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第13招 如何让求反函数


第 13 招 如何让求反函数 ?如何让利用反函数的概念和性质解题? 反函数的内容在高考中是常考的知识点,且多以选择题、填空题的而形式出现. 解法指导与经典范例 (一) 求函数 y=f(x)的反函数的方法步骤 1. 把原函数 y=f(x)看作是以 x 为未知数的方程,解方程求出 x= f 2. 把 x、y 互换,得 y= f
?1 ?1

( y );



?x ?, 这就是原函数 y=f(x)的反函数;

3. 写出反函数的定义域. 注意: (1)求函数的反函数时,要从 y=f(x)中解出 x,在变形过程中如果遇到平方、开方、 去分母等,不能改变原函数式中 x、y 的取值范围,因此写反函数的解析式时必须连同其定 义域写在一起.(2)分段函数的反函数仍是分段函数.要求分段函数反函数,可先分别求出各 段函数的反函数,然后再合并在一起. 【例 1】2001.全国、广东文、理一(6)函数 y=2
?x

?1?x ? 0? 的反函数是(



1 , x ? ?1,2? x ?1 1 C. y ? log 2 , x ? ?1,2? x ?1
A. log 2 解一 ? x ? 0,?1 ? y ? 2 数的反函数为 y ? log 2
?x

1 , x ? ?1,2? x ?1 1 D. y ? ? log 2 , x ? ?1,2? x ?1
B. y ? ? log 2

? 1 ? 2.由2 ? x ? y ? 1, 得2 x ?

1 1 ,? x ? log 2 , 则原函 y ?1 y?2

1 , x ? ?1,2?. 因此应选 A. x ?1
?x

解二 (排除法+特殊值判断法) ? x ? 0,?1 ? y ? 2 定义域, 排除 C、 D.又当 x=1 时, y=2 ?1 ?
?1

? 1 ? 2. ? 区间(1,2)是反函数的

3 3 . 对反函数来说,x ? 时, y应等于1.而这时 2 2

? log 2

1 1 ? ? log 2 ? ?1 ? 1,? B 被排除.因此应选 A. 3 x ?1 ?1 2

【例 2】求函数 f(x)= x x ? 2 x的反函数.

? x 2 ? 2 x?x ? 0 ? ? 解 f(x)= ? ?? x 2 ? 2 x ? x ? 0 ? ?
当 x ? 0时,由y ? x ? 2 x,即x ? 2 x ? y ? 0, 解得x ? ?1 ? 1 ? y .
2 2

? x ? 0,? y ? x 2 ? 2 x ? 0 ,因此反函数为 y=-1+ 1 ? x ?x ? 0?
当 x<0 时,由 y=-x ?2 x, 即x ? 2 x ? y ? 0解得x ? ?1 ? 1 ? y . ? x ? 0时,
2 2

? ?? 1 ? 1 ? x ?x ? 0? . ? y ? ? x 2 ? 2 x ? 0, 因此反函数为 y ? ?1 ? 1 ? x ?x ? 0?? f ?1 ?x ?? ?? 1 ? 1 ? x ?x ? 0? ? 2x ? 3 【例 3】函数 y ? 的反函数是其本身,则 a 的值是( ) x?a
A.-2 B.0 C.1 D.2 解一 由 y ?

2x ? 3 得xy ? ay ? 2 x ? 3, ?2 ? y ?x ? ay ? 3, 当y ? 2时: x?a

x?

ay ? 3 ax ? 3 ,? 反函数是y ? . 2? y 2? x

2 x ? 3 ax ? 3 ? .易见a ? ?2.应选A. x?a 2? x 3 2x ? 3 解二 (特殊值判断法) 当 x=0 时 f(0)= ,由于y ? 的反函数是其本身, a x?a
依题意:

? 3? 2??? ? ? 3 3 6 a? ? x ? ? 时, y ? 0.代入得 ? ? 0,? ? 3 ? 0, a ? ?2.选A. 3 a a - ?a a
(二) 反函数概念在解题中的应用 有关反函数的一些问题,如求反函数的定义域、求反函数的某个函数值,求函数的值域、判 断反函数的奇偶性、单调性、作反函数图象等问题,可以不必把反函数求出来,而是利用反 函数与原函数的关系,将其转化为原函数的相应问题来求解或证明. 1. 求反函数定义域的方法 (1) 直接求,先求出反函数在求其定义域; (2)间接求,利用: “反函数的定义域就是原 函数的值域”的关系,改为去求原函数的值域(若原函数的值域比较好求.) 【例 4】1999.上海文理一(2)函数 f(x)=log 2 x ? 1?x ? 4?的反函数f
?1

?x ? 的定义域是____.

