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高二数学直线和圆的方程综合测试题


《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

高二数学《直线和圆的方程》综合测试题
一、 选择题: 1. 如果直线 l 将圆: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜 率取值范围是( A. [0,2] ) C. (??,0) ? (2,??) ) C.
2? 3

B. (

0,2)

D. (??,0] ? [2,??)

2.直线 x ? 3 y ? 8 ? 0 的倾斜角是( A.

? 6

B.

? 3

D.

5? 6

3. 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 ,与 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则 a 的值为( A. ? 3 ) B. 1 C.0 或 ?
3 2

D.1 或 ? 3

4. 过点 (2,1) 的直线中被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长最大的直线方程 是( ) B. 3x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0 )

A. 3x ? y ? 5 ? 0

5.过点 P(?2,1) 且方向向量为 n ? (?2,3) 的直线方程为(

A. 3x ? 2 y ? 8 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 6.圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ?
1 2

3 x 的距离是( 3

)

A.

B.

3 2

C.1

D.

3
)

7.圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆 C 2 的方程为:( A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 世 上 无 难 事 B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 D. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 -1只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010) 8.过点 (2,1) 且与两坐标轴都相切的圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 )

B. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 9. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 M , N 两点,若 | MN |? 2 3 , 则 k 的取值范围是(
3 A. [ ? , 0] 4

)
3 3 , ] 3 3

B. [ ?

C. [? 3, 3] )

2 D. [ ? , 0] 3

10. 下列命题中,正确的是( A.方程

x ? 1 表示的是斜率为 1,在 y 轴上的截距为 2 的直线; y ?1

B.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y ? 5 ; C .已知 ?ABC 三个顶点 A(0,1), B(2,0), C (?3,0) ,则 高 AO 的方程是 x ? 0 ; D.曲线 2 x 2 ? 3 y 2 ? 2 x ? m ? 0 经过原点的充要条件是 m ? 0 . 11.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则 F ? E ? 0 且 D ? 0 是圆 C 与 y 轴相切 于坐标原点的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.若直线 y ? x ? m 与曲线 x ? 1 ? y 2 只有一个公共点,则实数 m 的取值范围 是( ) B. m ? 2 或 m ? ? 2 D. ? 1 ? m ? 1 或 m ? ? 2

A. m ? ? 2 C. ? 2 ? m ? 2 二.填空题:

13.已知直线 kx ? y ? 6 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8,则 k 的值为:_____ 世 上 无 难 事 -2只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010) 14.过点 (?2,5) ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线方程为:__________;

? x ? 2 y ? 24 ?3 x ? 2 y ? 36 ? 15. 若 x, y 满足约束条件: ? ,则 Z ? 2 x ? 3 y 的最大值为______. ?1 ? x ? 10 ? ?1 ? y ? 12
16.已知实数 x, y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则 三.解答题: 17.求与 x 轴切于点 (5,0) ,并且在 y 轴上截得弦长为 10 的圆的方程.
y 的取值范围是:_______________. x

18.已知一个圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,且在直线 l 2 : x ? y ? 0 上截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程.

19.已知 ?ABC 的顶点 A 是定点,边 BC 在定直线 l 上滑动, | BC |? 4 , BC 边上的 高为 3,求 ?ABC 的外心 M 的轨迹方程.
A

l
C
B

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《直线和圆的方程》综合测试题(2010) 20.求满足下列条件的曲线方程: (1) 曲线 C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ,沿向量 n ? (?2,1) 平移所得的曲线 为 C 2 ,求 C 2 的方程; (2) 曲线 C1 : y ? 2 x 2 沿向量 n ? (2,3) 平移所得的曲线为 C 2 ,求 C 2 的方程;

21.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点,O 为原 点,且 OP ? OQ ,求实数 m 的取值.

22.已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 (1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

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《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 参考答案
一. 选择题: ADDAB 二. 填空题: 13. ? 3 15. 39 三. 解答题: 17.答案: ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5 2 ) 2 ? 50. 18.解:∵圆心在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,∴设圆心 C 的坐标为 (3t , t ) ∵圆 C 与 y 轴相切, ∴圆的半径为 r ?| 3t | 设圆心到 l 2 的距离为 d ,则 d ?
| 3t ? t | 2 ? 2t

ABCBD

AD 14. 15x ? 8 y ? 10 ? 0, 或x ? ?2 16.

