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基于HPM的教师教学需要的统计知识调查研究


2014年

第53卷

第5期

数学通报

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基于HPM的教师教学需要的统计知识调查研究
吴骏1
赵锐2
(1.云南曲靖师范学院数学与信息科学学院655011;2.山西晋中学院数学学院030600)

近年来,HPM与教师的专业发展问题引起 了人们的广泛关注.已有研究表明,HPM能够有 效提升教师教学需要的数学知识(Mathematics
Knowledge for

学,两年前到初中部任教;Q老师则一直从事初中 数学教学.两位教师资历较长,但对数学史知识知 之不多.他们在大学期间没有修过数学史课程,职 后也没有经历过HPM培训. 1.2研究材料 教学内容是八年级下学期“数据的代表”,两 位老师的教学课时为6—7节.研究者深入挖掘了 平均数、中位数和众数概念的历史,与两位教师合 作,共同开发了相关概念的教学案例.[10]这些案 例的设计采用以下方法:(1)直接采用历史上的数 学问题和解法,如《九章算术》中的平分术问题、货 币检查箱试验、城墙砖块层数等;(2)根据历史材 料,编制数学问题,如估计数学测验的总分、质点 中位数、鞋子的颜色等;(3)在现代情境下,选用体 现历史发生思想的数学问题,如帽子平均数问题、 身高和体重问题、公共汽车载客量问题、献爱心捐 款活动、员工工资问题等. 由于学生缺乏统计概念的历史背景知识,而 且他们也拥有前人未知的一些知识,因此,本研究 设计的教学案例更多地采用后两种方法,注重把 历史现象转化为有意义的教学现象. 1.3研究过程 教师SKT的识别是通过课前讨论、课堂观察 和课后访谈的方式得到.考虑到研究者单方面对 教师的教学行为作出解释是片面的,因此,在每节 课后,研究者会挑选出基于数学史设计的教学案 例的录像片段,与任课教师一起回顾和讨论,以减 少研究者独立作出解释的局限性. 2结果与分析 2.1两位教师SKT的使用情况 在课堂教学中,教师SKT的发生有四种情 形.第一,从课堂教学片段或访谈中可以直接识别 的教师知识,用灰色表示;第二,教师在教学中间

Teaching,简称MKT)[1-3].根据

Ball及其团队的研究,MKT由两类知识构成,一 类是学科知识(Subject Matter Knowledge,简称 SMK),包括一般内容知识(Common
Content

Knowledge,简称CCK)、专门内容知识(Special—
ized Content

Knowledge,简称SCK)和横向内容
Content

知识(Horizon

Knowledge,简称HCK);
Content

另一类是学科教学知识(Pedagogical

Knowledge,简称PCK),包括内容与学生的知识
(Knowledge
of Content and

Student,简称
of Content

KCS)、内容与教学的知识(Knowledge
and

Teaching,简称KCT),以及内容与课程的知
of Content and

识(Knowledge

Curriculum,简称

KCC).在这个知识分类框架中,CCK、SCK、KCS 和KCT已从理论上得到确认并经过实践检验, 而HCK和KCC尚缺乏清晰的界定和深入的 研究.[4-s] 一些学者在MKT模型的基础上,针对统计 教学的特点,进一步发展了教师教学需要的统计 知识(Statistical
Knowledge for

Teaching,简称

SKT)E6.81.目前,数学史开始融入统计教学,‘93但 很少有人对HPM与SKT的关系进行研究.本文 选取MKT中的CCK、SCK、KCS和KCT作为 SKT的主要成分,结合数学史融入统计概念教学 的案例,考察在课堂教学中教师SKT的使用 情况. 1研究方法 1.1研究对象 某中等城市一所初中学校的两位数学教师参 与了本项研究,其中Y老师长期从事高中数学教

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接使用的知识,用深色区域表示;第三,教师在教 学中没有要求使用的知识,用空白单元格表示;第 四,教师和学生在互动过程中,会发生一些偶发事 件,由于某种原因导致教师知识出现缺失,这种现

象称为“错失机会”(Missed Opportunity),用字 母M表示.Ⅲ我们利用上述设计的教学案例,分 析了两位教师SKT的使用情况,D03见表1和表2 所示.