解 由 x ? 4 得 log 2 x ? log 2 4 ? 2,? f ?x ? ? log 2 x ? 1 ? 3. 即 f(x)的值域是 ?3,?? ?,? 反函 数 f 值. 【例 5】1993.全国文、理二(23)设 f ?x ? ? 4 ? 2
x x ?1 ?1

(0) ? b ? f (b) ? a 的关系,改为去解方程 f(x)= x0 , 方程的解就是所求的反函数的

, 则f

?1

(0) ? _______.

解一 令 4 ? 2
x

x ?1

? 0, 解得x ? 1,即f (1) ? 0,? f
?1

?1

? (0) ? _______.

解二 可求反函数为 f

1 ? ? ( x) ? log 2 ?1 ? ?x ? 1? 2 ??x ? ?1?. 于是有 ? ?

1 f ?1 (0) ? log 2 ?1 ? ?0 ? 1?2 ? ? 1 . ? ? ? ?

3.利用反函数求函数值域的方法 由于反函数的定义域就是原函数的值域, 因此要求原函数的值域可改为去求其反函数的定义

cx ? d ?a ? 0? 的分式函数求值域时常用此法. ax ? b 2x ? 1 【例 6】求函数 y ? 的值域. x ?1
域.特别是形如 y ? 解 由y?

2x ? 1 y ?1 x ?1 得?2 ? y ?x ? y ? 1, 当y ? 2时,x ? . ?反函数为 y ? .?x ? 2?, x ?1 2? y 2? x

因此原函数的值域为 y ? ?? ?,2? ? ?2,?? ?. 4. 判断反函数奇偶性、单调性的方法 由于反函数与原函数具有相同的单调性和相同的奇偶性, 因此要判断反函数的奇偶性、 单调 性时,不必将反函数求出,而改为去判断原函数的奇偶性、单调性. 注意:由于偶函数没有反函数,多以反函数也不能使偶函数. 【例 7】1992.全国文理一(6)函数 y ? A.是奇函数,它在 ?0,??? 上是减函数 C.是奇函数,它在 ?0,??? 上是增函数

e x ? e?x 的反函数( 2

).

B.是偶函数,它在 ?0,??? 上是减函数 D.是偶函数,它在 ?0,??? 上是增函数

解一

f ?? x ? ?
x

e?x ? e x e x ? e?x e x ? e?x x 是奇偶数 .又 ? e 是增函 ?? ? ? f ?x ?,? y ? 2 2 2

数, e

?x

e x ? e?x ?1? ? ? ? 是减函数,? y ? 是增函数,因此它的反函数是奇函数,又是增 2 ?e?

函数.选 C.

3 3 15 , y 2 ? ? , y3 ? . 4 4 8 3 3 15 对反函数来说, x1 ? ? y1 ? ln 2; x2 ? ? ? y 2 ? ? ln 2; x3 ? ? y3 ? 2 ln 2, 可知 4 4 8
解二 (特殊值判断法) 令 x1 ? ln 2, x2 ? ? ln 2, x3 ? 2 ln 2, 可得y1 ? A、B、D 应排除.因此选 C. 注意:本题若去求反函数,运算很繁,反函数的式子也繁,再要判定其奇偶性、增减性,难 度较大. (三) 互为反函数的函数图象的位置关系在解题中的应用 1. 由于互为反函数的两函数图象关于直线 y=x 对称, 由此可得:若点(a、b) 在函数 y=f(x) (或 y ? f
?1

?x ? 的图象上,则点(b、a)再其反函数 y ?

f

?1

?x ??或y ? f ?x ??的 图象上,牵

涉到有原函数和反函数的图象时,要注意利用者性质来解题. 【例 8】2002.全国文二(14)函数 y ? 为_______.

2x , ?x ? ?? 1,?? ?? 图象与其反函数图象的交点坐标 1? x

2x ? ?y ? 1? x ?x ? 0 ?x ? 1 2x x ? 解一 由 y ? , 得f ?1 ? x ? ? .由? 解得? 或? . ? 交 点 为 ( 0,0 ) x 1? x 2? x ? ?y ? 0 ?y ? 1 y? ? 2? x ?
(1,1). 解 二 设 两 函 数 图 象 交 点 为

?x0 , y0 ?. ? ?x0 , y0 ?

