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四川省成都实验外国语学校2012-2013学年高一(下)6月月考数学试卷(含解析)


四川省成都实验外国语学校 2012-2013 学年高一(下)6 月月考数学试卷(含解析)
一、选这题(每小题 5 分共 50 分) 1. (5 分) (2012?福建)下列不等式一定成立的是( ) A. B . 2 lg(x + )>lgx(x>0) sinx+ ≥2(x≠kx,k∈Z) C. x2+1≥2|x|(x∈R) D. (x∈R)

考点: 不等式比较大小. 专题: 探究型. 分析: 由题意,可对四个选项逐一验证,其中 C 选项用配方法验证,A,B,D 三个选项代 入特殊值排除即可 解答: 解:A 选项不成立,当 x= 时,不等式两边相等; B 选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出 sinx+
2 2

≥2;

C 选项是正确的,这是因为 x +1≥2|x|(x∈R)?(|x|﹣1) ≥0, D 选项不正确,令 x=0,则不等式左右两边都为 1,不等式不成立 综上,C 选项是正确的 故选 C 点评: 本题考查不等式大小的比较,不等式大小比较是高考中的常考题,类型较多,根据题 设选择比较的方法是解题的关键 2. (5 分)如果直线 l 将圆:x +y ﹣2x﹣4y=0 平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取 值范围是( ) A.[0,2] B.[0,1] C. D. [0, ]
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 2 2 分析: 圆的方程可知圆心(1,2) ,直线 l 将圆:x +y ﹣2x﹣4y=0 平分,直线过圆心,斜率 最大值是 2,可知答案. 2 2 解答: 解:直线 l 将圆:x +y ﹣2x﹣4y=0 平分,直线过圆心,圆的方程可知圆心(1,2) , 且不通过第四象限, 斜率最大值是 2,排除 B、C、D. 故选 A. 点评: 本题采用数形结合,排除法即可解出结果.是基础题.

3. (5 分)等差数列{an}中,

,从第 10 项开始大于 1,则 d 的取值范围是(



A. (

,+∞)

B. (﹣∞,



C.

[



D.



]

考点: 数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据题意,可得{an}的通项公式为 an= +(n﹣1)d,由{an}的第 10 项开始大于 1, 可得 d>0,a9≤1 且 a10>1,由此建立关于 d 的不等式,解之即可得到 d 的取值范围. 解答: 解:∵数列{an}是等差数列,首项 , ∴{an}的通项公式为 an= ∵从第 10 项开始大于 1, +(n﹣1)d

∴数列{an}是单调递增的数列,满足



解之得

<d≤

故选:D 点评: 本题给出等差数列的首项,从第 10 项开始大于 1,求公差的范围.着重考查了等差数 列的通项公式与数列的单调性等知识,属于基础题. 4. (5 分) 若两圆 x +y =m 和 x +y +6x﹣8y﹣11=0 有公共点, 则实数 m 的取值范围是 ( A.(﹣∞,1) B.(121,+∞) C.[1,121] D.(1,121)
2 2 2 2



考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 分析: 求得两圆的圆心坐标与半径,根据两圆 x +y =m 和 x +y +6x﹣8y﹣11=0 有公共点, 建立不等式,即可求得 m 的取值范围. 2 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 可化为(x+3) +(y﹣4) =6 , 圆心 O1(0,0) ,圆心 O2(﹣3,4) ,两圆圆心距离 d=5, 2 2 2 2 ∵两圆 x +y =m 和 x +y +6x﹣8y﹣11=0 有公共点, ∴| ﹣6|≤5≤ +6 ∴1≤m≤121 故选 C. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题. 5. (5 分) (2012?湖南)在△ABC 中,AC= A. B. ,BC=2 B=60°则 BC 边上的高等于( C. D. )

考点: 解三角形. 专题: 计算题;压轴题.