[ ? 3, 3 ]

又∵圆 C 被直线 l 2 上截得的弦长为 2 7 , ∴由圆的几何性质得: | 3t |2 ? ( 7 ) 2 ? ( 2 | t |) 2 ,解得 t ? ?1 ∴圆心为 (3,1) 或 (?3,?1),t ? 3 , ∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9, 或( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 19.解:因为 A 为定点, l 为定直线,所以以 l 为 x 轴,过 A 且垂直于 l 的直线为
y 轴,建立直角坐标系(如图),则 A(0,3) ,设 M ( x, y) ,过 M 作 MN ? x
y

轴,垂足为 N ,则 N ( x,0) 且 N 平分 BC , 又因为 | BC |? 4 ,
? C ( x ? 2,0), B( x ? 2,0),
? M 是 ?ABC 的外心,? | MB |?| MA |,

M

A

C

N

B

o

x

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《直线和圆的方程》综合测试题(2010) ∴ ( x ? 2 ? x) 2 ? (0 ? y ) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 , 化简得, M 的轨迹方程为:
x 2 ? 6x ? 5 ? 0

20.解:(1)设点 M ( x, y) 为曲线 C 2 上的任意一点,点 M 0 ( x0 , y0 ) 是平移前在曲 线 C1 上与之对应的点,则有 M 0 M ? n ? (?2,1) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? (?2,1),

?x ? x ? 2 ∴? 0 , y ? y ? 1 ? 0
又∵点 M 0 ( x0 , y0 ) 在曲线 C1 上,∴ ( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 1) 2 ? 4 ,从而

[(x ? 2 ? 2)]2 ? [( y ? 1) ? 1]2 ? 4 ,化简得, x 2 ? y 2 ? 4 为所求.
(2) 设点 M ( x, y) 为曲线 C 2 上的任意一点,点 M 0 ( x0 , y0 ) 是平移前在曲线

C1 上与之对应的点,则有 M 0 M ? n ? (2,3) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? (2,3),

?x ? x ? 2 ∴? 0 , y ? y ? 3 0 ?
又∵点 M 0 ( x0 , y0 ) 在曲线 C1 上,∴ y0 ? 2x0 ,从而
2

( y ? 3) ? 2( x ? 2) 2 ,化简得, y ? 2 x 2 ? 8x ? 11为所求.
21. 解: 设点 P, Q 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) . 一方面,由 OP ? OQ ,得 kOP ? kOQ ? ?1 ,即 从而, x1 x2 ? y1 y2 ? 0????①

y1 y 2 ? ? ?1, x1 x2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 另一方面, ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 是方程组 ? 2 ,的实数解, 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
即 x1 , x 2 是方程 5x 2 ? 10x ? 4m ? 27 ? 0 …… ②的两个实数根, 世 上 无 难 事 -6只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010) ∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 ? x 2 ?
4m ? 27 5

………… ③

又 P, Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,
1 1 1 (3 ? x1 ) ? (3 ? x 2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] 2 2 4 m ? 12 将③式代入,得 y1 ? y 2 ? ………… ④ 5 又将③,④式代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立。 ∴m ? 3

∴ y1 ? y 2 ?

22.解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则直线 l 恒通过点
(4,3) ,把 (4,3) 代入圆 C 的方程,得 (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 ,所以点 (4,3)

在圆的内部, 又因为直线 l 恒过点 (4,3) , 所以直线 l 与圆 C 总相交. (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则

d?

| 3k ? 4 ? 4k ? 3 | 32 ? 4 2

?

| k ?1| 5

L 2 L 2 (k ? 1) 2 2 2 L 又设弦长为 ,则 ( ) ? d ? r ,即 ( ) ? 4 ? . 2 2 25 L ∴当 k ? ?1 时, ( ) 2 min ? 4 ? Lmin ? 4 2 所以圆被直线截得最短的弦长为 4.

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