在 反 函 数 图 象 上 ,

2 x0 ? ? y0 ? 1 ? x ? x0 ? 0 ? x0 ? 1 ? 0 , 解得? 或? . ? 交点为(0,0) , ? ? y 0 , x0 ? 在y ? f (x)图象上 于是 ? 2 y0 ? y0 ? 0 ? y0 ? 1 ?x ? ? 0 1 ? x0 ?
(1,1). 【例 9】1994.全国文理一(12)设函数 f ( x) ? 1 ? 1 ? x , ?? 1 ? x ? 0?, 则函数y ? f
2 ?1

?x ?

的图象(如图 2-11)是( A. B. C. D.
2



解一 由 y ? 1 ? 1 ? x 得 1 ? x ? 1 ? y,1 ? x ? ?1 ? y ? , x ? ? y ? 1? ? 1?? 1 ? x ? 0?.
2 2 2 2 2

? 1 ? x 2 ? 0,? y ? 1 ? 1 ? x 2 ? 1. 可见函数 x 2 ? ? y ? 1? ? 1?? 1 ? x ? 0, y ? 1? 的图象
2

是以点 ?0,1? 为圆心,1 为半径,且 ? 1 ? x ? 0, y ? 1 的 圆弧 如图2 ? 12 .它的反函数图象

1 4

?

?

时关于直线 y=x 对称的

1 圆弧.因此应选 B. 4

解二 (特殊值判断法)当 x=-1 时,f(-1)=1.则(1,-1)应在其反函数的图象上,排除 A、C.

1 3 ? 1? 时,f ? ? ? ? 1 ? ? 0.13, 则 ? 0.13,? 1 ? 应在其反函数的图象上,排 当 x=? ? 2 2 2? ? 2? ?
除 D.应选 B. 解三 (特殊值判断法) 在各选择支中作出关于直线 y=x 对称的图形, 既得 y=f(x)的图象 (如 图 2-13). A . B. C. D. 令 x=-1,得 f(-1)=1,从图 2-13 可见排除 A、C 令 x= ?

1 3 ? 1? , 得f ? ? ? ? 1 ? ? 0.13, 排除D,应选B. 2 2 ? 2?

2. 函数图象关于直线 y=x 对称的证明方法 要证明两个函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称或要证明函数 y=f(x)的图象关于直 线 y=x 对称,除可用第 16 招中所介绍的方法外,还可利用原函数与反函数的图象之间的对 称关系来证明.其方法如下: (1) 要证函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像关于直线 y=x 对称,只须证 f
?1

?x ? ? g ?x ?

?或g ?x? ? f ?x?? .(2)要证函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,只须证它的反函数是其本
?1

身,即只须证 f

?1

?x ? ? f ?x ?.
x ?1 ? 1? ? x ? R且x ? ? , ax ? 1 ? a?

【例 10】1988.全国理六给定实数 a?a ? 0且a ? 1?, 设函数y ? 证明:这个函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形. 证一 由 y ?

x ?1 1 得?ay ? 1?x ? y ? 1. (1)若 ay ? 1 ? 0,? a ? 0,? y ? , 由(1)式得 ax ? 1 a

0=

y ?1 ? 1? x ?1 1 的反函 ? ? 1, a ? 1, 这与已知条件矛盾。 ay ? 1 ? 0, 则x ? ? y ? ?,? y ? ay ? 1 ? a? ax ? 1 a x ?1 ? 1? ? x ? ?,即f ?x ? ? f ax ? 1 ? a?
?1

数 是 y=

?x ?. ? f ?x ?与f ?1 ?x ? 的 图 象 关 于 直 线

y=x 对 称 ,

?函数y ?

x ?1 ? 1? ? x ? R且x ? ? 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形. ax ? 1 ? a?

x0 ? 1 ?1 x0 ? 1 y0 ? 1 ax0 ? 1 x ?1 .而 ? ? 证二 设 p?x0 , y 0 ?在y ? 的图象上,则 y 0 ? x0 ? 1 ax0 ? 1 ay0 ? 1 ax ? 1 a? ?1 ax0 ? 1

?1 ? a ?x0 x0 ? 1 ? ax 0 ?1 x ?1 ? ? x0 , 可见p' ? y 0 , x0 ?也在y ? 的图象上. ? p?x 0 , y 0 ?与p' ? y 0 , x0 ? ax0 ? a ? ax0 ? 1 1? a ax ? 1
关于直线 y=x 对称?函数 y ? 自我检测 13 1.1991.全国文一(9)已知函数 y ? A.y=

x ?1 的图象关于直线 y=x 对称 ax ? 1 6x ? 5 ?x ? R, 且x ? 1?, 那么它的反函数为( x ?1 x?5 B. y= ?x ? R且x ? 6? x?6
D.y= )

6x ? 5 ?x ? R且x ? 1? x ?1
x ?1 ? 5? ? x ? R且x ? ? ? 6x ? 5 ? 6?