2 2 2 分析: 在△ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 可求 AB=3,作 AD⊥ BC,则在 Rt△ABD 中,AD=AB×sinB 2 2 2 解答: 解:在△ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB

把已知 AC=

,BC=2 B=60°代入可得,7=AB +4﹣4AB×
2

2

整理可得,AB ﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作 AD⊥BC 垂足为 D Rt△ABD 中,AD=AB×sin60°= 即 BC 边上的高为 故选 B ,

点评: 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出 AB,属于基 础试题 6. (5 分) (2007?湖北)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x﹣3) +y =1 引切线,则切线长的最 小值为( ) A.1 B.2 C. D.3 考点: 圆的切线方程. 专题: 压轴题. 分析: 先求圆心到直线的距离,此时切线长最小,由勾股定理不难求解切线长的最小值. 解答: 解:切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到 直线的距离为 d= , 故选 C. 点评: 本题考查圆的切线方程,点到直线的距离,是基础题. 7. (5 分) 已知数列{an}是等比数列, 若 a9a22+a13a18=4, 则数列{an}的前 30 项的积 T30= ( 15 15 15 A.4 B.2 C. D.3 ) ,圆的半径为 1,故切线长的最小值为
2 2

考点: 等比数列的前 n 项和.

专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可知,a9a22=a13a18=a1a30,结合已知可求 a1a30,从而可求 T30=a1?a2…a30 解答: 解:∵a9a22=a13a18=a1a30 又∵a9a22+a13a18=4, ∴a1a30=2 ∴T30=a1?a2…a30= =2
15

故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质(若 m+n=p+q,则 aman=apaq)的简单应用,解题的 关键是熟练掌握基本知识并能灵活利用 8. (5 分)设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx﹣ysinB+sinC=0 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 先由直线方程求出两直线的斜率,再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1,故两直线 垂直. 解答: 解:两直线的斜率分别为 和 , △ABC 中,由正弦定理得 ∴斜率之积等于 =2R,R 为三角形的外接圆半径, ,故两直线垂直,

故选 A. 点评: 本题考查由直线方程求出两直线的斜率,正弦定理得应用,两直线垂直的条件. 9. (5 分)已知点 M(a,b) (ab≠0)是圆 C:x +y =r 内一点,直线 l 是以 M 为中点的弦 2 所在的直线,直线 m 的方程是 ax+by=r ,那么( ) A.l∥m 且 m 与圆 c B.l⊥m 且 m 与圆 c C.l∥m 且 m 与圆 c D.l⊥m 且 m 与圆 c 相切 相切 相离 相离 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件求得直线 l 的斜率,再求出直线 m 的斜率,可得它们的斜率相等.利用点到直 线的距离公式求得圆心 C 到直线 m 的距离 大于半径,由此可得 l∥m 且 m 与圆 c 相离. 解答: 2 2 2 解:由题意可得 a +b <r ,且 CM⊥直线 l,故直线 l 的斜率为 =﹣ .
2 2 2 2

直线 m 的方程是 ax+by=r ,那么直线 m 的斜率为﹣ ,圆心 C 到直线 m 的距离等于

>r, 故 l∥m 且 m 与圆 c 相离, 故选 C. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.

10. (5 分) (2006?广东)在约束条件

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最

大值的变化范围是(



A.[6,15]

B.[7,15]

C.[6,8]

D.[7,8]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过区域 内边界上的某些点时,z 最大值即可. 解答: 解:由 交点为 A(0,2) ,B(4﹣s,2s﹣4) , C(0,s) ,C'(0,4) , 当 3≤s<4 时可行域是四边形 OABC,此时,7≤z≤8 当 4≤s≤5 时可行域是△OAC'此时,zmax=8 故选 D.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划.由于线性规划的介入,借助于平面区域,可以研究 函数的最值或最优解;借助于平面区域特性,我们还可以优化数学解题,借助于规划 思想,巧妙应用平面区域,为我们的数学解题增添了活力. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)过点(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 3x﹣2y=0, x+y﹣5=0,x﹣y+1=0. . 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 通过对截距的讨论利用直线的截距式即可求出. 解答: 解:① 若此直线经过原点,则斜率 k= ,∴要求的直线方程为 3x﹣2y=0; ② 当直线不经过原点时,由题意是直线的方程为 x±y=a, 把(2,3)代入上述直线的方程得 2±3=a,解得 a=5 或﹣1. ∴直线的方程为 x+y﹣5=0,x﹣y+1=0. 综上可知:要求的直线方程为 3x﹣2y=0,x+y﹣5=0,x﹣y+1=0. 故答案为:3x﹣2y=0,x+y﹣5=0,x﹣y+1=0. 点评: 熟练掌握直线的截距式是解题的关键,考查了分类讨论思想.