表1

Y老师教学需要的统计知识 教学需要的统计知识(SKT) 学科知识(SMK) 学科教学知识(PCK) 内容与学生的 知识(KCS) 内容与教学的 知识(KCT)

基于数学史的教学案例 一般内容知识
(CCK)

专门内容知识
(SCK)

估计数学测验的总分 《九章算术》中的平分术 帽子平均数问题 身高和体重问题

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一般内容知识
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(SCK)

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货币检查箱试验 献爱心捐款活动 质点中位数
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数学通报 例对教师的SKT进行分析. 教学案例1 《九章算术》中的平分术

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从表1和表2可以看出,数学史介入教学后, Y老师和Q老师都直接使用了SKT的四个主要 成分,SCK是唯一一类需要从其他知识推断出来 的知识,Y老师和Q老师间接使用SCK的教学 案例分别为3个和5个.在估计数学测验的总分、 身高和体重问题、员工工资问题这三个案例的教 学中,两位教师采用隐性的方式把数学历史发生 的思想融人到教学之中,SCK可以从教学活动中 间接推断出来.在公共汽车载客量和献爱心捐款 活动这两个案例的教学中,两位教师存在明显差 异:Y老师直接讲述案例设计的历史背景知识,为 这两个案例的学习奠定基础,SCK呈现明显的证 据;而Q老师则把历史意蕴悄无声息地融入到教 学之中,SCK呈隐性形式,但可以从教学活动中 体现出来. 两位老师没有被识别的知识体现在SCK,其 案例为城墙砖块层数和货币检查箱试验.[93这是 两个来自数学历史上的故事,前者用于引入众数 概念,内容相对简单;后者探讨用样本平均数估计 总体平均数,涉及到的抽样方法学生在上学期已 学过,这两个案例没有识别出教师相应的SCK, 这类知识也可以看作是不需要的. 两位老师的SKT存在不同程度的知识缺失, 而且集中表现于PCK.Y老师的KCS和KCT分 别出现3次和4次缺失,而Q老师的KCS和 KCT分别出现2次和1次缺失.教师知识缺失可 能有两个原因:(1)在统计教学中融入数学史,需 要掌握一些融入的方法和技巧,这与平时的教学 大为不同,教师在短时期内难以适应,因而导致了 教师KCT的缺失;(2)数学史融入统计教学,丰 富了课堂活动,激发了学生思维,而教师对学生的 潜力估计不足,导致教师KCS的缺失.在调查中 发现,两位教师知识缺失的差异可能与他们的教 学经历有关.Y老师长期从事高中数学教学,重视 对知识的理解,他的SMK更强一些,但对学生的 学习情况关注不够;Q老师初中教学经验的丰富, 使得她比较熟悉学生的特点,注重教学法的运用, 她的PCK更有优势.从两位教师的知识缺失可以 看出,在数学史融入教学的过程中,教师的PCK 对HPM起到了非常重要的促进作用. 2.2教学案例分析 根据教学案例的设计方法,下面选择三个案

《九章算术》方田章第6题:今有三分之一,三 分之二,四分之三。问:减多益少,各几何而平? 设计说明 该题采用的方法称为平分术,即

当各个分数参差不齐时,为使它们齐等,可减那个 分数所多的部分,增益这个分数所少的部分.该案 例可以让学生了解平均数的补偿性,领会“减多益 少”的思想. 教学实践 Y老师认为,学生可能会先求平

均数,再把多于平均数的数补到少于平均数的数 上(KCS),而该问题并不需要求出平均数,因此Y 老师首先对“减多益少”进行了解释,再让学生去 解决问题,从而得到与《九章算术b一致的方法 (KCT).以下是师生对话: 教师:减多益少就是从大的数中减去一个数 加到小的数上,使得三个数都相等(SCK).这个题 目如何做?
A Q n

学生:先通分,这三个数为:云,兰,杀.因为
上厶 1厶 1厶 Q 1 n

后面的两个数较大,所以从杀减去去,从素减去
1厶 1‘一 1- o



去,加到云上,使得它们都相等.
1厶 1厶

Y老师指出,通过“减多益少”之后,这三个数


的平均数为去(CCK).在教学中,教师首先讲述
上厶

了“减多益少”的方法,而错失了让学生在实践中 探索这一重要思想的机会,把学生的思维禁锢在 已有的模式里(KCT:M). Q老师认为,学生理解题意的困难可能是“各 几何而平”(KCS),其中的关键是“平”,即各减去 多少才能达到平均数(CCK).在Q老师的课堂 上,学生大多采用通分求出平均数,再把比平均数 大的数减去一个数补到小的数上.似乎学生的回 答只有这种方法了,于是,教师引导学生不直接求 平均数,而是通过观察、比较数据大小(KCT),探 索得到“减多益少”的方法(SCK). 教学案例2献爱心捐款活动 在汶JlI大地震的捐款活动中,某校八年级(1) 班第3小组11名同学的捐款数如下(单位:元): l,1,2,2,3,4,1,5,8,10,80.这组数据的平均数能 比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗?

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数学通报 设计说明在历史上,中位数几乎是作为平

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教师:你能求出这组数据的平均数吗? 学生:能.(过了一会)平均数为10.6. 教师:平均数能反映全班同学捐款的“平均水
平”吗?