C.y=

x?6 ?x ? R且x ? ?5? x?5
).
2

2.1988.广东文一卷一(13)函数 y=
2 2

x ? 2 ? 1?x ? 2?的反函数y ? (
2

A. 2 ? ?x - 1? ? x ? 2? B. 2 ? ?x ? 1? ? x ? 2? C.2- ? x ? 1? ? x ? 1? D. 2 ? ? x ? 1? ? x ? 1?

3.2004.全国卷四文理一(2)函数 y= e

2x

?x ? R?的反函数为 (



A. y ? 2 ln x?x ? 0? B. y ? ln ?2 x ??x ? 0? C. y ? 4.2003.天津文一(9)函数 y ? ln A. y ?

x ?1 , x ? ?1,??? 的反函数为( x ?1

1 1 ln x?x ? 0? D. y ? ln ?2 x ??x ? 0? 2 2


ex ?1 ex ?1 , x ? ?0,?? ? B. y ? x , x ? ?0,?? ? ex ?1 e ?1

ex ?1 ex ?1 C. y ? x , x ? ?? ?,0? D. y ? x , x ? ?? ?,0? e ?1 e ?1
5.求函数 f(x)= ?

? x 2 ? 1? x ? ?1?

?? x ? 1? x ? ?1?

的反函数.

6.1989.全国文理二(15)函数 y ?

ex ?1 的反函数的定义域是____________. ex ?1
?1

7.2003.上海春文理一(1)已知函数 f(x)= x ? 1, 则f 8.2004.北京春文一(13)若 f __________.
?1

?3? ? __________.

?x ?为函数f ( x) ? ln ?x ? 1?的反函数,则f ?1 ?x ? 的值域是
?1

9.2002.上海文理一(12)已知函数 y=f(x)(定义域为 D,值域为 A)有反函数 y ? f 方程 f(x)有解 x=a,且 f(x)>x ? x ? D ? 的充要条件是 y ? f 10.2004.上海春文理一(5)已知函数 f(x)= log 3 ?
?1

?x ? ,则

?x ? 满足____________.
?1

?4 ? ? 2 ?, 则方程f ?x ?
?1

?x ? ? 4的解x ?

____.

11.函数 y=f(x)是定义在[a,b]上的减函数,那么函数 y=-f A.在[f(a),f(b)]是增函数 C.在 ? f ?a ?, f ?b ??上是减函数

?x ? (

)

B.在 ? f ?b ?, f ?a ??上是增函数 D.在 ? f ?b ?, f ?a ??上是减函数
x ?1

12.2000.上海文理一(5)已知 f ?x ? ? 2 ? b的反函数f b=_____.

?x ?的图像经过点

Q(5,2) ,则

13.2003.上海文二 (5) P 在 (1,1) Q 、(1,2) M 、 (2,3) N ? , ?四点中,函数y ? a 的图象 和
x

?1 1? ?2 4?

与其反函数图象的公共点只可能是( A.P B.Q

) C.M D.N

14.1990.全国文一(9) 、理一(7)如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于 y=x 对称,那么以下 选择项中正确的是( ) A. a ?

1 ,b ? 6 3

B. a ?

1 , b ? ?3 C.a=3,b=-2 3
?1

D.a=3,b=6

答案与提示 1.B 2.D 3.C 4.B 5. f
?1

?x ? ? ?

?1 ? x? x ? 2 ? ? ? x ? 1? x ? 2 ?


6.(-1,1)

7.4

8. ?1,?? ?

9.


?1



f ?1 ?0? ? a且f

?x ? ? x?x ? A?或填
?1

y? f f

?1

?x ?图象过点?0,a ?



y= f

?x ??x ? A? 或填③ y ?
10. 1

f

?x ? 图象过点(0,a)且 y ?
12.1 13.D 14.A

?1

?x ??x ? A?图象位于直线

Y=x 下方

11.B


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