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件:

;则 z=x﹣2y 的最大值为 3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y 表示直线在 y 轴上的 截距的一半,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 解答: 解:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z=x﹣2y 过点 A(3,0)时, 在 y 轴上截距最小,此时 z 取得最大值 3. 故答案为:3.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

13. (5 分) 已知向量
2 2



, 且直线 2xcosα

﹣2ysinα+1=0 与圆(x﹣cosβ) +(y+sinβ) =1 相切,则向量 与 的夹角为 60° . 考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用直线与圆相切的充要条件:圆心到直线的距离等于圆的半径,再利用向量夹角的 余弦等于两向量的数量积除以它们的模 2 2 解答: 解:∵直线 2xcosα﹣2ysinα+1=0 与圆(x﹣cosβ) +(y+sinβ) =1 相切, ∴ =1

解得

向量

=

=

故两向量的夹角为 60° 故答案为 60° 点评: 本题考查直线与圆相切的充要条件及向量数量积的应用:求夹角.

14. (5 分)数列{an}满足

,则 an=



考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 利用递推公式 解答: 解:当 n=1 时,可得 当 n≥2 时,

即可求解

,即 a1=14

两式相减可得,

∴ 当 n=1 时,a1=14 不适合上式 故

故答案为: 点评: 本题主要考查了数列的递推公式 的应用,要注意对 n=1 的检验 15. (5 分)给出下列命题: ① 函数 的最小值为 5;

在数列的通项公式求解中

② 若直线 y=kx+1 与曲线 y=|x|有两个交点,则 k 的取值范围是﹣1≤k≤1; ③ 若直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 2 ,则 m 的倾 斜角可以是 15°或 75° * ④ 设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,若对任意 n∈N ,均有 Sn>0, 则数列{Sn}是递增数列 ⑤ 设△ABC 的内角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA 则 sinA:sinB:sinC 为 6:5:4 其中所有正确命题的序号是 ① ③ ④ ⑤ . 考 命题的真假判断与应用. 点 : 专 综合题. 题 :

分 ① 化 析 :

=

= , 几何意义为 x 轴上点 (x,

0)到两定点(4,2) , (0,﹣1)距离.数形结合求出最小值. ② 在同一坐标系内作出 y=kx+1 与 y=|x|的图象,可知当 k=±1 时,有一个交点. ③ 先求两平行线间的距离, 结合题意直线 m 被两平行线 l1 与 l2 所截得的线段的长为 , 求出直线 m 与 l1 的夹角为 30°,推出结果. * ④ a1=S1>0,若 d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在 n∈N ,使得 Sn<0,假设不成 立. ⑤ 由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA= 3b=20acosA,可得 cosA= = ,从而可得 ,再由 ,由此解得 a=6,

可得三边长,根据 sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果 解 解: 答 ① = = :

即求 x 轴上点(x,0)到两定点(4,2) , (0,﹣1)距离和的最小值 而两点位于 x 轴的 两侧,所以最小值即两点的距离最短 ① 正确

② 在同一坐标系内作出 y=kx+1 与 y=|x|的图象,可知当 k=±1 时,有一个交点.② 错误

③ 两平行线间的距离为 d=



由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°,l1 的倾斜角为 45°, 所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°﹣30°=15°.③ 正确 * ④ 若对任意 n∈N ,均有 Sn>0,则 a1=S1>0,若 d<0,则数列数列{an}为递减数列,总 * 存在 n∈N ,使得 Sn<0,假设不成立,必有 d>0,数列{Sn}是递增数列.④ 正确. ⑤ 由于 a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,可设三边长分别为 a、a ﹣1、a﹣2. 由余弦定理可得 cosA= ,又 3b=20acosA,可得 cosA= =

从而可得

,解得 a=6,故三边分别为 6,5,4.