均数的替代品而出现的.埃其渥斯(Edgeworth) 发现平均数对极端值的敏感性,而中位数比平均 数更稳健(Robustness)(稳健性用于描述对极端 值的不敏感性).该案例的设计正是在现代问题情 境之下,拟合了中位数历史起源的思想.‘ 教学实践 Y老师认为,学生往往不清楚在

学生:捐款超过10.6的人数只有1个,因而 不能代表全班同学捐款的平均水平. 教师:为什么会出现这种情况? 学生:最大值和最小值差异过大,其中的最大 值80远远大于其余的数据,拉大了这组数据的平
均水平.

什么情况下使用平均数和中位数(KCS).Y老师 首先介绍中位数的历史起源,分析了中位数对极 端值的不敏感性(SCK),再讲授献爱心捐款活动 的案例(KCT),从而引入中位数的概念(CCK). 由于学生已经了解了中位数的历史知识,因而直 接说出了极端值对平均数的影响,这样,教师实际 上并未了解学生是如何理解平均数的,让学生错 失了探究中位数为什么替代平均数的机会(KCS
:M).

教师:也就是说,当数据中出现极端值时,平 均数不能作为这组数据的代表,这时我们需要学 习另外一个集中趋势的量,即中位数,它也是数据 的一个代表(CCK).

从对话中可以看出,Q老师没有直接讲述平
均数对极端值的敏感性,而把中位数的历史起源 思想渗透到教学活动之中(SCK),自然引出了中 位数的概念. 教学案例3质点中位数 如图,数轴的上方有一些质点,每个质点的取 值用数轴上的数据来表示,如何寻找这些质点中 位数的位置?[93

Q老师认为,如果先介绍中位数起源的历史, 则学生在献爱心捐款活动案例中自然会想到用中 位数作为平均水平的代表,这就失去了激发学生 学习动机的目的(KCS).因此,她把该案例作为教 学的出发点,引人中位数概念之后,再让学生阅读 中位数的历史材料(KCT).以下是教学中的一段 对话:
●● ●●● ●●●●● ●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●

●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●● ● ●

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●●●_●●●●●●●●

● ●

● ●



44

46

设计说明

数据的分布是决定使用平均数和

他首先解释了中位数概念(CCK),再让学生讨论 如何寻找质点中位数的位置(KCT).当一个学生 回答质点中位数在数轴上33.5处时,教师问学生 如何找到的?学生回答含糊不清,声音较小,教师 对学生的回答不置可否,既没有肯定也没有否定, 而开始解释如何寻找中位数.此时,教师错失了了 解学生思维过程的机会(KCS:M). Q老师先对质点在数轴上的取值进行了解释, 再让学生分组讨论如何寻找质点中位数的位置 (KCT).通过课堂讨论,教师发现,学生的主要错 误是把数轴的中点位置当成了 (下转第23页)

中位数的关键所在,而大多数学生还没有形成数据 呈现偏态分布的意识,因此,当数据呈不规则分布 时,他们容易混淆对平均数和中位数的理解.1874 年,高尔顿(Galton)在一次演讲中给出了下面的描 述:“一个占据中间位置的物体具有这样的性质,即 比它多的物体的数目等于比它少的物体的数目.” 该案例改编自历史现象,要求在偏态分布中,学生 能够区分平均数和中位数所处的位置. 教学实践 Y老师指出,该案例是从“形”的角 度来理解中位数(SCK),学生会感到困难(KCS).

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3.4图式阶段 任何一个数学概念都不是孤立的存在,因此 需将所学的知识纳入学生已有的认知结构中,将 分散的知识联系起来.此时的函数概念,以一种综 合的心理图式存在于学生的脑海里,在数学知识 体系中占有特定的地位.这一心理图式含有具体 的函数实例、性质、抽象的过程、完整的定义,甚至 与其他概念(如方程、图象、曲线等)的区别与 联系. 在本阶段,教师进行课堂小结,指导学生根据 以往的知识基础以及经验画函数的概念图,通过 概念图使函数以视觉化方式呈现出来,使各个表 征之间建立联系,让学生对函数概念有整体性的 认识,即它既有代数的特征(函数的解析式),数的 特征(函数的列表方式),也有几何的特征(函数的 图象),符号特征(y一厂(z)),以及通俗的形象化 特征(输人~输出箱).并结合一定的变式训练等,

多方位地丰富完善概念,使函数概念成为后续学 习的一个稳固的知识固着点. 综上可见,通过汲取三种学习理论自身的优 点,寻找一个契合点将其融合在数学概念教学设 计当中,将有助于深化对数学概念教学的认识,科 学地把握数学概念建构的过程,有效提升数学概 念教学设计的质量,提高数学概念教学的效果.

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(上接第18页) 质点的中位数位置,但也有学生正确找到质点中 位数在数轴上34偏左一点(KCS).教师进一步解 释了中位数的概念(CCK),并指出,中位数的位 置使得其左右两边质点的个数相等(SCK).在课 堂教学中,气氛非常活跃,教师让学生回答问题之 后,忽略了还有其他学生举手想发言,错失了让学 生发表自己观点的机会(KCS:M).

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