作为数字的延伸,数字 的对称性在代数上保留了下来. 无论字母 a,b,c 代表怎样的数,它们的正负性及关于正负的对 称性总是存在的. 当函数的概念被提出来之后,对称性问题成为函数的一个重要性质. 二次函数关于对称轴 的左右对称,三角函数关于对称轴和对称中心的轴对称和中心对称,这些都成了解决很多问题 的关键. 函数是方程的延伸,方程是数字运算的延伸,函数的对称性是数字对称的一个典型例 证. 例 1:函数 y=3sin(2x+π/6)的图像的对称轴方程为?摇?摇?摇?摇?摇?摇. 解:2x+π/6=2(x+π/12),设 x+π/12=a,则方程变为 y=3sin2a 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 方程 y=3sin2a 的对称轴为 aπ/4+kπ/2,即 x+π/12=π/4+kπ/2,解之,得对称轴为 x=π/6+kπ/2,k∈ Z. 所以答案为 x=π/6+kπ/2,k∈ Z. 2. 多项式对称 多项式及多项式的因式分解是中学数学的重要知识点,在众多的多项式中,有一类多项 式,如果将其任意的两个字母进行互换,则所得到的多项式不变,这类多项式被称为对称多项 式,简称对称式. 对称式的一个重要本质就是各个字母在多项式中的地位相等,例如 xyz, a+b+c 等,构成了一大类问题,通过对称式的性质可以轻松巧妙地解决这些问题. 例 2:已知 0 分析:此例题中的字母 x,y,z 在多项式 xyz(1-x)(1-y)(1-z)中的地位完全一样, 并且取值范围完全相同,即 x,y,z 在此构成了对称式. 不等式后面正好是 1/4 的三次方. 通过观 察,结合对称式的性质,可以将问题转化为证明 x(1-x)≤1/4 或者 y(1-y)≤1/4 或者 z(1z)≤1/4,即将问题简化为只需证明其中一个简单式子成立即可. 证明:因为

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