由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: (a﹣1) : ( a﹣2)=6:5:4,⑤ 正确 综上所述,正确答案序号为① ③ ④ ⑤ 故答案为:① ③ ④ ⑤ 点 本题以命题真假的判断为载体,着重考查了函数最值,图象与性质,两条直线夹角,数 评 列的单调性,正弦定理、余弦定理的应用.属于中档题. : 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积. ,

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (1)根据正弦定理表示出 a,b 及 c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式 及诱导公式变形后,根据 sinA 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的 三角函数值即可求出角 B 的度数; (2)由(1)中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,根据余弦定理表示出 b2,利 用完全平方公式变形后,将 b,a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值,然后利用三角形 的面积公式表示出△ABC 的面积,把 ac 与 sinB 的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)由正弦定理 得: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0, ∵sinA≠0,∴ , ; 代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得:
2 2 2 2



∵B 为三角形的内角,∴ (II)将 b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, ∴ .
2



点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理及三角函数的恒等变形.熟练掌握定理及公式是解本 题的关键.利用正弦定理表示出 a,b 及 c 是第一问的突破点. 17. (12 分)已知射线 l1:y=4x(x≥0)和点 P(6,4) ,试在 l1 上求一点 Q 使得 PQ 所在直 线 l 和 l1 以及直线 y=0 在第一象限围成的面积达到最小值,并写出此时直线 l 的方程. 考 点: 专 题: 分 析: 解 答: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 计算题;直线与圆. 设出点 Q 的坐标,写出直线 PQ 的方程,求出直线在 x 轴上的截距,然后利用三角形 的面积公式列式计算面积取最大值时的 a 的值,则直线方程可求. 解:设点 Q 坐标为(a,4a) ,PQ 与 x 轴正半轴相交于 M 点. 由题意可得 a>1,否则不能围成一个三角形. PQ 所在的直线方程为: 令 ∵a>1,∴ 则 =
2



, ,



当且仅当(a﹣1) =1 取等号.所以 a=2 时,Q 点坐标为(2,8) ; PQ 直线方程为:x+y﹣10=0. 点 本题考查了直线的图象特征与倾斜角和斜率的关系, 训练了二次函数取得最值得条件, 评: 解答此题的关键是正确列出三角形面积的表达式,是中档题. 18. (12 分) (2012?江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣ n +kn(其中 k∈N+) ,且 Sn 的最 大值为 8. (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 的前 n 项和 Tn.
2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: (1)由二次函数的性质可知,当 n=k 时, 然后利用 an=sn﹣sn﹣1 可求通项

取得最大值,代入可求 k,

(2)由 解答: 解: (1)当 n=k 时, 即 ∴k=4,Sn=﹣ n +4n 从而 an=sn﹣sn﹣1= 又∵ ∴
2

=

,可利用错位相减求和即可

取得最大值 = =8

﹣[﹣ (n﹣1) +4(n﹣1)]=

2

适合上式

(2)∵

=



=

两式向减可得,

=

=

∴ 点评: 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式, 及数列求和的错位相减求和 方法是数列求和中的重要方法,也是高考在数列部分(尤其是理科)考查的热点,要 注意掌握 19. (12 分)已知圆 C 的方程为:x +y =4 (1)求过点 P(2,1)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 D(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0) , 程. 考点: 直线与圆的位置关系;与直线有关的动点轨迹方程. =(0,y0) ,若向量 = +
2 2

,求直线 l 的方程; ,求动点 Q 的轨迹方

专题: 直线与圆. 分析: (1)分两种情况考虑:当直线 l 的斜率不存在时,直线 x=2 满足题意;当 k 存在时, 变形出 l 方程,利用圆心到 l 的距离 d=r 列出方程,求出方程的解得到 k 的值,确定 出此时 l 方程,综上,得到满足题意直线 l 的方程; (2)分两种情况考虑:当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,直线 l 与圆的 两个交点距离为 2 ,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设其方程为 y﹣2=k (x﹣1) , 求出圆心到直线 l 的距离 d=1, 利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程,求出方程的解得到 k 的值,确定出此时 直线方程,综上,得到满足题意直线 l 的方程; (3)设 Q(x,y) ,表示出 , ,代入已知等式中化简得到 x=x0,y=2y0,代入圆

方程变形即可得到 Q 轨迹方程. 解答: 解: (1)当 k 不存在时,x=2 满足题意; 当 k 存在时,设切线方程为 y﹣1=k(x﹣2) , 由 =2 得,k=﹣ ,

则所求的切线方程为 x=2 或 3x+4y﹣10=0; (2) 当直线 l 垂直于 x 轴时, 此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为 (1, 和(1,﹣ ) ,这两点的距离为 2 ,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k+2=0, 设圆心到此直线的距离为 d, ∴d= =1,即 =1,



解得:k= , 此时直线方程为 3x﹣4y+5=0, 综上所述,所求直线方程为 3x﹣4y+5=0 或 x=1; (3)设 Q 点的坐标为(x,y) , ∵M(x0,y0) , =(0,y0) , = + ,

∴(x,y)=(x0,2y0) , ∴x=x0,y=2y0, 2 2 ∵x0 +y0 =4, ∴x +( ) =4,即
2 2

+

=1.

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及与直线有关的轨迹方程,涉及的知识有:垂径 定理,勾股定理,点到直线的距离公式,直线的点斜式方程,以及平面向量的数量积 运算, 利用了分类讨论的思想, 分类讨论时要求学生考虑问题要全面, 做到不重不漏.

20. (13 分) (2005?上海)已知函数 f(x)=x+ 的定义域为(0,+∞) ,且 f(2)=2+

.设

点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、N. (1)求 a 的值. (2)问:|PM|?|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由. (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;压轴题;数形结合;转化思想. 分析: (1)由 f(2)=2+ =2+ 求解 a. (2)先设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则有 y0=x0+ 式求得|PM|,|PN|计算即可. (3)由(2)可将 S 四边形 OMPN 转化为 S△OPM+S△OPN 之和,分别用直角三角形面积公 式求解,再构造 S 四边形 OMPN 面积模型求最值. 解答: 解: (1)∵f(2)=2+ =2+ ,∴a= . (2)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则有 y0=x0+ ,x0>0, ,x0>0,再由点到直线的距离公

由点到直线的距离公式可知,|PM|=

=

,|PN|=x0,

∴有|PM|?|PN|=1,即|PM|?|PN|为定值,这个值为 1. (3)由题意可设 M(t,t) ,可知 N(0,y0) . ∵PM 与直线 y=x 垂直, ∴kPM?1=﹣1,即 =﹣1.解得 t= (x0+y0) .

又 y0=x0+

,∴t=x0+



∴S△OPM=

+

,S△OPN= x0 +

2



∴S 四边形 OMPN=S△OPM+S△OPN= (x0 +

2

)+

≥1+



当且仅当 x0=1 时,等号成立. 此时四边形 OMPN 的面积有最小值:1+ . 点评: 本题主要考查函数与方程的综合运用, 还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解 决. 21. (14 分)九连环是我国的一种古老的智力游戏,它环环相扣,趣味无穷.按照某种规则 解开九连环,至少需要移动圆环 a9 次.我们不妨考虑 n 个圆环的情况,用 an 表示解下 n 个 圆环所需的最少移动次数,用 bn 表示前(n﹣1)个圆环都已经解下后,再解第 n 个圆环所 需的次数,按照某种规则可得:a1=1,a2=2,an=an﹣2+1+bn﹣1,b1=1,bn=2bn﹣1+1. (1)求 bn 的表达式; (2)求 a9 的值,并求出 an 的表达式; (3)求证: .

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 bn=2bn﹣1+1.可得 bn+1=2(bn﹣1+1) ,又 b1+1=2,可得数列{bn+1}是等比数 列,即可得出; (2)利用(1)及已知可得: 出 a9. 当 n 是偶数时, =…= 当 n 是奇数时, =…=
3

,递推下去即可得

=2

n﹣1

+2

n﹣3

+…+2 +2,

3

=2

n﹣1

+2

n﹣

+…+2 +1,再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出;
*

2

(3)利用放缩法可得:当 n∈N 时, 得出. 解答: 解: (1)由 bn=2bn﹣1+1.可得 bn+1=2(bn﹣1+1) ,又 b1+1=2, ∴数列{bn+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ ,得 .

=

,即可

(2)由已知 ∴ 当 n 是偶数时, =…= =2 =
n﹣1

, +2 +2 +2 =
8 6 4

=341.

+2

n ﹣3

+…+2 +2 = .

3

当 n 是奇数时, =…= =2 =
n﹣1

+2

n ﹣3

+…+2 +1 .

2

综上所述:



(3)当 n 为偶数时,

,当 n 为奇数时,



∴当 n∈N 时,

*

=





…+

=



点评: 熟练掌握分类讨论思想方法、变形利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式等是解题 的关键.


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